По полученной формуле проведены расчеты

Из которых следует:

- искажение треугольников при n>2 обусловлено изменением угла С от 90^о при n=2 до 60^о при n → ∞ при этом треугольники превращаются из прямоугольных в остроугольные и в пределе – в равносторонние.

- В остроугольных треугольниках нет целых решений уравнений Ферма т.к. их стороны сформированы нецелыми числами.

- Решение теоремы Ферма в целых числах присуще только прямоугольным проекциям на плоскость (х,у) числовых отрезков уравнений y² + x² =z²

5. Второй сектор квадранта является аналогом первого- зеркальным отражением первого при y>x со всеми вытекающими из этого результатами.

6. В процессе проведения анализа по доказательству теоремы Ферма в общем виде получены 4 компактных метода доказательства теоремы при целых x, y, когда требуется показать, что при n>2 число z является нецелым.

Первый метод доказательства следует из рассмотрения остроугольного треугольника, для которого Z₀² = x² +y² –2xycosc. Требуется доказать, что Z₀ является нецелым числом. В нем известны x и y – целые числа, а cosc определен с учетом ограничений a=b=1. Он изменяется в пределах 0< cosc < 0,5 (см. ф-лу (7) и табл. на стр.3) и является функцией нецелого, иррационального числа х. Значит и соsc является также нецелым числом со множеством значащих цифр после запятой. Благодаря этому нецелым становится выражение 2xycosc, что в свою очередь делает нецелым Z₀² и извлеченный из него квадратный корень Z_0.

В основу второго метода также заложено рассмотрение остроугольного треугольника. Его Z₀² = x² +y² –2xycosc всегда меньше соответствующего Z_п² = x² +y² прямоугольного треугольника и числовой отрезок Z₀² находится внутри числового отрезка Z_п² = x² +y².

Учитывая, что при принятых ограничениях y=x-1, т.е. отличается на единицу, то корень, извлеченный из Z₀² будет иметь нецелое значение, т.к. между числами x-1 и x нет других целых чисел.

Третий метод основан на другом принципе. Его сущность заключается в следующем.

Для последовательности целых чисел 1,2,3,4 и т.д. составляется ряд их квадратов:

1 4 9 16 25 364964 81 100121 144 169 196 и т.д.

2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24 26 и т.д.

Между числами первого ряда размещается нижний ряд, представляющий собой количество целых чисел (порядковых номеров), размещенных между двумя смежными квадратами чисел x и x+1. Эти целые (и нецелые) числа z¹ не могут иметь при извлечении из них корней целых значений, т.к. находятся между числами, отличающимися на единицу, а будут иметь значения x+D, где D=z¹/Dx²

Учитывая, что при n>2 для остроугольных треугольников z₀² всегда меньше z_п² или соответствующего Dx² в ряду квадратов, необходимо вставить числовой отрезок z₀² в числовой отрезок Dx² и убедиться, что извлеченный корень из числа z₀² является нецелым числом.

Рассмотрим доказательство на примере для n=5.

Примем: x=2n=10; y=2n-1=9;cos C=0,337 (см. Формулы 6 и 7).

z₀² =10² +9²-2*10*9*0,337=120,34.

В ряду квадратов это число находится между числами 100 и 121, являющимися квадратами целых чисел 10 и 11.

Кв. корень из числа 120,34 равен 10.97 – нецелое число.

Проверка: 10⁵ +9⁵ =159049. Корень пятой степени из числа 159049 равен 10,97. В случае необходимости z₀² может быть уточнено путем повторного (многократного) определения cos C по трем известным сторонам треугольника.

Примечание. Числа ряда квадратов относятся к остроугольным треугольникам различных степеней n. Числа второго ряда, отмеченные жирным шрифтом и поделенные на 4, указывают на степень n, к которой относится пара чисел, выбранная из условия ограничения a=b=1, в соответсвии с формулой (6).

