Ядерные силы. Модель ядра

Постулаты Бора.

Первый постулат Бора (постулат стационарных состояний): в атоме сущ. стационарные (не изменяющиеся со вр) состояния, в которых он не излучает энергии. Стац. состояниям атома соответствуют стационарные орбиты, по кот движутся эл-ны. Движение эл-ов по стац. орбитам не сопровождается излучением эл.-м. волн.В стац. состоянии атома эл-н, двигаясь по круговой орбите, должен иметь дискретные квантованные значения момента импульса, удовлетворяющие условию где т_е — масса эл-на, v — его ск-ть по n -й орбите радиуса r_n, ћ = h /(2p). Втором постулат Бора (правило частот): при переходе эл-на с одной стац. орбиты на др. излучается (поглощается) один фотон с энергией равной разности энергий соответствующих стац. состояний (Е_n и E_m — соот­ветственно энергии стац. состояний атома до и после излучения (поглоще­ния)). При Е_m<Е_n происходит излучение фотона (переход атома из состояния с боль­шей энергией в состояние с меньшей энергией, т. е. переход эл-на с более удален­ной от ядра орбиты на более близлежащую), при Е_m>Е_n — его поглощение (переход атома в состояние с большей энергией, т. е. переход эл-на на более удаленную от ядра орбиту). Набор возможных дискретных частот n = (E_n—E_m)/h квантовых перехо­дов и определяет линейчатый спектр атома.

Опыт Франка и Герца.

Изучая методом задерживающего потенциала столкновения эл-ов с атомами газов (1913), Д. Франк и Г. Герц экспериментально доказали дискретность значений энергии атомов. Схема их установки приведена на рис. Вакуумная трубка, заполненная парами ртути (давление приблизительно равно 13 Па), содержала катод (К), две сетки (C₁ и С₂) и анод (А). Эл-ны, эмиттируемые катодом, ускорялись разностью потенциалов, приложенной между катодом и сеткой C₁. Между сеткой С₂ и анодом приложен небольшой (примерно 0,5 В) задерживающий потенциал.

Эл-ны, ускоренные в области 1, попадают в область 2 между сетками, где испытывают соударения с атомами паров ртути. Эл-ны, кот. после соударе­ний имеют достаточную энергию для преодоления задерживающего потенциала в об­ласти 3, достигают анода. Согласно боровской теории, каждый из атомов ртути может получить определенную энергию, переходя при этом в одно из возбужденных состояний. Поэтому если в атомах существуют стац. состояния, то эл-ны, сталкиваясь с атомами ртути, должны терять энергию дискретно, определенными порциями, равными разности энергий соотв. стац. состояний атома.

Атомы ртути, получившие при соударении с эл-нами энергию D E, переходят в возбужденное состояние и должны возвратиться в основное, излучая при этом, согласно второму постулату Бора, световой квант с частотой n = D E/h..

 

 

 

 

23. Модели атома Томсона и Резерфорда. Спектр атома водорода Дж. Дж. Томсону. Модель:, атом представляет собой непрерывно заряженный положительным зарядом шар радиусом порядка 10^–10 м, внутри кот. колеблются эл-ны; суммарный отриц. заряд эл-ов равен полож. заря­ду шара, поэтому атом нейтрален. Через несколько лет было доказано, что представление о непрерывно распределенном внутри атома положительном заряде ошибочно.

Резерфорд в 1911 г. предложил ядерную (планетарную) модель атома: вокруг положительного ядра, имеющего заряд Zе (Z — порядковый номер элемента в системе Менделеева, е — элементарный заряд), размер 10^–15—10^–14 м и массу, равную массе атома, по замкнутым орбитам движутся эл-ны, образуя эл-нную оболочку атома. Т.к.атомы нейтральны, то заряд ядра равен суммарному заряду эл-ов, т. е. вокруг ядра должно вращаться Z эл-ов.

