Алгебра и теория чисел Толстиков А.В.
Курс 1. Семестр 1. Практическое занятие 1. Элементы логики. Множества
План
Множества и подмножества. Равенство, включение и строгое включение множеств. Определения подмножества и собственного подмножества, пустого и универсального множества. Определения булевых операций над множествами (объединения, пересечения, разности, дополнения). Таблицы принадлежности. Свойства Булевых операций. Определение упорядоченной пары, тройки, n-ки. Равенство n-к. Декартово произведение двух, трех, n множеств. Свойства декартова произведения множеств.
Задачи для решения на занятии и дома
1. Среди следующих предложений укажите истинные высказывания.
a) Земля - планета. b) Студент - математик. c) Вычислить log33 + 40,5. d) Число 2 корень уравнения x 2 =4. e) Если натуральное число n делится на 2, то n 2 делится на 6. g) Если 1>2, то 3 четное число.
2. Пусть A, B, C соответственно высказывания: "Я выучил алгебру", "Я получил хорошую оценку", "Я получаю стипендию". Переведи на обычный язык следующие предложения:
a) A Þ B & C; b) Ø C & Ø B; c) C Û A & B; d) C Û A & B & C Ú Ø A & Ø B &Ø C.
3. Следующие составные высказывания расчленить на простые и записать их символически, введя буквенные обозначения для простых высказываний. Построить отрицания полученных высказываний.
а) Если 30 делится на 2 и не делится на 7, то 30 не делится на 14. б) Если две прямые перпендикулярны третьей прямой, то они параллельны. в) Если четырехугольник прямоугольник или равнобедренная трапеция, то около его можно описать окружность. г) Если угол тупой, то синус его неотрицателен, а косинус не положителен.
4. Доказать следующие равносильности формул:
a) A Þ B º Ø A Ú B; b) Ø(A Þ B) º A & Ø B; c) A Û B º (A Þ B) & (B Þ A); d) A Û B º (Ø A Ú B) & (Ø B Ú A); e) Ø(A Û B) º (A & Ø B) & (B & Ø A); f) A Þ B º Ø B Þ Ø A; g) (A Ú B) & (Ø A Ú Ø B)º A; h) (A & B) Þ C º A Þ (B Þ С).
5. Перечислить элементы следующих множеств или записать множества с помощью промежутков числовой прямой:
a) { x Î R | x 2-3 x -4=0}; b) { x Î R | x 2-2=0}; c) { x Î R | x 2-4 x -5=0}; d) { x Î N | 20 M x }; e) { x Î R | | x- 2|<3}; f) { x Î N | x 2-3 x -10£0}.
6. Найти все подмножества данного множества:
a) Æ; b) {1}; c) { a, b }; d) {1, 2, 3}.
7. Доказать, что множество { a 1, a 2,…, an }, где все ai попарно различные имеет 2 n различных подмножеств.
8. В каждом случае перечислить пары равных множеств:
a) {1, 2, 3}, {2, 2, 3}, {3, 1, 2, 2}, {{1}, {2}, {3}}, {3, 1, 2}; b) { x Î R | x £ 5}, { x Î R | | x |£ 5}, { x Î R | x 2£ 25}, [-5, 5];
c) { x Î Z | 10 M x }, { x Î Z | 20 M 2 x }, { x ÎN| 10 M x }, {1, 2, 5, 10}, {-1, 1, -2, 2, -5, 5, -10, 10};
d) { x Î N | x M 4 и x M 5}, { x Î N | x M 20}, { x Î N | x M 10}, { x Î N | x M 2 и x M 5}.
9. Доказать, что для любых множеств A 1, A 2,… An, если A 1 Í A 2 Í … Í An Í A 1, то A 1 = A 2 = … = An.
10. Найти и изобразить на числовой прямой множества A, B, A È B, A Ç B, A \ B, B\A, C R A, C R B:
a) A = {1, 2, 3}, B = {3, 2, 4}; b) A = (-1, 6), B = [0, 7]; c) A = (-1, 2, 3), B = [2, 5]; e) A = (1, 8), B = [1, + 
]; e) A = (- ,1], B = [1, + ); f) A = { x Î R | | x |£ 3}, B = { x Î R | x 2- x ³ 2}; g) A = { x Î R | 2x £ 4}, B = { x Î R | x 2-2 x < 3}; h) A = { x Î R | x 2-3 x +3³0}; B = { x Î R | x-1£ x-3}; i) A = { x Î R | x/ (x -1) < 2}; B = { x Î R | lg(x+1) > 1}.
