Определение диапазона рассеивания значений

Задание

 

номер интервала	границы интервалов t	частота m
свыше	до(включительно)
	57,997	57,999
	57,999	58,001
	58,001	58,003
	58,003	58,005
	58,005	58,007
	58,007	58,009
	58,009	58,011
	58,011	58,013
	58,013	58,015
	58,015	58,017
	58,017	58,019
	58,019	58,021
	58,021	58,023

 

 

Определение теоретической функции плотности распределения. Графическое изображение эмпирического и теоретического распределений

плотность распределение доверительный математический ожидание

При построении гистограмм и полигонов по оси абсцисс откладывают значения результатов измерений (середины интервалов x_i), по оси ординат – частности появления результатов измерения в каждом i-м интервале.

Из-за ограниченности числа результатов измерений при обработке вместо математического ожидания и дисперсии получают их приближенные оценки– соответственно эмпирическое среднее и эмпирическую дисперсию S², характеризующие средний результат измерений и степень разброса измерений. и S² определяются из выражений:

 

 

Значения вероятности попадания результата измерения в конкретный интервал можно определить, используя значения функции:

 

,

где .

 

Тогда вероятность попадания результата в i-й интервал величиной h

 

.

 

Внесем все вычисления в таблицу и на основании полученных результатов построим кривую теоретического распределения, а так же гистограмму и полигон эмпирического распределения:

 

	Середина интервала xi	Эмпирич. частости P’i	mixi	xi-	zi	mixi2	φi(z)	Pi
	57,998	0,006	115,996	-0,01285	2,874965	6727,536	0,006399	0,002863
		0,006		-0,01085	2,4275		0,020956	0,009377
	58,002	0,022	464,016	-0,00885	1,980034	26913,86	0,056179	0,025138
	58,004	0,069	1450,1	-0,00685	1,532569	84111,6	0,123277	0,055162
	58,006	0,092	1914,198	-0,00485	1,085103		0,221427	0,099081
	58,008	0,139	2900,4	-0,00285	0,637638	168246,4	0,325553	0,145674
	58,01	0,181	3770,65	-0,00085	0,190173	218735,4	0,391793	0,175314
	58,012	0,197	4118,852	0,00115	0,257293	238942,8	0,385954	0,172701
	58,014	0,089	1856,448	0,00315	0,704758		0,311212	0,139257
	58,016	0,103	2146,592	0,00515	1,152223	124536,7	0,20541	0,091914
	58,018	0,072	1508,468	0,00715	1,599689	87518,3	0,110976	0,049658
	58,02	0,017	348,12	0,00915	2,047154	20197,92	0,049077	0,02196
	58,022	0,008	174,066	0,01115	2,494619	10099,66	0,017765	0,007949
Сумма			20883,91

 

=	58,01085
S2=	1,99775E-05
S=	0,00446962

 

 

Критерий согласия эмпирического и теоретического распределений

 

Считают, что эмпирическое распределение хорошо согласуется с теоретическим, если (1 - g) больше 0,1. Согласно критерию Колмогорова, сравнивают эмпирические и теоретические значения, но уже не плотности распределения, а интегральной функции. Значение максимальной (по абсолютной величине) разности между ними D_N подставляют в выражение:

 

,

 

где N – объем выборки.

Вычисление эмпирических F’_i и теоретических F_i значений интегральной функции производим путем последовательного суммирования соответственно значений P’_i и P_i. Результаты вычислений сведены в таблицу:

 

Номер интервала	Pi	P’i	Fi	F’i	Fi-Fi'
	0,002863	0,005556	0,002863	0,005556	0,002692
	0,009377	0,005556	0,01224	0,011111	-0,00113
	0,025138	0,022222	0,037379	0,033333	-0,00405
	0,055162	0,069444	0,092541	0,102778	0,010237
	0,099081	0,091667	0,191622	0,194444	0,002823
	0,145674	0,138889	0,337295	0,333333	-0,00396
	0,175314	0,180556	0,512609	0,513889	0,00128
	0,172701	0,197222	0,68531	0,711111	0,025801
	0,139257	0,088889	0,824566	0,8	-0,02457
	0,091914	0,102778	0,91648	0,902778	-0,0137
	0,049658	0,072222	0,966138	0,975	0,008862
	0,02196	0,016667	0,988098	0,991667	0,003568
	0,007949	0,008333	0,996048		0,003952

 

D_N= F'₈ – F ₈= 0,025801,

N=åm_i=360,

 

Тогда получаем:

 

λ= 0,48953

Для l_N=0,52 g » 0,05 Þ (1 – 0,05)=0,95 >0,1.

 

Отсюда можно сделать вывод: согласие эмпирического распределения с нормальным теоретическим можно считать хорошим.

Определение доверительных интервалов

 

В ряде задач, особенно при малом числе измерений, требуется не только найти эмпирическую оценку для того или иного параметра, но и определить доверительный интервал, в котором с доверительной вероятностью будет находиться теоретическое значение параметра.

Доверительный интервал для математического ожидания определяем из выражения:

интегральный доверительный интервал математический ожидание

 

Значения t_γ табулированы и равняется t_γ = 2,18 для N=13 и γ*=0,95.

 

58,00814756 <M< 58,01355244

 

Доверительный интервал для среднего квадратического отклонения определяем из выражения:

 

 

 

Значения χ₁², χ₂² табулированы и определяется в зависимости от числа измерений N и односторонних вероятностей γ₁, γ₂:

 

 

Значение χ₁² определяем при вероятности (1- γ₁), χ₂² – при γ₂.

 

χ₁²=24,1 χ₂²=4,18

 

И тогда

 

0,003024897

<σ<

0,008194587

 

Определение диапазона рассеивания значений

Определение границ диапазона рассеивания значений по результатам измерений, при вероятности риска 0,0027.

М » = 58,01085

» S = 0,00446962

М-3 » 57.997442

М+3 » 58.024258

Определение границ диапазона рассеивания значений по результатам измерений, при допускаемом значении вероятности риска 2β=0,001

 

М± σ

=0,4995 при этом =3,29 (по справочнику)

М-3,29 =57,996146

М+3,29 =58,025554

 

Список использованной литературы

 

1. Зябрева Н.Н. и др. Пособие к решению задач по курсу "Взаимозаменяемость, стандартизация и технические измерения". Учеб. Пособие для вузов. М., "Высш. школа", 1977.