Предположим, что эл-н движется вокруг ядра по круговой орбите радиуса r. Кулоновская сила взаимодействия между ядром и эл-ном сообщает эл-ну центростремительное ускорение. Второй закон Ньютона для эл-на, движущегося по окружности под действием кулоновской силы, имеет вид т_e, и v — масса и скорость эл-на на орбите радиуса r, e ₀ — электрическая постоянная. Два неизвестных: r и v. Сл-но, существует множество значений радиуса и скорости (а значит, и энергии). Поэтому величины r, v (сл-но, и Е) могут меняться непрерывно, т. е. может испускаться любая, а не определенная порция энергии. Тогда спектры атомов д.б. сплошными. Но опыт показывает, что атомы имеют линейчатый спектр. Согласно класс. электродинамике, движущиеся эл-ны должны излучать эл.м. волны и непрерывно терять энергию. В рез-те эл-ны будут приближаться к ядру и упадут на него. Сл-но, атом Резерфорда оказывается неустойчивой системой, что противоречит действительности. Попытки построить модель атома в рамках класс. физики не привели к успеху: модель Томсона опровергнута опытами Резерфорда, ядерная же модель оказалась неустойчивой электродинамически и противоречила опытным данным. Пре­одоление возникших трудностей потребовало создания качественно новой — кванто­вой — теории атома. Линейчатый спектр атома водорода. Исследования спектров излучения отдель­ных атомов показали, что каждому газу присущ определенный линейчатый спектр, состоящий из отдельных спектральных линий или групп близко расположенных линий. Спектр наиболее простого атома — атома водорода. Ученый И. Бальмер подобрал эмпирическую формулу, описывающую все известные спектр. линии атома водорода в видимой области спектра: где R '=1,10×10⁷ м^–1 — постоянная Ридберга.* Taк как n = c / l, то ф-ла (209.1) может быть переписана для частот: где R=R'c= 3,29×10¹⁵ с^–1 — также постоянная Ридберга. Из выражений вытекает, что спектральные линии, отличающиеся различными значениями п, образуют группу или серию линий, называемую серией Бальмера. С увел. n линии серии сближаются; значение n = ¥ определяет границу серии, к которой со стороны больших частот примыкает сплошной спектр. В дальнейшем в спектре атома водорода было обнаружено еще несколько серий. В ультрафиолетовой области спектра находится серия Лаймана:

В инфракрасной области спектра были также обнаружены:

Все серии в спектре атома водорода могут быть описаны одной ф-лой, наз. обобщенном формулой Бальмера: где т имеет в каждой данной серии постоянное значение, m = 1, 2, 3, 4, 5, 6 (определяет серию), п принимает целочисленные значения начиная с т +1 (определяет отдельные линии этой серии).

 

 

45.Частицы и античастицы. Гипотеза об античастице впервые возникла в 1928 г. Эл-н и позитрон не являются единственной парой частица — античастица. На основе релятивистской квантовой теории пришли к заключению, что для каждой элементарной частицы должна существовать античастица (принцип зарядового сопряже­ния). Каждой частице соответствует античастица.

Из общих положений квантовой теории следует, что частицы и античастицы должны иметь одинаковые массы, одинаковые времена жизни в вакууме, одинаковые по модулю, но противоположные по знаку электрические заряды (и магнитные момен­ты), одинаковые спины и изотопические спины, а также одинаковые остальные кван­товые числа, приписываемые элементарным частицам для описания закономерностей их взаимодействия.

1.Антипротон отличается от протона знаками электрического заряда и собственного магнитного момента. Антипротон может аннигилировать не только с протоном, но и с нейтроном:

2.Антинейтрон (). Антинейтроны возникали в результате перезарядки антипротонов при их движении через вещество. Реакция перезарядки состоит в об­мене зарядов между нуклоном и антинуклоном и может протекать по схемам . Антинейтрон отличается от нейтрона n знаком собственного магнитного момен­та. Если антипротоны — стабильные частицы, то свободный антинейтрон, если он не испытывает аннигиляции, в конце концов претерпевает распад по схеме

Частицы, которые античастиц не имеют, — это так называемые истинно нейтральные частицы. К ним относятся фотон, p⁰-мезон и h-мезон.

3.Нейтрино и антинейтрино и ,

4.В дальнейшем эксперименты по рождению и поглощению мюонных нейтрино показали, что и и — различные частицы. Также доказано, что пара , — различ­ные частицы, а пара , не тождественна паре , .

46. Классификация элементарных частиц. Кварки

1.К группе фотонов относится единственная частица — фотон, который переносит электромагнитное взаимодействие.

2.К группе лептонов -, мюон, таон, соответствующие им нейтрино, и их античастицы. Лептоны имеют спин ½.

Частицам, относящимся к лептонов, приписывают лептонное число (лептонный заряд) L. L =+1 для лептонов (е ^–, m ^–, t ^–, n_e, n_m, n_t), L =–1 для антилептонов (е ⁺, m ⁺, t ⁺, , , ) и L =0 для всех остальных. Закон сохранения лептонного числа: в замкнутой системе при всех процессах взаимопревращаемости элементарных частиц лептонное число сохраняется.

