Вступление
Начиная с 2015 года, в заданиях ЕГЭ по математике профильного уровня появилась новая экономическая задача №17. В данных задачах предлагается ознакомиться с разными схемами выплаты кредита банку со стороны заемщика.
Кредит – это ссуда, предоставленная банком заемщику под определенные проценты за пользование деньгами. Существует два вида платежей по кредиту: дифференцированный и аннуитетный.
Кроме задач о кредитах есть задачи на выбор оптимального решения. Эти задачи тесно связаны с практической деятельностью человека. Как добиваться наиболее высокого жизненного уровня, наивысшей производительности труда, наименьших потерь, максимальной прибыли, минимальной затраты времени.
Решение задач о кредитах в настоящее время очень актуально, так как жизнь современного человека тесно связана с экономическими отношениями, в частности, с операциями в банке.
Задачи на нахождение ежегодной платы (транша).
Задача 1 (Тренировочная работа 1). 31 декабря 2016 года Василий взял в банке 5460000 рублей в кредит под 20% годовых. Схема выплаты кредита следующая - 31 декабря каждого следующего года банк начисляет проценты на оставшуюся сумму долга (то есть увеличивает долг на 20%), затем Василий переводит в банк х рублей. Какой должна быть сумма х, чтобы Василий выплатил долг тремя равными платежами (то есть за три года)?
Решение: S=5460000 - сумма кредита, х - ежегодная плата, r=20%
При начислении процентов оставшаяся сумма долга умножается на коэффициент 1+0,2=1,2.
| Год | Долг банку | Остаток после ежегодной выплаты |
| S | - | |
| 1,2S | 1,2S - x | |
| 1,2(1,2S - x) = 1,44S - 1,2x | 1,44S - 1,2x - x= 1,44S - 2,2x | |
| 1,2(1,44S - 2,2x)=1,728S - 2,64x | 1,728S - 2,64x - x= 1,728S - 3,64x |
После третьего взноса кредит погашен полностью, значит, остаток равен нулю. Решаем полученное уравнение.
1,728S - 3,64x=0
3,64x=1,728∙5460000
x=2592000 Ответ: 2592000 рублей
Задача 2. (Тренировочная работа 42). 31 декабря 2014 года Дмитрий взял в банке 4290000 рублей в кредит под 14,5% годовых. Схема выплаты кредита следующая - 31 декабря каждого следующего года банк начисляет проценты на оставшуюся сумму долга (то есть увеличивает долг на 14,5%), затем Дмитрий переводит в банк х рублей. Какой должна быть сумма х, чтобы Дмитрий выплатил долг двумя равными платежами (то есть за два года)?
Решение: S = 4290000 - сумма кредита, r = 14,5%, х - ежегодная выплата
При начислении процентов оставшаяся сумма долга умножается на коэффициент 1+0,145=1,145.
| Год | Долг банку | Остаток после ежегодной выплаты |
| S | - | |
| 1,145S | 1,145S - x | |
| 1,145(1,145S - x) = 1,14522S - 1,145x | 1,14522S - 1,145x - х = 1,14522S - 2,145x |
После второго взноса кредит погашен полностью, значит, остаток равен нулю. Решаем полученное уравнение: 1,14522S - 2,145x = 0
2
.
Ответ: 2622050 рублей
При решении этих задач можно увидеть закономерность и, оформив решение в общем виде, получаем формулу.
S-сумма кредита,
р= 
, где a - процентная ставка,
х – сумма ежегодных выплат;
I год: S·p-х
II год: 
III год: 
IV год: 
и т.д.
Задача 3. (Тренировочная работа 11) 31 декабря 2014 года Алексей взял в банке 6902000 рублей в кредит под 12,5% годовых. Схема выплаты кредита следующая - 31 декабря каждого следующего года банк начисляет проценты на оставшуюся сумму долга (то есть увеличивает долг на 12,5%), затем Алексей переводит в банк х рублей. Какой должна быть сумма х, чтобы Алексей выплатил долг четырьмя равными платежами (то есть за четыре месяца)?
Решение. S = 6902000 - сумма кредита, r=12,5%, х - ежегодная выплата
Применяем формулу: 
, где
S-сумма кредита,
р= 
, где a - процентная ставка,
х – сумма ежемесячных выплат;
Ответ: 2 296 350 рублей.