Простые ставки процентов

МЕТОДИЧЕСКИЕ РЕКОМЕНДАЦИИ ПО ВЫПОЛНЕНИЮ КОНТРОЛЬНЫХ РАБОТ ПО ОСНОВАМ ФИНАНСОВЫХ ВЫЧИСЛЕНИЙ

Студенты групп 3Б-5, 3Б-6, 2БСП-1 заочного отделения должны выполнить контрольную работу.№1

. Студенты групп 4Б-9, 4Б-8 заочного отделения должны выполнить контрольные работы.№1и №2.

Контрольная работа №1 выполняется в письменной форме и сдаётся преподавателю на проверку. Варианты контрольной работы №1 по основам финансовых вычислений распределяет преподаватель.

Варианты контрольной работы №1

Вариант первый

Задача 1

Вексель выдан на сумму 20 тыс. руб. со сроком оплаты 30.11. Владелец векселя учёл его в банке 10.10 по учётной ставке простых процентов 7% годовых. Определить величину суммы, выданной владельцу векселя, и величину дисконта при К=360.

Задача 2

Рассчитать наращенную сумму долга за 1,5 года при фиксированных ставках простых процентов по каждому варианту в соответствии с таблицей:

Первоначальный капитал P, руб.	i,% годовых

10 000
20 000
30 000
Множитель наращения

Задача 3

Рассчитать сумму долга через 3 года при начальной сумме ссуды 10 000 руб., и переменной процентной ставке простых процентов: за 1-й год 12% годовых, за 2-й год 10%, за 3-ий год 8%.

Задача 4

Вексель, выдан на сумму 50 000 руб. Определить современную величину при сроке ссуды 2 года и величину дисконта, если дисконтирование осуществляется:

1. По сложной учетной ставке 12% один раз в год;

2. По номинальной учетной ставке 12% при дисконтировании ежеквартально.

Результаты сравнить и сделать вывод о том, какая ситуация выгоднее заемщику.

Задача 5

Какой эффективной учетной ставке в процентах соответствует номинальная учетная ставка 15% при ежеквартальном дисконтировании?

Задача 6

За какой срок (в годах) сумма 10 000 руб. возрастет до 15 000 руб., если проценты будут начисляться ежеквартально по номинальной ставке 8% годовых?

Задача 7

Определить наращенную сумму долга через 100 дней (К=365) при непрерывном начислении процентов и первоначальной сумме ссуды 30 000 руб., если сила роста составляет 15% годовых.

Задача 8

Чему будет равен индекс инфляции за 3 года, если ежегодный темп инфляции составит 12%?

Вариант второй

Задача 1

Обязательство уплатить через 150 дней 20 тыс. руб. с процентами (исходя из ставки простых процентов 10% годовых и Кi =365) учтено в банке за 40 дней до наступления срока уплаты по учётной ставке простых процентов 7% годовых (Kd = 360).

Определить сумму, полученную владельцем обязательства при его учёте.

Задача 2

Первоначальный капитал P, руб.	i,% годовых

40 000
50 000
60 000
Множитель наращения

Задача 3

Первоначальная сумма ссуды 20,0 тыс. руб. срок ссуды 3 года, проценты начисляются в конце каждого квартала по номинальной ставке 8 % годовых. Определить множитель наращения и погашаемую сумму.

Задача 4

Первоначальная сумма ссуды 50 тыс. руб. выдана на 2 года. Проценты начисляются по годовой номинальной ставке 12%. Чему равна конечная сумма долга, если:

- проценты начисляются один раз в конце года,

- проценты начисляются четыре раза в год (в конце каждого квартала).

Результаты сравнить и сделать выводы.

Задача 5

Ссуда 20,0 тыс. руб. выдана на 13 месяцев по номинальной ставке 7 % годовых. Начисление ежеквартально. Определить множитель наращения и погашаемую сумму при ее вычислении двумя способами:

1 - по общей формуле (дробное число),

2 - по формуле начисления на целую часть сложных процентов, а на дробную часть - простых процентов.

Задача 6

Какова ставка сложных процентов (точная и приближенная), если сумма долга удвоилась за 5 лет?

Задача 7

Какой сложной процентной ставке при начислении процентов один раз в году соответствует сила роста 10% при непрерывном начислении процентов?

