Задача 23 (демонстрационный вариант 2017 г).
Постройте график функции 
и определите, при каких значениях 
прямая 
имеет с графиком ровно одну общую точку.
Решение. Разложим числитель дроби на множители:
При 
и 
функция принимает вид: 
,
её график — парабола, из которой выколоты точки 
и 
. 
Прямая 
имеет с графиком ровно одну общую точку либо тогда, когда проходит через вершину параболы, либо тогда, когда пересекает параболу в двух точках, одна из которых — выколотая. Вершина параболы имеет координаты 
.
Поэтому 
, 
или 
.
Критерии оценки выполнения задания 23.
| Баллы | Критерии оценки выполнения задания |
| График построен правильно, верно указаны все значения c, при которых прямая y = c имеет с графиком только одну общую точку | |
| График построен правильно, указаны не все верные значения c | |
| Другие случаи, не соответствующие указанным критериям | |
| Максимальный балл |
Основным условием положительной оценки за решение задания является верное построение графика. Верное построение графика включает в себя: масштаб, содержательная таблица значений или объяснение построения, выколотая точка обозначена в соответствии с ее координатами.
Пример оценивания решения задания 23.
Постройте график функции 
и определите, при каких значениях k прямая 
имеет с графиком ровно одну общую точку.
Ответ: 81.
Комментарий.
График построен неверно – отсутствует выколотая точка. В соответствии с критериями – 0 баллов.
Оценка эксперта: 0 баллов.
Задача 24 (демонстрационный вариант 2017 г).
В прямоугольном треугольнике 
с прямым углом 
известны катеты: 
, 
. Найдите медиану 
этого треугольника.
|
Решение.
Ответ: 5.
Критерии оценки выполнения задания 24.
| Баллы | Критерии оценки выполнения задания |
| Получен верный обоснованный ответ | |
| При верных рассуждениях допущена вычислительная ошибка, возможно приведшая к неверному ответу | |
| Другие случаи, не соответствующие указанным критериям | |
| Максимальный балл |
Задание 24 практически не менялось в течение нескольких лет. Критерии его оценивания сохранились.
Пример оценивания решения задания 24.
Высота, опущенная из вершины ромба, делит противоположную сторону на отрезки равные 24 и 2, считая от вершины острого угла. Вычислите длину высоты ромба.
Ответ: 10.
Комментарий.
Учащийся использует данные, которых нет в условии (считая острый угол ромба 60°).
Оценка эксперта: 0 баллов.
Задача 25 (демонстрационный вариант 2017 г).
В параллелограмме 
точка 
— середина стороны 
. Известно, что 
. Докажите, что данный параллелограмм — прямоугольник.
|
Доказательство. Треугольники 
и 
равны по трём сторонам.
Значит, углы 
и 
равны. Так как их сумма равна 
, то углы равны 
. Такой параллелограмм — прямоугольник.
Критерии оценки выполнения задания 25.
| Баллы | Критерии оценки выполнения задания |
| Доказательство верное, все шаги обоснованы | |
| Доказательство в целом верное, но содержит неточности | |
| Другие случаи, не соответствующие указанным критериям | |
| Максимальный балл |
Пример оценивания решения задания 25.
Пример.
Две окружности с центрами E и F пересекаются в точках C и D, центры E и F лежат по одну сторону относительно прямой CD. Докажите, что прямая CD перпендикулярна прямой EF.
Комментарий.
Не доказано, что точка F лежит на высоте EK.
Оценка эксперта: 0 баллов.
Задача 26 (демонстрационный вариант 2017 г).
Основание 
равнобедренного треугольника 
равно 12. Окружность радиуса 8 с центром вне этого треугольника касается продолжений боковых сторон треугольника и касается основания . Найдите радиус окружности, вписанной в треугольник .
Решение.
|
Пусть 
— центр данной окружности,
а 
— центр окружности, вписанной в треугольник .
Точка касания 
окружностей делит 
пополам.
Лучи 
и 
— биссектрисы смежных углов, значит, угол 
прямой. Из прямоугольного треугольника 
получаем: 
. Следовательно,
Ответ: 4,5.