В конструкциях и сооружениях большое применение находят детали, являющиеся относительно длинными и тонкими стержнями, у которых один или два размера поперечного сечения малы по сравнению с длиной стержня. Поведение таких стержней под действием осевой сжимающей нагрузки оказывается принципиально иным, чем при сжатии коротких стержней: при достижении сжимающей силой F некоторой критической величины, равной Fкр, прямолинейная форма равновесия длинного стержня оказывается неустойчивой, и при превышении Fкр стержень начинает интенсильно искривляется (выпучивается). При этом новым (моментным) равновесным состоянием упругого длинного становится некоторая новая уже криволинейная форма. Это явление носит название потери устойчивости.
Рисунок 1 - Потеря устойчивости
Устойчивость – способность тела сохранять положение или форму равновесия при внешних воздействиях.
Критическая сила (Fкр) – нагрузка, превышение которой вызывает потерю устойчивости первоначальной формы (положения) тела. Условие устойчивости:
Fmax ≤ Fкр,
Устойчивость сжатого стержня. Задача Эйлера.
При определении критической силы, вызывающей потерю устойчивости сжатого стержня, предполагается, что стержень идеально прямой и сила F приложена строго центрально. Задачу о критической нагрузке сжатого стержня с учетом возможности существования двух форм равновесия при одном и том же значении силы решил Л. Эйлер в 1744 году.
Рисунок 2 - Сжатый стержень
Рассмотрим шарнирно опертый по концам стержень, сжатый продольной силой F. Положим, что по какой-то причине стержень получил малое искривление оси, вследствие чего в нем появился изгибающий момент M:
M = –F•y,
где y – прогиб стержня в произвольном сечении с координатой x.
Для определения критической силы можно воспользоваться приближенным дифференциальным уравнением упругой линии:
Проведя преобразования, можно увидеть, что минимальное значение критическая сила примет при n = 1 (на длине стержня укладывается одна полуволна синусоиды) и J = Jmin (стержень искривляется относительно оси с наименьшим моментом инерции)
Это выражение – формула Эйлера.
Зависимость критической силы от условий закрепления стержня.
Формула Эйлера была получена для, так называемого, основного случая – в предположении шарнирного опирания стержня по концам. На практике встречаются и другие случаи закрепления стержня. При этом можно получить формулу для определения критической силы для каждого из этих случаев.
Рассмотрим некоторые характерные случаи закрепления стержня по концам и получим общую формулу для различных видов закрепления.
Рисунок 3 - Различные случаи закрепления стержня
Общая формула Эйлера:
где μ·l = lпр – приведенная длина стержня; l – фактическая длина стержня; μ – коэффициент приведенной длины, показывающий во сколько раз необходимо изменить длину стержня, чтобы критическая сила для этого стержня стала равна критической силе для шарнирно опертой балки. (Другая интерпретация коэффициента приведенной длины: μ показывает, на какой части длины стержня для данного вида закрепления укладывается одна полуволна синусоиды при потере устойчивости.)
Таким образом, окончательно условие устойчивости примет вид
Рассмотрим два вида расчета на устойчивость сжатых стержней – проверочный и проектировочный.
Проверочный расчет
Порядок проверочного расчета на устойчивость выглядит так:
– исходя из известных размеров и формы поперечного сечения и условий закрепления стержня, вычисляем гибкость;
– по справочной таблице находим коэффициент понижения допускаемого напряжения, затем определяем допускаемое напряжение на устойчивость;
– сравниваем максимальное напряжение с допускаемым напряжением на устойчивость.
Проектировочный расчет
При проектировочном расчете (подобрать сечение под заданную нагрузку) в расчетной формуле имеются две неизвестные величины – искомая площадь поперечного сечения A и неизвестный коэффициент φ (так как φ зависит от гибкости стержня, а значит и от неизвестной площади A). Поэтому при подборе сечения обычно приходится пользоваться методом последовательных приближений:
– обычно в первой попытке принимают φ1 = 0,5…0,6 и определяют площадь сечения в первом приближении
– по найденной площади A1 подбирают сечение и вычисляют гибкость стержня в первом приближении λ1. Зная λ, находят новое значение φ′1;
– далее, используя найденный φ′1, проверяют условие устойчивости, и если σmaxmax и [σу] значительно отличаются друг от друга (более чем на 5 %), следует повторить расчет, приняв во второй попытке