Задача 8

Ожидается, что цены за первый год вырастут на 15%, а за второй год – на 12%. Определить ожидаемый среднегодовой уровень инфляции за два года.

Вариант третий

Задача 1

Ссуда в размере 10 тыс.руб. выдаётся по учётной ставке простых процентов 8% годовых. Определить срок ссуды в годах, если заёмщик хочет получить 9,5 тыс.руб.

Задача 2

Первоначальный капитал P, руб.	i,% годовых

10 000
20 000
30 000
Множитель наращения

Задача 3

Ссуда 20,0 тыс. руб. выдана на 13 месяцев по номинальной ставке 7 % годовых. Начисление ежеквартально.

Определить множитель наращения и погашаемую сумму при ее вычислении двумя способами:

1 - по общей формуле (дробное число),

2 - по формуле начисления на целую часть сложных процентов, а на дробную часть - простых процентов.

Задача 4

Какую сумму следует проставить в векселе, если выдается ссуда в размере 100 000 руб. на два года? В контракте указана сложная годовая учетная ставка 16% годовых.

Задача 5

Каково минимально приемлемое значение годовой ставки сложных процентов, если ссуда должна быть удвоена в течение 3 - х лет.

Задача 6

Под вексель на сумму 15 тыс. руб. был выдан кредит в размере 10 тыс. руб. на 2 года. Какую учетную ставку означает такая сделка для простой и сложной схемы начисления процентов при периоде начисления n = 1 год?

Задача 7

Какой силе роста при начислении процентов один раз в году соответствует сложная процентная ставка 10% при непрерывном начислении процентов?

Задача 8

Какой должна быть ставка простых процентов с учетом инфляции, если индекс инфляции за 3 года составил 1,1?

Реальная ставка процентов составляет 10% годовых.

Вариант четвертый

Задача 1

При выдаче ссуды в размере 15 тыс. руб. по учётной ставке простых процентов 10% годовых заёмщику выдано 14 тыс.руб.

Определить срок ссуды в днях при К = 360.

Задача 2

Первоначальный капитал P, руб.	i,% годовых

40 000
50 000
60 000
Множитель наращения

Задача 3

Задача 4

Какой срок ссуды в годах следует проставить в договоре, если конечная сумма долга составляет 100 000 руб., а начальная сумма – 90 000 руб.

При этом сложная процентная ставка равна 12% годовых, а начисление процентов производится один раз в году?

Задача 5

Банк начисляет 20% годовых. Чему должен быть равен первоначальный вклад, чтобы через 3 года иметь на счете 10 млн. руб., если проценты начисляются ежеквартально.

Задача 6

Доходность учета векселя, срок оплаты которого наступает через 150 дней, должна составить 10% по годовой ставке сложных процентов. Определить требуемое значение учетной ставки при Кi = 365, Кd = 360.

Задача 7

Задача 8

Ссуда в размере 10 тыс. руб. выдана в начале года. Реальная доходность операции должна составить 7% годовых. Ожидаемый годовой темп инфляции составит 40%. Определить:

Множитель наращения с поправкой на инфляцию;

Ставку простых процентов, учитывающую инфляцию;

Погашаемую сумму с учетом инфляции.

Вариант пятый

Задача 1

Контракт на выдачу ссуды предусматривает погашение долга в сумме 20 500 руб. через 100 дней. Первоначальная сумма составляет 20 000руб.

Определить ставку простых процентов при К = 365 дней.

Задача 2

Ссуда выдается на 0,5 года:

1. По простой процентной ставке 10% годовых;

2. По простой учетной ставке 8 % годовых.

Заемщик должен возвратить S тыс. руб. Найти ссуду, полученную заемщиком и величину дисконта при математическом дисконтировании и коммерческом учете.

S, тыс. руб	Математическое дисконтирование	Коммерческий учет
	Р	D	Р	D

Задача 3

Первоначальная сумма ссуды 100 тыс. руб. выдана на 3 года. Проценты начисляются по годовой номинальной ставке 15%. Определить конечную сумму долга, если:

1) проценты начисляются один раз в конце года,

2) проценты начисляются два раза в год (в конце каждого полугодия).