Четвертый метод основан на том, что аналогичные степенные ряды могут быть построены для любых n. Тогда для произвольно выбранной степени n=k представляется возможным непосредственно убедиться в том, что извлеченный корень степени k из числа z^k =x^k+y^k является нецелым числом.

P.S. Встает вопрос: при каких условиях нецелое число 10,97..., возведенное в степень n=5, превратится в целое число 159049? Напрашивается ответ: число 10.97... должно быть иррациональным т.е иметь после запятой неограниченное количество значащих цифр.

Остановимся на обосновании принятых в статье допущений (ограничений).

Принятие a=1 обусловлено получением максимальных , (*) при которых для всех a <1 нет решений уравнений Ферма в целых числах, а zⁿ наиболее близок к 2xⁿ.

Принятие b=1 обусловлено тем, что 1 является единственным для всех n целым числом. Это подтверждается следующими соображениями. Из уравнения (*) имеем:, откуда b£x(ⁿÖ2-1). Подставляя вместо х его близкое целое значение 2n, получим формулу b£ 2n(ⁿÖ2-1) для практических расчетов, которые свидетельствуют о том, что вблизи начала координат (на удалении х для каждой степени n) b изменяется от 1,65 при n=2 до 0 при возрастании n до ¥. Отсюда вывод: в растворе 45⁰ сектора всюду b является нецелым числом, исключающим получение целых x,y,z при решении уравнений (1) и (2), за исключением одной точки, где b =1, которую следует проверять на наличие решения в целых числах x,y,z, что и было проделано выше с отрицательным результатом.

Расчеты при a=b=2,3,4…. относятся к точкам на значительном удалении от начала координат, кратным коэффициентам a=2,3,4….

Результаты расчетов при этом аналогичны выполненным при а=b=1, за исключением случаев, когда х определяется целым числом с конечным числом значащих цифр после запятой. Тогда можно подобрать такой коэффициент пропорциональности а умножение на который нецелых чисел х,у,z сделает их целыми числами, для которых будет справедливо (x*a)ⁿ +(y*a)ⁿ =(z*a)ⁿ.

В этом случае теорема Ферма станет недостоверной или имеющей исключения при n>2. В принципе теорема Ферма может считаться достоверной, если добавка P(a,n)/x^n-1 является иррациональным числом. Тогда невозможно использовать коэффициент пропорциональности a.

В иррациональности добавки P(1,n)/x^n-1 можно убедиться, если проводить многократное уточнение величины х методом последовательных приближений, ибо при делении целых числителей в добавке на нецелые, многократно уточняемые знаменатели, в составе добавки найдется хотябы один иррациональный результат деления, который превратит всю добавку в иррациональное число.

Наконец, анализируя расположение секторов на плоскости (x,y) и, учитывая, что нечетные функции xⁿ и yⁿ могут принимать положительные и отрицательные значения, можно составить следующую схему расположения этих функций на плоскости (x,y), т.е. в области распостранения условий теоремы Ферма:

- вся плоскость (x,y) - для четных показателей степени n

- квадрант I - для положительных x и y

- квадрант III- для отрицательных x и y

- в квадрантах II и IV для нечетных n будут иметь место разности типа xⁿ - yⁿ или yⁿ - xⁿ, рассмотрение которых теоремой Ферма не предусмотрено.

ВЫВОДЫ

1. Разработан метод доказательства теоремы Ферма в общем виде. Определены основное уравнение (3) и рабочие формулы (2), (5), (6), (7) для проведения анализа и расчетов.

2. Решение уравнений Ферма в нецелых числах при n>2 обусловлено образованием на плоскости (x,y) искаженных (остроугольных) проекций функции yⁿ + xⁿ =zⁿ . При проекциях в виде прямоугольных треугольников решения получаются в целых числах.

3. Теорема Ферма распространяется на всю плоскость (x,y), кроме II и IV квадрантов при нечетных n.

Николай Иванович Пичугин, ветеран ВОВ иВС,

Москва 2001 – 2004 год

Т. 396 –90-24

e –meil:hrendy@rumbler.ru