11. Изобразить на координатной плоскости xOy множества A, B, A È B, A Ç B, A \ B, B\A, C R A, C R B:
a) A = {(x, y) | x, y Î R, x 2- y 2 £ 4}, B = {(x, y) | x, y Î R, x 2³ y }; b) A = {(x, y) | x, y Î R, x + 2 y ³ 1}, B = {(x, y) | x, y Î R, y £ x 3};
c) A = {(x, y) | x, y Î R, y 2 > x }, B = {(x, y) | x, y Î R, y £ 1/ x }; d) A = {(x, y) | x, y Î R, y > | x |}, B = {(x, y) | x, y Î R, x 2- y 2 ³ 0}.
12. Доказать равенство множеств. Построить таблицы принадлежности множеств. Проиллюстрировать равенство множеств с помощью диаграмм Эйлера-Венна:
a) A \ (B È C) = (A \ B)Ç (A \ C); b) A \ (B Ç C) = (A \ B)È (A \ C); c) (A \ B) \ C = (A \ C) \ B; d) (A È B)\ C = (A \ C)È (B \ C);
e) (A Ç B)\ C = (A \ C)Ç (B \ C); f) A È (B \ C) = (A È B)\ C.
13. Для любых множеств A, B, C доказать следующие утверждения:
a) если A Ç B = Æ, то (A È B)\ B = A; b) если A Í B, то A Ç B = A; c) если A Í B, то A È B = B; d) если C = A \ B, то B Ç C = Æ.
14. Для любых множеств A, B, C доказать следующие утверждения:
a) A È B Í C тогда и только тогда, когда A Í C, B Í C; b) C Í A È B тогда и только тогда, когда C Í A, C Í B;
c) A Ç B = A È B тогда и только тогда, когда A = B; d) A \ B = A Ç B тогда и только тогда, когда A = Æ.
15. В классе 25 детей. Из них ходят на математический и физический кружок двое, 10 ходят на математический кружок и 8 -на физический. Сколько школьников не посещают ни один из этих кружков?
16. На первом курсе 100 студентов. Из них 24 в школе не изучали иностранного языка, 26 изучали немецкий, 48 - французский, 8 - французский английский, 8 - французский и немецкий, 18 - только немецкий, 23 - немецкий, но не английский. Сколько студентов изучают только английский язык.
17. Найти элементы множеств A ´ B, B ´ A, A 2, A 3.
a) A = {1, 2}, B = {1, 2, 3}; b) A = {-1, 1}, B = { a, b, c }; c) A = {1}, B = {1, 2, 3}; d) A = Æ, B = {1, 2, 3}.
18. Изобразить на декартовой плоскости xOy следующие множества:
a) A = [0, 3], B = [-1, 4]; b) A = [0, 3], B = [-1, + ); c) A = [1, + ), B = [2, + ); d) A = {1, 2}, B = (- , + ); e) A = [-1, 2), B = (- , + ); f) A = { x Î R | x 2 - 4 ³ 0}, B = { x Î R | x 2 - 3 x - 4 ³ 0}.
19. Упорядоченной парой (a, b) называется множество {{ a }, { a, b }}. Доказать, что (a, b) = (c, d) тогда и только тогда, когда a = c и b = d.
20. Для любых множеств A, B, C докажите следующие свойства:
a) A Í B Þ (A ´ C)Í (B ´ C); b) (A \ B) ´ C = (A ´ C)\ (B ´ C); c) A ´ (B \ C) = (A ´ B)\ (A ´ C); d) A ´ (B È C) = (A ´ B)È (A ´ C);
e) (A Ç B) ´ C = (A ´ C)Ç (B ´ C).
21. Показать на примерах, что для прямого произведения множеств не справедливы коммутативный и ассоциативный законы.
Задание на дом:
Учить определения и теоремы из лекции "Отображения".