Чтобы определить температуру внутри тела в любой момент времени, недостаточно одного уравнения (1.185). Необходимо, как следует из физических соображений, знать еще распределение температуры внутри тела в начальный момент времени (начальное условие) и тепловой режим на границе тела (граничное условие).
Начальное условие в отличие от уравнения гиперболического типа задается только одно, т.к. исходное уравнение содержит лишь первую производную по времени.
Граничные или краевые условия могут быть различны в зависимости от температурного режима на границе тела. Основными видами тепловых режимов являются следующие: I – на границе поддерживается определенная температура; II – на границу подается определенный тепловой поток; III – происходит теплообмен с внешней средой, температура которой известна. Им соответствуют граничные условия первого, второго, третьего рода.
Сформулируем прежде условия для одномерного уравнения теплопроводности.
Начальное условие состоит в задании функции 
в начальный момент времени 
:
 .
| (1.189) |
Выведем граничные условия в случаях I – III.
1. На концах стержня (или на одном конце) задается температура
 ,  ,
| (1.190) |
где 
, 
- функции, заданные в некотором промежутке 
, причем 
есть промежуток времени, в течении которого изучается процесс. В частности, 
, 
, т.е. на концах поддерживается постоянная температура 
и 
.
2. На одном из концов (или на обоих) задано значение производной искомой функции. Например, для сечения 
 .
| (1.191) |
Дадим физическое толкование этому условию. Пусть 
- величина теплового потока, т.е. количество тепла, протекающего через торцевое сечение в единицу времени. Тогда уравнение теплового баланса для элемента стержня 
в период времени 
, как и при выводе уравнения (1.183) запишется в виде
.
Сократив на 
и перейдя к пределу при 
, получим 
. Таким образом, имеем условие (1.192), в котором 
- известная функция, выражающаяся через заданный поток тепла по формуле 
.
Аналогично для сечения 
, через которое протекает количество тепла 
, найдем
.
Следовательно, условие или 
имеет место в случае, когда на соответствующем конце стержня задан тепловой поток, втекающий или вытекающий. В частности, если концевое сечение теплоизолировано, то 
или 
, и следовательно,
или 
.
3. На одном из концов (или на обоих) задается линейное соотношение между функцией и ее производной. Например, для сечения 
 .
| (1.192) |
Условие типа (1.192) используется в случае процесса теплоотдачи, т.е. переноса тепла от тела к окружающей среде. Закон теплообмена сложен; но для упрощения задачи он может быть принят в виде закона Ньютона. Согласно эмпирическому закону Ньютона количество тепла, отдаваемого в единицу времени с единицы площади поверхности тела в окружающую среду, температура 
которой известна, пропорционально разности температур поверхности тела и окружающей среды:
,
где 
- коэффициент теплообмена (или внешней теплопроводности).
Можно определить тепловой поток через сечение стержня, воспользовавшись двумя выражениями в силу закона сохранения энергии. Согласно закону Ньютона тепловой поток 
, вытекающий через сечение , равен
.
С другой стороны, такой же тепловой поток должен подводиться изнутри путем теплопроводности. Поэтому согласно закону Фурье
.
Приравнивая правые части этих выражений, найдем
.
Отсюда получаем математическую формулировку условия в виде
,
в котором положено 
, 
.
Заметим, что граничные условия, наложенные на значения функции 
, называют условиями первого рода. Граничные условия, наложенные на значение производной 
, называют условиями второго рода. А условия, наложенные как на значение функции , так и на значение производной , называют условиями третьего рода.
В случае граничных условий вида (1.190), (1.191), (1.192) говорят соответственно о первой, второй, третьей краевых задачах для уравнения теплопроводности. Начальное условие для всех указанных краевых задач остается тем же самым и дается равенством (1.189).
Так, первая краевая задача состоит в отыскании решения уравнения
при 
, 
,
удовлетворяющего условиям
, 
,
, 
, 
.
Аналогично ставятся другие краевые задачи с различными комбинациями граничных условий при и .
Кроме названных задач довольно часто встречаются предельные случаи – вырождения основных краевых задач. Одним из таких случаев является задача Коши, которая состоит в отыскании решения в неограниченной области, удовлетворяющего только начальному условию.
Если процесс теплопроводности изучается в очень длинном стержне, таком что влияние температурного режима, заданного на границе, в центральной части стержня оказывается весьма слабым в течение небольшого промежутка времени и определяется в основном лишь начальным распределением температуры, то тогда считают, что стержень имеет бесконечную длину и ставят задачу Коши.
ЗАДАЧА КОШИ для «бесконечного» стержня (идеализация достаточно длинного стержня) математически формулируется так: найти решение уравнения теплопроводности в области 
, 
, удовлетворяющее начальному условию
,
где 
- заданная функция.
Если участок стержня, температура которого нас интересует, находится вблизи одного конца и далеко от другого, то в этом случае температура практически определяется температурным режимом близкого конца и начальным условием. При этом стержень считают полубесконечным. Приведем в качестве примера формулировку первой краевой задачи для «полубесконечного» стержня: найти решение уравнения теплопроводности в области 
, , удовлетворяющее условиям
, 
,
, ,
где и 
- заданные функции.
Для уравнения (1.185) теплопроводности в пространстве 
, ограниченном поверхностью 
, начальное условие записывают в виде
,
а на границе области функция 
должна удовлетворять одному из условий:
1) 
(граничное условие 1-го рода);
2) 
(граничное условие 2-го рода);
где 
- внешняя нормаль к поверхности ; в частности, если поверхность теплоизолирована, то 
;
3) 
(граничное условие 3-го рода).
Здесь 
- текущая точка поверхности .
Если распределение температуры внутри тела стационарно, то для однозначного определения функции 
не надо задавать начальное условие, т.к. в начальный и во все последующие моменты времени распределение температуры одно и то же, а достаточно знать лишь тепловой ражим на границе тела. Разыскание закона стационарного распределения температуры сводится к решению уравнения Пуассона (1.187) или уравнения Лапласа (1.188) по одному из граничных условий, в которых функции 
и 
не зависят от 
. Задача для уравнений Пуассона и Лапласа с граничным условием 
называется задачей Дирихле, а с условием 
- задачей Неймана.
Доказано, что решение каждой из одномерных краевых задач первой, второй и третьей единственно в классе функций, непрерывно дифференцируемых в области 
, . Для трехмерных и двумерных краевых задач решение единственно в классе функций, удовлетворяющих условиям применимости соответственно формулы Остроградского и формулы Грина. Решение задачи Коши для уравнения теплопроводности в классе функций, ограниченных во всем пространстве, единственно и устойчиво.