Примеры решения задач
Задача 1
Плосковыпуклая линза выпуклой стороной лежит на стеклянной пластине. Радиус десятого темного кольца Ньютона в отраженном свете (длина волны 589 нм) равен 1.25 мм. Свет падает нормально. Определить фокусное расстояние линзы, если она изготовлена из стекла с показателем преломления 1.6.
Решение:
Фокусное расстояние линзы определяется радиусами кривизны её поверхностей и показателем преломления: 
. Здесь R 1= R, R 2→∞ (плоская поверхность); тогда 
, или 
.
Радиус m -го темного кольца Ньютона в отраженном свете 
, откуда 
, а 
.
Ответ: F= 0.44 м.
Задача 2
Ширина прозрачного а и непрозрачного b участков дифракционной решетки связаны с длиной волны так: а =0.5 b= 4l. Определить углы, соответствующие первым трем наблюдаемым максимумам.
Решение:
Условие главных максимумов при дифракции на решётке:
,
где m =0, ±1, ±2, ±3…. Найдём постоянную дифракционной решётки:
d=a+b=a+ 2 a= 3 a= 12l,
поскольку b= 2 a, а =4l. Получим:
,
или
, 
.
По условию постоянная решётки d кратна ширине щели a: d= 3 a, поэтому один и тот же угол φ будет соответствовать и главному максимуму с номером m, и главному минимуму с номером m’, если m= 3 m ’. В этом случае условие главных максимумов можно записать так:
,
что является также условием главных минимумов:
,
и главный максимум не будет наблюдаться. Таким образом, не будут наблюдаться максимумы с номерами m =3, 6, 9, …. Искомыми первыми тремя наблюдаемыми будут максимумы с номерами m =1, 2 и 4. Подставляем в расчётную формулу эти значения:
,
,
.
Ответ: 
, 
, 
.
Задача 3
Плоскополяризованный свет падает на николь так, что угол между плоскостями поляризации света и главного сечения николя равен 600. Определить толщину николя, если интенсивность света уменьшилась в 6 раз. Коэффициент отражения на грани призм r =0.1, коэффициент поглощения 
.
Решение:
Пусть I 0 – интенсивность света на входе в призму Николя, I – на выходе. Для идеального николя по закону Малюса 
– доля прошедшей световой энергии. Однако здесь надо учесть ещё две причины уменьшения интенсивности света: отражение на грани призмы и поглощение. По условию 10% света отражается, 90% – проходит, тогда доля прошедшей световой энергии от падающей на николь составит η 1=(1– ρ).
Толщину слоя поглощающего вещества можно найти из закона Бугера: 
,то есть доля прошедшей световой энергии от всей падающей составляет 
, если учитывать только поглощение.
Теперь учтём все три процесса:
,
или 
.
Отсюда 
, и далее после логарифмирования:
; 
После подстановки: 
Ответ: l =0.015 м =1.5 см.
Задача 4
Теплопроводящий шар по размеру равен объему Земли (R=6.4.106 м). Удельная теплоемкость 200 Дж/кг.К, плотность шара 5500 кг/м3, начальная температура 300 К. Определить время остывания шара на 0.001 К. Шар считать абсолютно черным.
Решение:
По определению полной энергетической светимости: 
; здесь 
– излучённая телом площади S за время dt энергия; 
– количество теплоты, полученной телом массой m при нагреве на dT. По закону Стефана-Больцмана для абсолютно чёрного тела 
. Тогда 
, или 
, откуда 
. Проинтегрируем это равенство и вынесем постоянные величины за знак интеграла: 
. Отсюда 
, или: 
. После преобразований получим: 
. Поскольку 
, в числителе можно пренебречь двумя последними слагаемыми, и в знаменателе – вторым слагаемым; тогда 
.
Масса шара 
, а площадь поверхности 
, тогда
.
Ответ: t =5.11.106 с = 59 суток.
Задача 5
Монохроматический пучок света интенсивностью 0.1 Вт/см2 падает под углом 300 на плоскую отражающую поверхность с коэффициентом отражения 0.7. Определить нормальное давление, оказываемое светом на эту поверхность.
Решение:
Пусть на поверхность площадью S за время Δ t падает N фотонов. По условию ρ=0.7, то есть 70% фотонов отражается: (N 1=ρ N =0.7 N), 30% – поглощается (N 2=(1–ρ) N =0.3 N). Импульс фотона равен
.
