теплопроводности методом интеграла Фурье

Неоднородное уравнение теплопроводности

 

Пусть внутри стержня имеются источники или поглотители тепла с известной плотностью распределения их. В этом случае процесс распространения тепла описывается неоднородным уравнением (1.183). Определим закон изменения температуры в стержне для граничных условий первого рода.

 

А Однородная краевая задача

 

Рассмотрим неоднородное уравнение

с нулевыми (однородными) граничными условиями

 

, ,

(1.214)

 

и начальным условием

 

.

(1.215)

 

Будем искать решение этой задачи в виде

 

.

(1.216)

 

Тогда граничные условия удовлетворяются автоматически.

Предположим, что функция , рассматриваемая как функция от при фиксированном , может быть разложена в ряд Фурье

 

,

(1.217)

 

где

 

.

(1.218)

 

Подставляя в уравнение (1.183) ряд (1.216) (предполагаемое решение) и принимая во внимание (1.217), будем иметь

,

откуда получим

 

, где .

(1.219)

 

Пользуясь начальным условием (1.214)

,

получаем начальное условие для :

 

.

(1.220)

 

Найдем решение обыкновенного дифференциального уравнения (1.219), удовлетворяющее условию (1.220), воспользовавшись методом вариации. Решение соответствующего однородного уравнения имеет вид (1.211)

.

Подставив в (1.219) выражения и , получим дифференциальное уравнение относительно :

,

откуда находим

.

Следовательно,

и в силу (1.220)

.

Итак,

 

.

(1.221)

 

Подставляя в ряд (1.216) выражение (1.221), получим решение однородной краевой задачи (1.183), (1.214) – (1.215) в виде

.

(1.222)

 

Если начальное условие неоднородно , то к решению (1.222) нужно прибавить решение однородного уравнения теплопроводности с заданным начальным условием и граничными условиями (1.214), которое получено в п.1.33.1А.

 

 

Б Общая первая краевая задача

 

Наконец рассмотрим общую первую краевую задачу для неоднородного уравнения теплопроводности, т.е. тот случай, когда начальное и граничные условия неоднородные:

найти решение уравнения (1.183)

при граничных условиях

 

, ,

(1.223)

 

и начальном условии

 

.

(1.224)

 

Задача сводится к задачам, рассмотренным в пп. 1.33.1Б, 1.33.2А. А именно, вводится функция вида

 

,

(1.225)

 

где функция удовлетворяет однородному уравнению

 

,

(1.226)

 

граничным условиям

 

,

(1.227)

 

и начальному условию

 

,

(1.228)

 

а функция удовлетворяет неоднородному уравнению

 

,

(1.229)

 

 

граничным условиям

 

,

(1.230)

 

и начальному условию

 

.

(1.231)

 

Легко доказать, что сумма (1.225) является решением общей краевой задачи.

 

Распространение тепла в бесконечном стержне.

Решение задачи Коши для однородного уравнения

теплопроводности методом интеграла Фурье

 

Рассмотрим задачу о распределении температуры в однородном неограниченном стержне, теплоизолированном по всей длине, при известном начальном (при ) распределении температуры.

Математическая постановка задачи: найти функцию , ограниченную в области , , удовлетворяющую уравнению

 

,

(1.232)

 

и начальному условию

 

, .

(1.233)

 

Сформулированная задача есть задача Коши.

Применим метод разделения переменных и суперпозиции частных решений.

Ищем частные решения уравнения (1.232) в виде произведения двух функций одной переменной

 

.

(1.234)

 

Подставляя (1.234) в (1.232) и разделяя переменные, получим

, .

 

Откуда следует

 

,

(1.235)

 

.

(1.236)

 

Из уравнения (1.235) находим

 

.

(1.237)

 

Функции и должны быть ограниченными, т.к. температура не может неограниченно возрастать в результате свободного теплообмена. Из (1.236) видно, что параметр разделения не может быть отрицательным; если , то при , а это не имеет физического смысла. Следовательно, . Обозначим для удобства последующих выкладок . В выражении (1.237) положим . Тогда

.

Как известно, для линейного уравнения (1.236) общее решение имеет вид

.

Так как граничные условия отсутствуют, то параметр остается совершенно произвольным. Произвольные постоянные и для каждого имеют определенные значения. Поэтому и можно считать функциями от . Согласно (1.234) каждому значению соответствует частное решение

 

.

(1.238)

 

В случае стержня конечной длины мы определили из граничных условий дискретное множество возможных значений параметра : , где каждому соответствуют некоторые коэффициенты и . Чем длиннее стержень, тем гуще множество значений (расстояние между и равно и стремится к нулю, когда ). Поэтому для бесконечного стержня может иметь любое значение от 0 до . Таким образом, первая часть метода – построение частных решений – завершена.

Вторая часть метода Фурье – суперпозиция частных решений , . Уравнение (1.232) линейное и однородное; оно имеет, как мы только что установили, бесчисленное множество частных решений, зависящих от непрерывно меняющегося параметра . Поэтому общее решение получается из частных (1.238) не суммированием по счетному множеству значений , а интегрированием по параметру :

 

.

(1.239)

 

Для того чтобы убедиться, что функция (1.239) действительно является решением уравнения (1.232), надо продифференцировать (1.239) по и по и результаты дифференцирования подставить в уравнение. Не проводя эту операцию, которая требует определенных знаний об интегралах по параметру, будем исходить из доказанного в литературе утверждения: интеграл (1.239) является решением уравнения (1.232) при любых абсолютно интегрируемых функциях и . Подберем функции и так, чтобы решение (1.239) удовлетворяло начальному условию (1.233). Полагая в (1.239) , получим в силу (1.233)

 

.