3.К группе адронов от­носятся пионы, каоны, h-мезон, нуклоны, гипероны, и их античастицы

Адронам приписывают барионное число (барионный заряд) В. Адроны с В= 0образуют подгруппу мезонов (пионы, каоны, h-мезон), а адроны с В = +1 образуют подгруппу барионов. Для лептонов и фотона В= 0. Для барионов В=+ 1, для антибарионов В =–1, а для всех остальных В =0. Закон сохранения барионного числа: в замкнутой системе при всех процессах взаимопревращаемости элементарных частиц барионное число сохраня­ется.

Увеличивается число элементар. Частиц из-за расширения группы адронов. Поэтому развитие работ по их классиф. сопровождалось поисками новых, более фундаментальных частиц, которые могли служить базисом для построения всех адронов. Гипотеза о существовании таких частиц, названных кварками.

Все известные в то время адроны можно было построить, постулировав существование трех типов кварков (и, d, s) и соответст­вующих антикварков (, , ). Спин кварка равен ½.

Адроны строятся из кварков след. образом: мезоны состоят из пары кварк — антикварк, барионы — из трех кварков (антибарион — из трех антикварков). Так, например, пион p⁺ имеет кварковую структуру , пион p^– — , каон К⁺ — , протон — uud, нейтрон — udd, S⁺-гиперон — uus, S⁰-гиперон — uds и т. д.

25.Корпускулярно-волновой дуализм св-в в-ва

Франц. ученый Луи де Бройль выдвинул в 1923 г. гипотезу об универсальности корпускулярно-волнового дуализма. Де Бройль утверждал, что не только фотоны, но и эл-ны и любые др. частицы обладают волновыми св-вами: С каждым микрообъектом связываются, с одной сторо­ны, корпускулярные хар-ки — эн. Е и имп. p, а с др— волновые хар-ки — частота n и дл. волны l. Частице, обладающей имп., сопоставляют волновой процесс с дл. волны, опред. по ф-ле де Бройля: Это соотношение справедливо для любой частицы с имп. р. Ф-ла де Бройля была подтверждена опытами П. С. Тартаковского и Г. Томсона, наблюдавших дифракционную картину при прохождении пучка быстрых эл-ов (эн. »50 кэВ) через металлическую фольгу (тол.»1 мкм). Т.к. дифракц. картина исследовалась для потока эл-ов, то необ­ходимо было д-ть, что волновые св-ва присущи не только потоку большой совокупности эл-ов, но и каждому эл-ну в отдельности. Удалось экс­периментально подтвердить в 1948 г. российскому физику В. А. Фабриканту, т.е. в случае слабого эл-нного пучка, когда каждый эл-н проходит через прибор независимо от др, возникающая при длительной экспозиции дифракц. картина не отличается от дифракц. картин, получаемых при короткой экспозиции для потоков эл-ов, более интенсивных. След-но, волновые св-ва частиц не являются св-вом их коллектива, а присущи каждой частице в отдель­ности. Далее дифракц. явления обнаружили для нейтронов, протонов, атомных и молекул. пучков. Это послужило док-вом нали­чия волновых св-в микрочастиц и позволило описывать движение микрочастиц в виде волнового процесса, характер. определенной длиной волны, рас­считываемой по ф-ле де Бройля. На частицы в-ва переносится связь между полной энергией частицы e и частотой n волн де Бройля: Соотношение между энергией и частотой в ф-ле имеет характер универсального соотношения, справедливогокак для фотонов, так и для любых др. микрочастиц.

Некоторые свойства волн да Бройля. Рассм. частицу со ск-тью v массой т. Вычислим фазовую и групповую ск-ти волн да Бройля. Фазовая ск-ть, (E = ћw и p=ћk, где k= 2 p/l— волновое число). Т.к. c>v, то фазовая ск-ть волн де Бройля больше ск-ти света в вакууме (фазовая ск-ть волн может быть меньше, и больше с в отличие от групповой ск-ти волн). Групповая ск-ть, Для свободной частицы и

Сл-но, групповая ск-ть волн де Бройля равна ск-ти частицы.

