В древности, когда геометрия была более развита, чем алгебра, квадратные уравнения решали не алгебраически, а геометрически. Приведу ставший знаменитым пример из «Алгебры» ал - Хорезми.
Примеры.
1) Решим уравнение х2 + 10х = 39.
В оригинале эта задача формулируется следующим образом: «Квадрат и десять корней равны 39» (рис.15).
Решение. Рассмотрим квадрат со стороной х, на его сторонах строятся прямоугольники так, что другая сторона каждого из них равна 2,5, следовательно, площадь каждого равна 2,5х. Полученную фигуру дополняют затем до нового квадрата ABCD, достраивая в углах четыре равных квадрата, сторона каждого их них 2,5, а площадь 6,25.
Площадь S квадрата ABCD можно представить как сумму площадей: первоначального квадрата х2, четырех прямоугольников (4• 2,5х = 10х) и четырех пристроенных квадратов (6,25• 4 = 25), т.е. S= х2 + 10х + 25. Заменяя
х2 + 10х числом 39, получим, что S = 39 + 25 = 64, откуда следует, что сторона квадрата ABCD, т.е. отрезок АВ = 8. Для искомой стороны х первоначального квадрата получим
2)Решим уравнение x2 – 4x – 12 = 0.
Представим его в виде x2 – 4x = 12.
На рис13. «изображено» выражение x – 4x, т.е. из площади квадрата со стороной х дважды вычитается площадь квадрата со стороной 2. Значит х2 – 4х + 4 есть площадь квадрата со стороной х – 2.
Выполнив замену x2 – 4x = 12, получим
(x – 2)2 = 12 + 4
(x – 2)2 = 16
x – 2 = 4x – 2 = – 4
x1 = 6,x2 = – 2
| Название способа решения квадратных уравнений | Плюсы | Минусы |
| Решение квадратных уравнений по формуле | Можно применить ко всем квадратным уравнениям. | Нужно выучить формулы. |
| Разложение левой части уравнения на множители | Дает возможность сразу увидеть корни уравнения. | Нужно правильно вычислить слагаемые для группировки. |
| Метод выделения полного квадрата | За минимальное количество действий можно найти корни уравнений | Нужно правильно найти все слагаемые для выделения полного квадрата. |
| Решение уравнений с использованием теоремы Виета | Достаточно легкий способ, дает возможность сразу увидеть корни уравнения. | легко находятся только целые корни. |
| Свойства коэффициентов квадратного уравнения | Не требует особых усилий | Подходит только к некоторым уравнениям |
| Решение уравнений способом переброски | За минимальное количество действий можно найти корни уравнения, применяется совместно со способом теоремы Виета. | легко найти только целые корни. |
| Геометрический способ решения квадратных уравнений | Наглядный способ. | похож на способ выделения полного квадрата |
| Графическое решение квадратного уравнения | Наглядный способ | Могут быть не точности при составлении графиков |
| Решение квадратных уравнений с помощью циркуля и линейки | Наглядный способ | Могут быть не точности |
| Решение квадратных уравнений с помощью номограммы | Наглядный способ, прост в применении. | Не всегда под рукой имеется номограмма. |
Ответ: x1 = 6, x1 = – 2.
Заключение
Квадратные уравнения находят широкое применение при решении тригонометрических, показательных, логарифмических, иррациональных и трансцендентных уравнений и неравенств.
Однако, значение квадратных уравнений заключается не только в изяществе и краткости решения задач, хотя и это весьма существенно. Не менее важно и то, что в результате применения квадратных уравнений при решении задач не редко обнаруживаются новые детали, удается сделать интересные обобщения и внести уточнения, которые подсказываются анализом полученных формул и соотношений.
Хочется отметить и то, что излагаемая тема в этой работе еще мало изучена вообще, просто ею не занимаются, поэтому она таит в себе много скрытого и неизвестного, что дает прекрасную возможность для дальнейшей работы над ней.
Здесь мы остановилась на вопросе решения квадратных уравнений, а что, если существуют и другие способы их решения?! Опять находить красивые закономерности, какие-то факты, уточнения, делать обобщения, открывать все новое и новое. Но это вопросы уже следующих работ.
Подводя итоги, можно сделать вывод: квадратные уравнения играют огромную роль в развитии математики. Все мы умеем решать квадратные уравнения со школьной скамьи (8 класс), до окончания вуза. Эти знания могут пригодиться нам на протяжении всей жизни.
Так как эти методы решения квадратных уравнений просты в применении, то они, безусловно, должно заинтересовать увлекающихся математикой учеников. Наша работа дает возможность по-другому посмотреть на те задачи, которые ставит перед нами математика.