Результаты сравнить и сделать выводы.

Задача 4

1. По сложной учетной ставке 12% один раз в год;

2. По номинальной учетной ставке 12% при дисконтировании ежеквартально.

Результаты сравнить и сделать вывод о том, какая ситуация выгоднее заемщику.

Задача 5

Первоначальная сумма ссуды 20,0 тыс. руб. срок ссуды 3 года, проценты начисляются в конце каждого квартала по номинальной ставке 8 % годовых.

Определить множитель наращения и погашаемую сумму.

Задача 6

Задача 7

Задача 8

Определить реальную ставку сложных процентов, если темп инфляции равен 10% годовых, а брутто-ставка составляет 20%.

Вариант шестой

Задача 1

Определить срок ссуды в днях, за который долг в 20 000 руб. вырастет до 21 000руб при ставке простых процентов 7 % годовых. К = 365 дней.

Задача 2

Ссуда выдается на 0,5 года:

1. По простой процентной ставке 10% годовых;

2. По простой учетной ставке 8 % годовых.

S, тыс. руб	Математическое дисконтирование	Коммерческий учет
	Р	D	Р	D

Задача 3

За сколько лет удвоится сумма долга при:

- простой ставке процентов 12% годовых,

- сложной ставке процентов 12% годовых?

Расчет для сложной ставки провести по точной и приближенной формулам.

Задача 4

Задача 5

Задача 6

- проценты начисляются один раз в конце года,

- проценты начисляются четыре раза в год (в конце каждого квартала).

Результаты сравнить и сделать выводы.

Задача7

Задача 8

Определить реальную ставку простых процентов, если срок суды 2 года, брутто-ставка составляет 15% годовых, а индекс цен за два года составил 115%.

Вариант седьмой

Задача 1

Рассчитать наращенную сумму в результате 3-х кратного реинвестирования при различных ставках простых процентов по годам: за 1-й год-12% годовых; за второй год-10% годовых, за 3-ий год- 8% годовых. Первоначальная сумма ссуды составляет 60 тыс. руб.

Задача 2

Ссуда выдается на 0,5 года:

1. По простой процентной ставке 10% годовых;

2. По простой учетной ставке 8 % годовых.

S, тыс. руб	Математическое дисконтирование	Коммерческий учет
	Р	D	Р	D

Задача 3

Какая схема вложений средств выгоднее вкладчику:

- вложить 35 тыс. руб. на 120 дней под ставку простых процентов 8,5% годовых и затем инвестировать полученную сумму под такую же ставку еще на 120 дней,

- вложить эту же сумму в 35 тыс. руб. на полгода по ставке простых процентов 11% годовых? (К = 365 дней)

Задача 4

Задача 5

Сложная процентная ставка по ссуде определена в 9% годовых плюс маржа. В первые два года маржа установлена в размере 5% годовых, в последующие два года - в размере 4% годовых. Определить множитель наращения за 4 года.

Задача 6

Банк начисляет на депозиты 10% по номинальной годовой ставке. Определить доходность вкладов по годовой ставке процентов при их начислении: - по полугодиям; - ежеквартально; - ежемесячно.

Задача 7

Задача 8

Вариант восьмой

Задача 1

Определить срок ссуды в годах, за который долг равный 10000 руб. вырастет до 11000 рублей при простой процентной ставке равной 8 % годовых.

Задача 2

Ссуда выдается на 0,5 года:

1. По простой процентной ставке 10% годовых;

2. По простой учетной ставке 8 % годовых.

S, тыс. руб	Математическое дисконтирование	Коммерческий учет
	Р	D	Р	D

Задача 3

Задача 4

Задача 5

- проценты начисляются один раз в конце года,

- проценты начисляются два раза в год (в конце каждого полугодия).

Результаты сравнить и сделать выводы.

Задача 6

Какой срок ссуды в годах следует проставить в договоре, если конечная сумма долга составляет 100 000 руб., а начальная сумма – 90 000 руб. При этом сложная процентная ставка равна 12% годовых, а начисление процентов производится один раз в году?

Задача 7

Задача 8

Ссуда в размере 50 тыс. руб. выдана на 3 года. Реальная доходность операции должна составить 8% годовых по сложной ставке процентов. Ожидается, что индекс инфляции за срок ссуды составит 2,5. Определить множитель наращения, ставку процентов при выдаче ссуды с учетом инфляции и погашаемую сумму.