Групповая скорость фотона т. е. равна ск-ти самого фотона. Волны да Бройля испытывают дисперсию. Подставив в выражение v _фаз =E/p формулу Е= , увидим, что скорость волн де Бройля зависит от длины волны.

 

 

27. Волновая функция и ее статистический смысл

Немецкий физик М. Борн в 1926 г. предположил, что по волновому закону меняется амплитуда вероятности Y(х, у, z, t) (вер. Обнаружить микрочастицу в пространстве). Y(х, у, z, t) - волновой функцией. Вер. W равна

(|Y|²=YY*, Y * — функция, комплексно сопряженная с Y). След-но, описание состояния микрообъекта с помощью волновой функции имеет статистический, вероят­ностный характер: квадрат модуля волновой функции (квадрат модуля амплитуды волн де Бройля) определяет вероятность нахождения частицы в момент вр. t в области с корд. х и x+dx, у и y+dy, z и z+dz.

Волновой функция, является основным носителем информации об корпускулярных и волновых св-вах. Вер. нахождения частицы в элементе объемом d V равна Величина имеет смысл плотности вероятности, т. е. определяет вероятность нахождения частицы в единичном объеме в окрестности точки с коор­. х, у, z. Физ. смысл имеет не сама Y-функция, а квадрат ее модуля |Y|², которым задается интенсивность волн де Бройля.

Вер. найти частицу в момент вр. t в конечном объеме V,

Т.к. |Y|²d V определяется как вероятность, то необходимо волновую функцию Y нормировать так, чтобы вероятность достоверного события обращалась в единицу, если за объем V принять бесконечный объем всего пространства. Значит, что частица должна находиться где-то в пространстве. След-но, условие нормировки вероятностей Это говорит об объективном существовании частицы в прост-ве.

Чтобы волновая функция являлась объективной характеристикой состояния микро­частиц, она должна удовлетворять ряду ограничительных условий. Функция Y, харак­теризующая вероятность обнаружения действия микрочастицы в элементе объема, должна быть конечной (вероятность не может быть больше единицы), однозначной (вероятность не может быть неоднозначной величиной) и непрерывной (вероятность не может изменяться скачком). Волновая функция удовл. принципу суперпозиции: если система может нахо­диться в различных состояниях, описываемых волновыми функциями Y₁, Y₂,..., Y _n,... то она также может находиться в состоянии Y, описываемом линейной комбинацией этих функций:

где С _n (n =1, 2,...)—произвольные, вообще говоря, комплексные числа. Сложение волновых функций (амплитуд вероятностей), а не вероятностей отличает квантовую теорию от класс. статистической теории, в которой для независимых событий справедлива теорема сложения вероятностей. Волновая функция Y позволяет в квантовой механике вычислять средние значения физ. величин, харак-щих данный микрообъект. Н-ер, среднее расстояние á r ñ эл-на от ядра вычисляют по ф-ле

 

 

26. Соотношение неопределенностей

В класс. механике частица движется по определенной траектории, так что в любой момент времени точно фиксированы ее координата и импульс. Микроча­стицы из-за наличия у них волновых св-в существенно отличаются от класс. частиц. Различия: нельзя говорить о движе­нии микрочастицы по определенной траектории и неправомерно говорить об одновре­менных точных значениях ее коор. и имп. Это следует из корпускулярно-волнового дуализма.. Согласно соотношению неопределенностей Гейзенберга, микрочастица не может иметь одновременно и определен­ную координату (х, у, z), и определенную соотв. проекцию имп.(р_х, p_у, p_z).Условие т. е. произведение неопределенностей корд. и соотв. ей проекции имп. не может быть меньше величины порядка h. Например, если микроча­стица находится в состоянии с точным значением координаты (D x = 0), то в этом состоянии соотв. проекция ее имп. оказывается совершенно неопреде­ленной (D p_x ® ¥), и наоборот. Для микрочастицы не существует состояний, в кот ее коорд и имп. имели бы одновременно точные значения.

Т.к. в класс. механике принимается, что измерение коор и имп может быть произведено с любой точностью, то соотношение неопределенностей является квантовым ограничением применимости класс. механики к микрообъектам.

Движение по траектории хар-ся опред. значениями корд. и скорости. С.Н в виде

Следует, что чем больше масса частицы, тем меньше неопределен­ности ее коор. и ск-ти и с большей точностью можно применять к этой частице понятие траектории. Например, пыинка массой 10^–12 кг и линейными размерами 10^–6 м, коор. определена с точ­ностью до 0,01 ее размеров (D х = 10^–8 м), неопределенность ск-ти, D v_x = 6,62×10^–34/(10^–8×10^–12) м/с = 6,62×10^–14 м/с, т. е. не будет сказываться при всех скоростях, с кот пылинка может двигаться. (Для описания движения макротел можно пользоваться законами класс. механики.)

