Неоднородное уравнение теплопроводности
Пусть внутри стержня имеются источники или поглотители тепла с известной плотностью распределения их. В этом случае процесс распространения тепла описывается неоднородным уравнением (1.183). Определим закон изменения температуры в стержне для граничных условий первого рода.
А Однородная краевая задача
Рассмотрим неоднородное уравнение
с нулевыми (однородными) граничными условиями
 ,  ,
| (1.214) |
и начальным условием
 .
| (1.215) |
Будем искать решение этой задачи в виде
 .
| (1.216) |
Тогда граничные условия удовлетворяются автоматически.
Предположим, что функция 
, рассматриваемая как функция от 
при фиксированном 
, может быть разложена в ряд Фурье
 ,
| (1.217) |
где
 .
| (1.218) |
Подставляя в уравнение (1.183) ряд (1.216) (предполагаемое решение) и принимая во внимание (1.217), будем иметь
,
откуда получим
 , где  .
| (1.219) |
Пользуясь начальным условием (1.214)
,
получаем начальное условие для 
:
 .
| (1.220) |
Найдем решение обыкновенного дифференциального уравнения (1.219), удовлетворяющее условию (1.220), воспользовавшись методом вариации. Решение соответствующего однородного уравнения имеет вид (1.211)
.
Подставив в (1.219) выражения и 
, получим дифференциальное уравнение относительно 
:
,
откуда находим
.
Следовательно, 
и в силу (1.220)
.
Итак,
 .
| (1.221) |
Подставляя в ряд (1.216) выражение (1.221), получим решение однородной краевой задачи (1.183), (1.214) – (1.215) в виде
 .
| (1.222) |
Если начальное условие неоднородно 
, то к решению (1.222) нужно прибавить решение однородного уравнения теплопроводности с заданным начальным условием 
и граничными условиями (1.214), которое получено в п.1.33.1А.
Б Общая первая краевая задача
Наконец рассмотрим общую первую краевую задачу для неоднородного уравнения теплопроводности, т.е. тот случай, когда начальное и граничные условия неоднородные:
найти решение уравнения (1.183)
при граничных условиях
 ,  ,
| (1.223) |
и начальном условии
| .
| (1.224) |
Задача сводится к задачам, рассмотренным в пп. 1.33.1Б, 1.33.2А. А именно, вводится функция вида
 ,
| (1.225) |
где функция 
удовлетворяет однородному уравнению
 ,
| (1.226) |
граничным условиям
 , 
| (1.227) |
и начальному условию
 ,
| (1.228) |
а функция 
удовлетворяет неоднородному уравнению
 ,
| (1.229) |
граничным условиям
 , 
| (1.230) |
и начальному условию
 .
| (1.231) |
Легко доказать, что сумма (1.225) является решением общей краевой задачи.
Распространение тепла в бесконечном стержне.
Решение задачи Коши для однородного уравнения
теплопроводности методом интеграла Фурье
Рассмотрим задачу о распределении температуры в однородном неограниченном стержне, теплоизолированном по всей длине, при известном начальном (при 
) распределении температуры.
Математическая постановка задачи: найти функцию 
, ограниченную в области 
, 
, удовлетворяющую уравнению
  , 
| (1.232) |
и начальному условию
| , .
| (1.233) |
Сформулированная задача есть задача Коши.
Применим метод разделения переменных и суперпозиции частных решений.
Ищем частные решения уравнения (1.232) в виде произведения двух функций одной переменной
 .
| (1.234) |
Подставляя (1.234) в (1.232) и разделяя переменные, получим
, 
.
Откуда следует
 ,
| (1.235) |
 .
| (1.236) |
Из уравнения (1.235) находим
 .
| (1.237) |
Функции 
и 
должны быть ограниченными, т.к. температура 
не может неограниченно возрастать в результате свободного теплообмена. Из (1.236) видно, что параметр разделения 
не может быть отрицательным; если 
, то 
при 
, а это не имеет физического смысла. Следовательно, 
. Обозначим для удобства последующих выкладок 
. В выражении (1.237) положим 
. Тогда
.
Как известно, для линейного уравнения (1.236) общее решение имеет вид
.
Так как граничные условия отсутствуют, то параметр 
остается совершенно произвольным. Произвольные постоянные 
и 
для каждого имеют определенные значения. Поэтому и можно считать функциями от . Согласно (1.234) каждому значению 
соответствует частное решение
 .
| (1.238) |
В случае стержня конечной длины 
мы определили из граничных условий дискретное множество возможных значений параметра : 
, где каждому 
соответствуют некоторые коэффициенты 
и 
. Чем длиннее стержень, тем гуще множество значений 
(расстояние между и 
равно 
и стремится к нулю, когда 
). Поэтому для бесконечного стержня может иметь любое значение от 0 до 
. Таким образом, первая часть метода – построение частных решений – завершена.
Вторая часть метода Фурье – суперпозиция частных решений 
, 
. Уравнение (1.232) линейное и однородное; оно имеет, как мы только что установили, бесчисленное множество частных решений, зависящих от непрерывно меняющегося параметра . Поэтому общее решение получается из частных (1.238) не суммированием по счетному множеству значений , а интегрированием по параметру :
 .
| (1.239) |
Для того чтобы убедиться, что функция (1.239) действительно является решением уравнения (1.232), надо продифференцировать (1.239) по и по и результаты дифференцирования подставить в уравнение. Не проводя эту операцию, которая требует определенных знаний об интегралах по параметру, будем исходить из доказанного в литературе утверждения: интеграл (1.239) является решением уравнения (1.232) при любых абсолютно интегрируемых функциях 
и 
. Подберем функции и так, чтобы решение (1.239) удовлетворяло начальному условию (1.233). Полагая в (1.239) , получим в силу (1.233)
 .
| (1.240) |
Интеграл, стоящий справа, есть интеграл Фурье (одна из его форм), который является обобщением понятия ряда Фурье.