Контрольная работа №2 выполняется во время сеанса работы студента с КОПР по дисциплине «Финансовая математика», тема «Детерминированная финансовая математика», пункты:

1.1. Простые проценты.

1.2. Сложные проценты.

1.3. Потоки платежей.

Для проверки студент сдаёт преподавателю распечатку листа результатов, сформированного системой КОПР.

Для подготовки к выполнению контрольных работ рекомендуем ознакомиться с нижеизложенным методическим материалом, который содержит теоретические выкладки и примеры решения типовых задач.

Простые ставки процентов

Практически все финансово – экономические расчеты связаны с определением процентных денег. Процентными деньгами (процентами) называют сумму доходов от предоставления денег в долг в любой форме (выдача ссуд, открытие депозитных счетов, покупка облигаций, сдача оборудования в аренду и т.п.) Сумма процентных денег зависит от суммы долга, срока его выплаты и процентной ставки, характеризующей интенсивность начисления процентов. Сумму долга с начисленными процентами называют наращенной суммой. Отношение наращенной суммы к первоначальной сумме долга называют множителем (коэффициентом) наращения. Интервал времени, за который начисляют проценты, называют периодом начисления.

При использовании простых ставок процентов сумма процентных денег определяется исходя из первоначальной суммы долга независимо от количества периодов начисления и их длительности по формуле:

I = n · i · P, где

n – срок долга в годах;

i – годовая ставка простых процентов в относительных единицах;

P – первоначальная сумма долга.

Наращенная сумма на каждом периоде начисления будет определяться формулой:

S = P · (1 + n · i) = P · k_нп, где

k_нп – коэффициент наращения.

Приведенная формула используется как для определения суммы вклада с процентами, так и для определения суммы кредита с процентами при его погашении единовременным платежом.

Пример 1. Банк принимает вклады до востребования по простой ставке 8% годовых. Определить сумму процентов на вклад 2000 руб., размещенный на полгода.

Решение

Сумма вклада с процентами:

S = 2000 · (1+0,5 · 1,08) = 2080 руб.

Сумма начисленных процентов:

I = S – P = 2080 – 2000 = 80 руб.

Сумму начисленных процентов можно также определить по формуле:

I = n ∙ i ∙ P = 0.5 ∙ 0,08 ∙ 2000 = 80 руб.

Если срок долга задается в днях, в приведенную формулу надо подставить выражение:

n = , где

t - продолжительность периода начисления в днях;

K- Расчетное количество дней в году (временная база).

Наращенная сумма при этом будет определяться по формуле:

S = P ∙ (1 + ∙ i)

Количество дней в году может браться точно – 365 или 366 дней (точные проценты) или приближенно – 360 дней (обыкновенные проценты). Количество дней в каждом целом месяце в течение срока долга также может браться точно или приближено (30 дней). В мировой банковской практике использование приближенного количества дней в каждом целом месяце и обыкновенных процентов называется “ германской практикой ”, точного числа дней в каждом месяце и обыкновенных процентов – “ французской практикой ”, точного числа дней в каждом месяце и точных процентов – “ английской практикой ”. В зависимости от использования конкретной практики начисления процентов их сумма будет различаться.

Пример 2. Вклад 2000 руб. был положен в банк 12 марта 2004 г. и востребован 25 декабря того же года. Ставка процентов составляла 8 % годовых. Определить сумму начисленных процентов при различной практике их начисления.

Решение

1. При германской практике расчетное количество дней для начисления процентов равно: [ 20 (март) + 30 (апрель) +30 (май) + 30 (июнь) + 30 (июль) + 30 (август) + 30 (сентябрь) + 30 (октябрь) + 30 (ноябрь) + 25 (декабрь) – 1 (день выдачи денег в долг и день их возвращения считаются за один день) ] = 284 дня

Ссумма начисленных процентов составит:

I = ∙ 0,08 ∙ 2000 = 126,2 руб.

2. При французской практике расчетное количество дней для начисления процентов равно: [20+30+31+30+31+31+30+31+30+25-1]=288 дней.