При отражении изменение импульса фотона
направлено по нормали к площадке и равно по величине
(см. рис.1; здесь 
– импульс падающего фотона, 
– отражённого). Изменение величины импульса поглощённого фотона равно величине самого импульса; найдём его проекцию на нормаль к площадке (поскольку требуется найти нормальное давление):
.
По закону сохранения импульса суммарное изменение импульса фотонов равно величине импульса, полученного площадкой: 
,
или
,
откуда по второму закону Ньютона в импульсной форме 
найдём силу нормального давления света:
,
а затем – давление:
,
где W – суммарная энергия всех фотонов, падающих на площадку S за время Δ t. Выразим W через интенсивность света I: интенсивностью света называется энергия световой волны, переносимая за единицу времени через единичную площадку, перпендикулярную лучу: 
; здесь 
– величина площадки, перпендикулярной лучу, так что 
(см. рис.1), 
. Тогда 
, или 
. Подставим численные значения: 
.
Ответ: 
Задача 6
Угол рассеяния фотона при эффекте Комптона 900. Угол отдачи электрона 300. Определить энергию падающего фотона.
Решение:
По закону сохранения импульса импульс падающего фотона равен сумме импульса электрона отдачи и импульса рассеянного фотона: 
(см. рис.2). Из рисунка 
. Импульс фотона выразим через длину волны падающего фотона λ и рассеянного 
: 
, 
, тогда 
, или 
. Длины волн падающего и рассеянного фотона связаны соотношением: 
. Подставим в него выражение для 
: 
. Отсюда можно выразить λ: 
. Энергия фотона 
, следовательно, 
. Подставим численные значения:
.
Ответ: 
Задача 7
Определить длину волны Кα–линий характеристического рентгеновcкого спектра, получаемого в рентгеновской трубке с молибденовым (42Mo) антикатодом. Можно ли получить эту линию спектра, подав на рентгеновскую трубку напряжение 25 кВ?
Решение
Длина волны в спектре характеристического излучения определяется Законом Мозли: 
. Здесь m и n – номера энергетических уровней, между которыми произошёл переход; для Кα–линии m =2, n =1 (см. схему энергетических уровней рис.3).
Отсюда 
.
Подставим численные значения:
.
Чтобы получить эту линию в спектре, необходимо освободить место на энергетическом уровне n =1, то есть выбить электрон с уровня n =1 на n→∞. Для этого необходимо затратить энергию, больше или равную разности энергий этих уровней: 
.
А 
можно найти, если воспользоваться законом Мозли и правилом частот Бора:
,
где n =1, а m→∞. Тогда
. Вычислим 
: 
. Таким образом, 
, следовательно, можно получить Кα–линию в спектре, подав на рентгеновскую трубку напряжение 25 кВ.
Ответ: 
; эту линию можно получить в спектре.
Задача 8
Частица в бесконечно глубоком прямоугольном одномерном потенциальном ящике шириной l находится в возбужденном состоянии с квантовым числом 3. Определить, в каких точках интервала 0< x < l плотность вероятности нахождения частицы имеет максимальное и минимальное значения.
Решение
Для частицы в бесконечно глубоком прямоугольном одномерном потенциальном ящике волновая функция равна 
, где 
. Квадрат модуля волновой функции равен искомой плотности вероятности: 
. Таким образом, задача сводится к поиску экстремумов функции 
на промежутке 0< x < l. Поскольку функция 
неотрицательна, её минимальным значением будет нуль, и x min можно найти, решая уравнение: 
; 
. Тогда 
. При n =3 в интервал 0< x < l попадают 2 решения: 
и 
.
Для нахождения максимума функции её производную приравняем к нулю: 
, что даёт два уравнения: 
и 
. Первое, очевидно, соответствует уже найденным минимумам; второе даст искомые максимумы: 
Отсюда 
; 
; 
.
График функции представлен на рисунке 4.
Ответ: 
и 
;
; 
; 
.
Задача 9
Определить период полураспада радона, если за сутки из 1 миллиона атомов распадается 175 тысяч атомов.
Решение
За время t число ядер уменьшилось из-за распадов на Δ N = N 0– N, где N 0 – первоначальное число ядер, 
– число ядер, оставшихся не распавшимися к моменту времени t. Отсюда: 
. После преобразований получим: 
, 
, или 
. Постоянная распада λ связана с периодом полураспада: 
, поэтому 
. Подставим численные значения: 
.
Ответ: 
.