Движение воды к совершенной артезианской скважине (колодцу). Будем считать, что фильтрация имеет место в однородном (водопроводимость постоянная), горизонтально залегающем пласте, который подстилается водоупором. Тогда вода со всех сторон будет притекать к скважине равномерно через боковую поверхность цилиндра с радиусом r и высотой m (мощность пласта). На расстоянии r с от оси скважины существует напор Нс, а на расстоянии, равном радиусу влияния R обозначим через Не. = const. При этом величина понижения уровня Sr = R = 0. Напор на произвольном расстоянии от оси скважины r обозначим через Н. Напор будет изменяться от Нс, до Не при изменении радиуса от r с.до R. Расход потока определяется как
Q = kIF, где F – это боковая поверхность цилиндра с радиусом r. Тогда F = 2πrm, а напорный градиент I = dH/dr. Тогда расход запишется в виде:
(39)
Разделив переменные и подставив пределы интегрирования, имеем:
(40)
Интегрирование этого уравнения дает:
(41)
Учитывая, что Не - Нс, = Sс то полученная формула пригодна для установившейся величины понижения (стационарный режим фильтрации) при производительности скважины Q.
Из (41) можно получить выражение для дебита совершенной скважины Q.
(42)
Модификации формул (39) и (40) известны под названием формул Дюпюи.
Из (42) следует, что деьит напорной скважины связан с величиной понижения S линейной зависимостью, поскольку величина 
является для данной скважины постоянной. При этом Q = A·S. Коэффициент A представляет удельный дебит скважины q (приходящийся на 1 метр понижения уровня). Разделив обе части (42) на понижение Sс получим относительно А:
(43)
При больших понижениях величина удельного дебита может не оставаться постоянной величиной.
Выражение (42) можно использовать также чтобы построить кривую депрессии. Можно определить понижение на S. любом расстоянии r от оси скважины. Для любого промежуточного сечения имеем:
(44)
Тогда напор на расстоянии r от оси скважины будет:
(45)
Если ирасположить две наблюдательные скважины на расстояниях r 1 и r 2 и в них измерить положение уровня Н 1 и Н 2 то на любом другом расстоянии можно вычислить уровень Н r
(46)
и построить кривую депрессии. Если имеем только одну наблюдательную скважину, используют:
(47).
Движение подземных вод к грунтовой совершенной скважине. Здесь мощность уже будет h и расход: 
(48)
После интегрирования в пределах r =r c, h =h c, r = R, h = He получим формулу для расхода
(49)
Эту формулу можно получить исходя из решения для напорной скважины подставив 
.
Действительно заменив в (42) m(He – Hc) на 
, получим формулу расхода:
(50)
Решая это уравнение относительно расхода Q получаем формулу производительности скважины, расположенной на расстоянии L от реки:
(51)
Эта формула известна под названием формулы Ф. Форхгеймера.
Для совершенной артезианской скважины, расположенной у реки, с которым напорный поток имеет гидравлическую связь, расход выражается формулой:
(52)
Для определения величины понижения на стенке скважины из (52) можно получить выражение:
(53)