Сумма начисленных процентов будет равна:

I = ∙ 0,08 ∙ 2000 = 128,0 руб.

3. При английской практике сумма начисленных процентов составит:

I = ∙ 0,08 ∙ 2000 = 125,9 руб.

Для расчета процентов может быть использована методика расчета с вычислением процентных чисел. При этом каждый раз, когда сумма на счете изменяется, производится расчет процентного числа за прошедший период, в течение которого сумма на счете оставалась неизменной, по выражению:

Процентное число = Сумма х Длительность периода в днях

Для определения суммы процентов за срок их начисления все процентные числа складываются, и их сумма делится на постоянный делитель, равный:

Постоянный делитель = Количество дней в году

Годовая ставка процентов

Обратите внимание, что готовая ставка процентов при этом берется по своей абсолютной величине.

Пример 3. При открытии сберегательного счета по ставке 12% годовых 20 мая 2004 г. на счет была положена сумма 10 тыс. руб. Затем 5 июля на счет была добавлена сумма 5 тыс. руб., 10 сентября со счета бала снята сумма 7.5 тыс. руб., а 20 ноября счет был закрыт. Используя процентные числа, определить сумму начисленных процентов.

Решение

Будем считать, что начисление процентов проводилось по германской практике. В этом случае срок хранения суммы 10 тыс. руб. составил 46 дней, суммы 15 тыс. руб. – 66 дней, суммы 7.5 тыс. руб. – 70 дней.

Сумма процентных чисел будет равна:

Постоянный делитель равен:

360: 12 = 30

Следовательно, сумма начисленных процентов будет равна:

19750: 30 = 658,3 руб.

Обратите внимание, что такая методика по своей сути является последовательным применением формулы процентных денег на каждом интервале постоянства суммы на счете. В рассматриваемом случае:

I = I₁ + I₂ + I3 = руб

Если ставка процентов в течение срока долга будет изменяться, наращенная сумма будет равна:

S = P ∙ (1 + n₁i₁+ n₂i₂+...+ n_Ni_N), где

N – количество периодов начисления;

n_t (t = 1, 2..., N) – длительность t -го периода начисления;

i_t (t = 1, 2,..., N) – простая ставка процентов на t-м периоде начисления.

Пример 4. Вклад 20 тыс. руб. был положен в банк 25 мая 2004 г. по ставке 9% годовых. С 1 июля банк снизил ставку по вкладам до 3 % годовых, 15 июля вклад был востребован. Определить сумму начисленных процентов при английской практике их начисления.

Решение

Количество дней для начисления процентов по ставке 9 % годовых равно 37, по ставке 3% годовых – 14 дням.

Сумма начисленных процентов будет равна:

I = 20000 · руб.

Используя формулу для наращенной суммы можно определить:

а) срок долга

в годах

n =

или в днях

t =

б) ставку процентов

i =

в) первоначальную сумму долга

P =

Последняя операция называется дисконтированием по простой ставке процентов. Термин «дисконтирование» в широком смысле означает определение значения стоимостной величины на некоторый момент времени, если задано ее значение в будущем. Дисконтирование позволяет учитывать в стоимостных расчетах фактор времени.

При проведении процентных расчетов может быть учтена инфляция – снижение покупательной способности денег. Инфляцию за некоторый период времени характеризуют ее уровнем, показывающим, во сколько раз выросли цены.

Уровень инфляции и индекс инфляции за один и тот же период связаны соотношениями:

H = (Ip –1) 100

I_p =

где Ip – индекс инфляции;(в коэффициентах)

H – уровень (темп) и инфляция (в %)

Если задан уровень инфляции за некоторый период (например, месяц), то индекс инфляции за срок, включающий несколько таких периодов (например, квартал, полугодие, год) определяется по формуле:

I = ^N

H – уровень инфляции за период;

N – количество таких периодов в течение рассматриваемого срока.

Пример 5. Определить ожидаемый годовой уровень инфляции при месячном уровне инфляции 1.6 и 1.2 %.

Решение

При месячном уровне инфляции 1.6 % индекс инфляции за год составит:

Ip = (1 + 0,016)12 = 1,21

Следовательно, ожидаемый годовой уровень инфляции будет равен:

H = (1,21 - 1)·100=21%

При месячном уровне инфляции 1.2 % индекс инфляции за год составит.

