Методы решения квадратных уравнений
Квадратным уравнением называется уравнение вида ax2 + bx + c = 0, где х – переменная, a, b и с – некоторые числа, при этом а? 0. Корень такого уравнения – это значение переменной, обращающее квадратный трёхчлен в ноль, то есть значение, обращающее квадратное уравнение в тождество. Коэффициенты квадратного уравнения имеют собственные названия: коэффициент а называют первым или старшим, коэффициент b называют вторым или коэффициентом при х, с называется свободным членом этого уравнения.
Полным квадратным уравнением называют такое, все коэффициенты которого отличны от нуля (a, b, c - 0).
Приведённым называют квадратное уравнение, в котором старший коэффициент равен единице. Такое уравнение может быть получено делением всего выражения на старший коэффициент а: x2 + px + q = 0, р = b/a, q = c/a.
Неполные квадратные уравнения бывают трёх видов:
1) ax2 + c = 0, где с - 0;
2) ax2 + bx = 0, где b - 0;
3) ax2= 0.
В рамках данной работы мы будем рассматривать способы решения только полных квадратных уравнений.
Решение квадратных уравнений по общей формуле
Для решения квадратных уравнений применяется способ нахождения корней через дискриминант. Для нахождения дискриминанта используется следующая формула D = b2 – 4ac. После нахождения D мы используем формулу для нахождения корней уравнения
.
Стоит заметить, что если:
D > 0 – уравнение имеет два корня;
D = 0– уравнение имеет один корень;
D < 0 – уравнение не имеет корней.
Пример решения уравнения данным способом показан на рис. 1(1.1).
Рис. 1. Практическая часть
Разложение левой части на множители
Для демонстрации способа решим уравнение x2 + 10x – 24 = 0.
Разложим левую часть на множители:
x2 + 10x – 24 = x + 12x – 2x – 24 = = x(x + 12) – 2(x + 12) = (x + 12)(x – 2).
Следовательно, уравнение можно переписать так:
(x + 12) (x – 2) = 0
Так как произведение равно нулю, то, по крайней мере, один из его множителей равен нулю. Поэтому левая часть уравнения обращается нуль при x = 2, а также при x = –12.
Пример решения уравнения данным способом показан на рис. 1(1.2).
Метод выделения полного квадрата
Выделение полного квадрата – это такое тождественное преобразование, при котором заданный трехчлен представляется в виде (a ± b)2 суммы или разности квадрата двучлена и некоторого числового или буквенного выражения.
Решим уравнение x2 + 14x + 40 = 0.
Решение:
Разложим многочлен на множители методом выделения полного квадрата.
Для применения первой формулы необходимо получить выражение
x2 + 14x + 49 = 0.
Поэтому прибавим и отнимем от многочлена x2 + 14x + 40 число 9, чтобы выделить полный квадрат
x2 + 14x + 40 + 9 – 9 = 0
(x + 14x + 40 + 9) – 9 = 0
(x + 14x + 49) – 9 = 0
(x + 7)2 – 9 = 0
Применим формулу «разность квадратов» a2 – b2 = (a – b)·(a + b)
(x + 7)2 – 32 = 0
(x + 7 – 3)(x + 7 + 3) = 0
(x + 4)(x + 10) = 0
x + 4 = 0x + 10 = 0
x1 = – 4x2 = – 10
Ответ: –4; – 10.
Пример решения уравнения данным способом показан на рис. 1(1.3).
Решение уравнений с помощью теоремы Виета
Для решения полного квадратного уравнения по теореме Виета нужно разделить всё уравнение на коэффициент а. Для уравнения x2 + px + q = 0, если х1 и х2 его корни, справедливы формулы:
Пример решения уравнения данным способом:
Задание. Используя теорему Виета, найти корни уравнения 
Решение. Согласно теореме Виета, имеем, что
Подбираем значения 
и 
, которые удовлетворяют этим равенствам. Легко видеть, что им удовлетворяют значения
и 
Ответ. Корни уравнения ,
Задание. Зная, что числа 
и 
- корни некоторого квадратного уравнения, составить само это уравнение.
Решение. Пусть искомое квадратное уравнение имеет вид:
Тогда, согласно теореме Виета, его коэффициенты связаны с корнями следующими соотношениями:
Тогда
То есть искомое уравнение
Ответ.