В теории интеграла Фурье доказывается, что любая непрерывная функция 
, абсолютно интегрируемая, т.е. удовлетворяющая условию
,
может быть представлена в виде интеграла от гармонических функций 
и 
, частоты которых приобретают непрерывную совокупность значений:
 ,
| (1.241) |
где
 ,  .
| (1.242) |
В равенстве (1.241) нетрудно усмотреть сходство с рядом Фурье для функции , а в выражениях (1.242) – сходство с коэффициентами Фурье.
Сравнивая равенства (1.240) и (1.241), получаем выражения
 , 
| (1.243) |
в предположении, что заданная функция 
непрерывна и абсолютно интегрируема.
Найдя таким образом коэффициенты и по формулам (1.243) и подставив их в интеграл (1.240), получим
Внесем 
и 
под знак внутренних интегралов, тогда
Учитывая, что выражение в круглых скобках есть косинус разности, приходим к следующему представлению:
.
Последний интеграл можно еще преобразовать, изменив порядок интегрирования:
 .
| (1.244) |
По существу задача решена. Построенная функция есть решение данного уравнения, удовлетворяющее заданному начальному условию. Можно только преобразовать полученное выражение к более удобному виду, который позволит придать физический смысл решению задачи теплопроводности в бесконечном стержне.
Займемся вычислением внутреннего интеграла; положим в нем 
, 
, откуда найдем 
, 
. В результате имеем
.
Последний интеграл может быть вычислен следующим специальным приемом. Обозначим
 .
| (1.245) |
Дифференцируя интеграл 
по параметру 
, найдем, что
.
Преобразуем 
, проинтегрировав по частям:
Таким образом, имеем дифференциальное уравнение
Интегрируя его, получим
.
Откуда находим
.
Определим 
. Из (1.245) имеем 
- интеграл Пуассона. Как известно, 
. В силу этого
и
.
Подставляя это выражение интеграла в решение (1.244), найдем
и окончательно
 .
| (1.246) |
Заметим, что полученный интеграл (1.246), называемый интегралом Пуассона, довольно труден для вычисления: он не берется в элементарных функциях. Однако задача считается решенной, если удается выразить этот интеграл через табулированную функцию 
, известную в теории вероятностей под названием интеграла ошибок.
Функцию
 ,
| (1.247) |
зависящую от 
и произвольного параметра 
, часто называют фундаментальным решением уравнения теплопроводности. Функция 
удовлетворяет уравнению теплопроводности и начальному условию, в чем нетрудно убедиться. Она имеет определенный физический смысл.
Пусть начальное распределение температуры в стержне задано функцией , равной нулю всюду, кроме окрестности точки 
, где 
, т.е.
(см. рис. 1.11). Это так называемый физический тепловой импульс. Такое начальное распределение можно истолковать следующим образом: до момента весь стержень находился при нулевой температуре и в момент малому интервалу 
, т.е. элементу длины 
стержня, сообщили некоторое количество тепла 
(здесь 
- плотность материала стержня, 
- его теплоемкость, 
- масса выделенного участка), которое вызвало мгновенное повышение температуры на этом участке на величину 
. Практически температура, конечно, не может представляться разрывной функцией 
, но график температуры (он будет иметь примерно вид пунктирной линии) тем меньше отличается от графика , чем резче и кратковременнее будет подогрев.
При таком тепловом импульсе решение (1.247) задачи теплопроводности будет иметь вид
 .
| (1.248) |
Будем теперь уменьшать длину интервала, на которой было подано тепло 
. Устремляя 
к нулю, т.е. переходя к мгновенному точечному источнику тепла, находящемуся в момент в точке 
, получим из интеграла (1.248), используя теорему о среднем,
 .
| (1.249) |
В частности, если количество тепла 
, то решение (1.249) превратится в функцию
,
т.е. в фундаментальное решение (1.247) при значении параметра 
.
Следовательно, точечный источник тепла с количеством тепла , действовавший в точке в момент 
, передаст в точку к моменту такое количество тепла, что температура в этой точке становится равной фундаментальному решению 
уравнения теплопроводности.
Применим теперь физический смысл фундаментального решения к физическому толкованию решения (1.246). Для того чтобы придать сечению 
стержня температуру 
в начальный момент, надо распределить на малом элементе 
около этой точки количество тепла 
или, что то же самое, поместить в точке мгновенный точечный источник тепла мощности 
. Тогда, согласно (1.249), распределение температуры, вызываемое этим тепловым импульсом, будет таково:
.
Общее же воздействие, обусловленное начальной температурой во всех точках стержня, может быть получено суммированием тех воздействий, которые произошли от отдельных элементов, т.е. от каждого импульса в отдельности, что и даст полученное выше решение
.
Другими словами, решение (1.246) есть результат суперпозиции (наложения) температур, возникающих в точке в момент времени вследствие воздействия непрерывно распределенных по стержню тепловых импульсов «интенсивности» в точке , приложенных в момент .
Формула Пуассона (1.246) обобщается в задачу Коши для уравнения теплопроводности с двумя и тремя пространственными координатами. Так, в случае распространения тепла в неограниченном пространстве уравнение теплопроводности
при начальном условии
имеет решение
.