Ip = (1+0,012)12 =1,154

Годовой уровень инфляции будет равен:

H = (1,154-1)·100 =15,4 %

Инфляция будет влиять на реальную (с точки зрения покупательной способности) доходность вкладных и кредитных операций. Реальное значение суммы с начисленными процентами за некоторый срок, пересчитанное (приведенное) к моменту предоставления денег в долг, будет равно:

Где Ip - индекс инфляции за срок долга.

C - Наращенная сумма с учетом ее обесценения

При использовании простых ставок процентов и одном периоде их начисления:

C =

Пример 6. Банк принимает депозиты на полгода по ставке 9 % годовых. Определить реальные результаты вкладной операции для размера вклада 50 тыс. руб. при месячном уровне инфляции 1.8 %

Решение

Сумма влада с процентами будет равна:

S = 500008·(1+ 0,5·0,09)=52250 руб.

Индекс инфляции за срок хранения депозита составит:

Ip = (1 + 0,018)⁶= 1,113

Следовательно, сумма вклада с начисленными процентами по своей покупательной способности с учетом инфляции будет соответствовать, сумме:

руб.

При выдаче кредитов уровень инфляции может быть учтен при определении ставки процентов по кредиту (брутто-ставки r). Общая формула для определения простой ставки процентов по кредиту, компенсирующей ожидаемую инфляцию, при одном периоде начисления имеет вид:

где r - брутто-ставка;

Простые учетные ставки

Учетные ставки обычно используются при определении процентных денег при покупке (учете) банком векселей или других денежных обязательств. При этом банк до наступления платежа по векселю покупает его у предъявителя по цене, меньшей суммы, которая должна быть выплачена по нему в момент его погашения. Доход банка от такой операции, равный разности между суммой по векселю и ценой его покупки, называется дисконтом, Сумма процентных денег (дисконт) при этом определяется исходя из суммы по векселю, и равна

где n- срок в долях года от даты учета до даты погашения векселя;

d – годовая учетная ставка в относительных единицах;

S – сумма по векселю;

t – количество дней от даты учета до даты погашения векселя.

Сумма, полученная предъявителем векселя, будет равна:

P = S - D = S · (1 n · d) = S · (1

Пример 8. Вексель на сумму 50 тыс. руб. предъявлен в банк за погода до срока его погашения. Банк для определения своего дохода использует учетную ставку, равную 2% годовых. Определить сумму, выплаченную предъявителю векселя, и суму дохода, полученного банком.

Решение

Сумма, полученная предъявителем векселя, будет равна:

P=50000·(11,5·0,02)=4950 руб.

Сумма дисконта, полученного банком, составит:

D=50000-49500=500 руб.

Или

D= 0,5·0,02·50000=500 руб.

Аналогичным образом можно определять и величину суммы, выдаваемой заемщику, если известна сумма, которая должна быть возвращена, а банк определяет свой доход с использованием учетной ставки. Если при такой операции задаются значения выдаваемой и возвращаемой сумм, можно определить срок займа при заданной учетной ставке:

или

Если заданы значения суммы и срока до оплаты векселя, а также суммы, выплаченной предъявителю векселя (или суммы дисконта), можно определить значение учетной ставки, которую банк использовал при определении своего дохода:

Если необходимо определить значение учетной ставки, обеспечивающей требуемую реальную доходность операции учета в условиях инфляции, можно использовать формулу:

где d - значение учетной ставки, характеризующее требуемую реальную доходность операции учета;

I_p- индекс инфляции за период от даты погашения векселя.

Пример 9. При учете векселя в условиях инфляции должна быть обеспечена реальная доходность, определяемая учетной ставкой 8% годовых. Определить значение учетной ставки, компенсирующей потери от инфляции, при учете векселя, до срока погашения которого осталось 90 дней, если ожидаемый месячный уровень инфляции составит 1,6%, а расчетное количество дней в году 360.

Решение

Индекс инфляции за три месяца составит:

I_n=(1+0,016)³=1,049

Значение годовой учетной ставки, обеспечивающей требуемую реальную доходность операции учета, будет равно:

Простые ставки процентов

Поиск по сайту