Введение.
Цель работы: Изучить новые способы решения квадратных уравнений
Задачи работы: Вспомнить способы решения, графики квадратной функции, определить наиболее рациональные способы решения квадратных уравнений
Актуальность работы: В курсе математики решение различных задач часто сводится к решению квадратных уравнений, поэтому умение решать квадратные уравнения различными способами облегчают решение разнообразных задач
Алгебра возникла в связи с решением разнообразных задач при помощи уравнений. Обычно в задачах требуется найти одну или несколько неизвестных, зная при этом результаты некоторых действий, произведенных над искомыми и данными величинами. Такие задачи сводятся к решению одного или системы нескольких уравнений, к нахождению искомых с помощью алгебраических действий над данными величинами. В алгебре изучаются общие свойства действий над величинами.Некоторые алгебраические приемы решения линейных и квадратных уравнений были известны еще 4000 лет назад в Древнем Вавилоне.
Необходимость решать уравнения не только первой, но и второй степени еще в древности была вызвана потребностью решать задачи, связанные с нахождением площадей земельных участков и с земляными работами военного характера, а также с развитием астрономии и самой математики. Квадратные уравнения умели решать около 2000 лет до нашей эры вавилоняне. Применяя современную алгебраическую запись, можно сказать, что в их клинописных текстах встречаются, кроме неполных, и такие, например, полные квадратные уравнения:
Квадратные уравнения в Индии
Задачи на квадратные уравнения встречаются уже в астрономическом трактате «Ариабхаттиам», составленном в 499 г. индийским математиком и астрономом Ариабхаттой. Другой индийский ученый, Брахмагупта (VII в.), изложил общее правило решения квадратных уравнений, приведенных к единой канонической форме:
(1)
В уравнении (1) коэффициенты, могут быть и отрицательными. Правило Брахмагупты по существу совпадает с нашим.
Квадратные уравнения у Аль-Хорезми
В алгебраическом трактате Аль-Хорезми дается классификация линейных и квадратных уравнений. Автор насчитывает 6 видов уравнений, выражая их следующим образом:
1. «Квадраты равны корням», т. е. 
.
2. «Квадраты равны числу», т. е. 
3. «Корни равны числу», т. е. 
4. «Квадраты и числа равны корням», т. е. 
5. «Квадраты и корни равны числу», т. е. 
6. «Корни и числа равны квадратам», т. е. 
7.
8.
Квадратные уравнения в Европе XII-XVII в.
Формы решения квадратных уравнений по образцу Аль-Хорезми в Европе были впервые изложены в «Книге абака», написанной в 1202г. итальянским математиком Леонардом Фибоначчи. Автор разработал самостоятельно некоторые новые алгебраические примеры решения задач и первый в Европе подошел к введению отрицательных чисел.
Эта книга способствовала распространению алгебраических знаний не только в Италии, но и в Германии, Франции и других странах Европы.
2. Квадратные уравнения и их классификация.
Квадра́тное уравне́ние — алгебраическое уравнение общего вида
{\displaystyle ax^{2}+bx+c=0,} 
ax^2+bx+c=0,
где {\displaystyle x} x— неизвестное, {\displaystyle a}a, {\displaystyle b}b, {\displaystyle c}c — коэффициенты, причём {\displaystyle \quad a\neq 0.} 
выражение {\displaystyle ax^{2}+bx+c}ax^2+bx+c называют квадратным трехчленом.
Квадратное уравнение:
Полное Неполное
ax^2+bx+c=0
 |  |
b=0 c=0 b=0 и с=0
Приведенное Неприведенное ax^2+c=0 ax^2+bx=0 ax^2=0
a=1 a≠1
x^2+bx+c=0 ax^2+bx+c=0
Решение квадратных уравнений по формуле дискриминанта было изучено в школьном курсе и ничего нового здесь мы для себя не нашли.
Метод Разложение левой части на множители тоже хорошо знаком всем девятиклассникам
Решение квадратных уравнений с использованием теорема Виета, сумма корней равна –b, произведение равно с
Решение квадратных уравнений графическим способом:
В уравнении x2 + px + q = 0 перенесём второй и третий члены в правую часть уравнения. Получим: x2 = – px – q. Построим графики функций
y = x2 (парабола);
y = – qx – p (прямая).
Решение квадратных уравнений методом выделения полного квадрата
Выделение полного квадрата – это такое тождественное преобразование, при котором заданный трехчлен представляется в виде (a ± b)2 суммы или разности квадрата двучлена и некоторого числового или буквенного выражения.
В ходе исследования мы познакомились с новым методом переброски. Рассмотрим метод, который позволяет решать подавляющее большинство полных квадратных уравнений устно, аналогично решению приведенных квадратных уравнений с помощью теоремы Виета.
Решение квадратных уравнений с помощью циркуля и линейки.
Решим уравнение ax2 + bx + c = 0:
1) построим на координатной плоскости точки:
A(– b/2a; (a + c)/2a) – центр окружности и В(0; 1)
2) Проведём окружность r = AB
3) Абсциссы точек пересечения с осью Ox есть корни исходного уравнения
10. Решение квадратных уравнений с помощью номограммы:
Это старый и в настоящее время забытый способ решения квадратных уравнений, размещенный в таблице Брадиса.
Номограмма для решения уравнения z2 + pz + q = 0. Эта номограмма позволяет, не решая квадратного уравнения, по его коэффициентам определить корни уравнения. Криволинейная шкала номограммы построена
по формулам: ОВ=а/(1+z), AB=-z^2/(1+z). Полагая ОС = р, ED = q, ОЕ = а (Приложение, рис.12), из подобия треугольников САН и CDF получим пропорцию
откуда после подстановок и упрощений вытекает уравнение
z2 + pz + q = 0,
причем буква z означает метку любой точки криволинейной шкалы.
Номограмма даёт значения положительных корней уравнения z2 + pz + q = 0. Если уравнение имеет корни разных знаков, то, найдя по номограмме положительный корень, отрицательный находят, вычитая положительный из – р. (Приложение, рис.13).
Вид монограммы для решения уравнения z2 + pz + q = 0
В случае, когда оба корня отрицательны, берут z = – t и находят по номограмме два положительных корня t1; t2 уравнения t2 + – pt + z = 0, а затем z1 = – t1; z2 = – t2.
Если коэффициенты p и q выходят за пределы шкал, выполняют подстановку z = kt и решают посредством номограммы уравнение
,
где k берётся с таким расчётом, чтобы имели место неравенства
; 