(1.240)

 

Интеграл, стоящий справа, есть интеграл Фурье (одна из его форм), который является обобщением понятия ряда Фурье.

В теории интеграла Фурье доказывается, что любая непрерывная функция , абсолютно интегрируемая, т.е. удовлетворяющая условию

,

может быть представлена в виде интеграла от гармонических функций и , частоты которых приобретают непрерывную совокупность значений:

 

,

(1.241)

 

где

 

, .

(1.242)

 

В равенстве (1.241) нетрудно усмотреть сходство с рядом Фурье для функции , а в выражениях (1.242) – сходство с коэффициентами Фурье.

Сравнивая равенства (1.240) и (1.241), получаем выражения

 

,

(1.243)

 

в предположении, что заданная функция непрерывна и абсолютно интегрируема.

Найдя таким образом коэффициенты и по формулам (1.243) и подставив их в интеграл (1.240), получим

Внесем и под знак внутренних интегралов, тогда

Учитывая, что выражение в круглых скобках есть косинус разности, приходим к следующему представлению:

.

Последний интеграл можно еще преобразовать, изменив порядок интегрирования:

 

.

(1.244)

 

По существу задача решена. Построенная функция есть решение данного уравнения, удовлетворяющее заданному начальному условию. Можно только преобразовать полученное выражение к более удобному виду, который позволит придать физический смысл решению задачи теплопроводности в бесконечном стержне.

Займемся вычислением внутреннего интеграла; положим в нем , , откуда найдем , . В результате имеем

.

Последний интеграл может быть вычислен следующим специальным приемом. Обозначим

 

.

(1.245)

 

Дифференцируя интеграл по параметру , найдем, что

.

Преобразуем , проинтегрировав по частям:

Таким образом, имеем дифференциальное уравнение

Интегрируя его, получим

.

Откуда находим

.

Определим . Из (1.245) имеем - интеграл Пуассона. Как известно, . В силу этого

и

.

Подставляя это выражение интеграла в решение (1.244), найдем

и окончательно

 

.

(1.246)

 

Заметим, что полученный интеграл (1.246), называемый интегралом Пуассона, довольно труден для вычисления: он не берется в элементарных функциях. Однако задача считается решенной, если удается выразить этот интеграл через табулированную функцию , известную в теории вероятностей под названием интеграла ошибок.

Функцию

 

,

(1.247)

 

зависящую от и произвольного параметра , часто называют фундаментальным решением уравнения теплопроводности. Функция удовлетворяет уравнению теплопроводности и начальному условию, в чем нетрудно убедиться. Она имеет определенный физический смысл.

Пусть начальное распределение температуры в стержне задано функцией , равной нулю всюду, кроме окрестности точки , где , т.е.

(см. рис. 1.11). Это так называемый физический тепловой импульс. Такое начальное распределение можно истолковать следующим образом: до момента весь стержень находился при нулевой температуре и в момент малому интервалу , т.е. элементу длины стержня, сообщили некоторое количество тепла (здесь - плотность материала стержня, - его теплоемкость, - масса выделенного участка), которое вызвало мгновенное повышение температуры на этом участке на величину . Практически температура, конечно, не может представляться разрывной функцией , но график температуры (он будет иметь примерно вид пунктирной линии) тем меньше отличается от графика , чем резче и кратковременнее будет подогрев.

При таком тепловом импульсе решение (1.247) задачи теплопроводности будет иметь вид

 

.

(1.248)

 

Будем теперь уменьшать длину интервала, на которой было подано тепло . Устремляя к нулю, т.е. переходя к мгновенному точечному источнику тепла, находящемуся в момент в точке , получим из интеграла (1.248), используя теорему о среднем,

 

 

.

(1.249)

 

В частности, если количество тепла , то решение (1.249) превратится в функцию

,

т.е. в фундаментальное решение (1.247) при значении параметра .

Следовательно, точечный источник тепла с количеством тепла , действовавший в точке в момент , передаст в точку к моменту такое количество тепла, что температура в этой точке становится равной фундаментальному решению уравнения теплопроводности.

Применим теперь физический смысл фундаментального решения к физическому толкованию решения (1.246). Для того чтобы придать сечению стержня температуру в начальный момент, надо распределить на малом элементе около этой точки количество тепла или, что то же самое, поместить в точке мгновенный точечный источник тепла мощности . Тогда, согласно (1.249), распределение температуры, вызываемое этим тепловым импульсом, будет таково:

.

Общее же воздействие, обусловленное начальной температурой во всех точках стержня, может быть получено суммированием тех воздействий, которые произошли от отдельных элементов, т.е. от каждого импульса в отдельности, что и даст полученное выше решение

.

Другими словами, решение (1.246) есть результат суперпозиции (наложения) температур, возникающих в точке в момент времени вследствие воздействия непрерывно распределенных по стержню тепловых импульсов «интенсивности» в точке , приложенных в момент .

Формула Пуассона (1.246) обобщается в задачу Коши для уравнения теплопроводности с двумя и тремя пространственными координатами. Так, в случае распространения тепла в неограниченном пространстве уравнение теплопроводности

при начальном условии

имеет решение

.