Например, пучок эл-ов движется вдоль оси х со v =10⁸ м/с, опред. с точностью до 0,01% (D v_x» 10⁴ м/с).

т. е. положение эл-на м.б. определено с точностью до тысячных долей миллиметра. (описывать их движение законами классической механики.)

На-ер, эл-н, движ. в атоме водорода. Коор эл-на D x» 10^–10 м. Тогда D v_x =6,62 × 10^–34 / (9,11×10^–31 ×10^–10) = 7,27×10⁶ м/с. Используя законы класс. физики, что при движении эл-на вокруг ядра его скорость v » 2,3×10⁶ м/с. 7,27×10⁶ >>2,3×10⁶ м/с (нельзя пользоваться з-ми класс. физики.)

С.Н. для энергии Е и времени t, улосвие: D Е — неоп-ь энергии некоторого состояния системы, D t — промежуток вр, в течение кот оно существует. Систе­ма, имеющая среднее время жизни D t, не м.б. охарактеризована определенным значением энергии; разброс энергии D E = h /D t возрастает с уменьшением ср. вр. жизни. Частота излученного фотона должна иметь неоп-ть D n = D E / h, т. е. линии спектра должны харак-ся частотой, равной n ± D E / h..Опыт действительно показывает, что все спектраль­ные линии размыты; -

 

 

28.Уравнение Шредингера. где ћ = h /(2p), т— масса частицы, D—оператор Лапласа i — мнимая единица, U (х, у, z, t) — потенциальная ф-ция частицы в силовом поле, Y (х, у, z, t) — искомая волновая ф-ция частицы.

Ур-ние справедливо для любой частицы движущейся с малой (по сравнению со скоростью света) скоростью, т. е. со скоростью v <<с. Оно дополняется условиями, накладываемыми на волновую функцию: 1) волно­вая ф-ция д.б. конечной, однозначной и непрерывной 2) производные должны быть непрерывны; 3) ф-ция |Y|² д.б. интегрируема; это условие сводится к условию нормировки вероятностей

Чтобы прийти к уравнению Шредингера, рассм. свободно движущуюся частицу, кото­рой, согласно идее де Бройля, сопоставляется плоская волна.. Уравнение плоской волны, распространяющейся вдоль оси х, имеет вид , или в комплексной записи . Сл-но, плоская волна де Бройля имеет вид (w = E/ћ, k=p/ћ). В квантовой механике показатель экспоненты берут со знаком минус, но поскольку физический смысл имеет только |Y|², то это несущественно. Тогда откуда Используя взаимосвязь между энергией Е и импульсом р (E=p ² /( 2 m)) и подставляя выражения получим дифференциальное ур-ние которое совпадает с уравнением (№1) для случая U= 0. Если частица движется в силовом поле, характеризуемом потенциальной энергией U, то полная энергия Е складывается из кинетической и потенциальной энергий. Е: p ²/(2 m)= E–U)

Приведенные рассуждения поясняют, как можно прийти к уравнению Шр. Уравнение (№1) является общим уравнением Шредингера. Его также наз. урав. Шр., зависящим от времени. Если силовое поле, в котором частица движется, стационарно, т. е. ф-ция U=U(x, у, z) не зависит от времени и имеет смысл потенциальной энергии. Решение ур-ния Шредингера может быть представлено в виде произведения двух функций, одна из которых есть ф-ция только координат, другая — только времени, причем зависимость от времени выражается множителем , так что где Е — полная энергия частицы, постоянная в случае стационарного поля. Получим После деления на множитель и преобразований придем к ур-нию, определяющему ф-цию y:

 

 

29. Частица в одномерной прямоугольной потенциальной яме с бесконечно высокими стенками. Проведем анализ решений уравнения Шредингера применительно к ча­стице в одномерной прямоугольной «потенциальной яме» с бесконечно высокими «стенками». Такая «яма» описывается потенциальной энергией вида

l — ширина «ямы», а энергия отсчитывается от ее дна

Ур. Шр. для стационарных состояний: По условию задачи (бесконечно высокие «стенки»), частица не проникает за пределы «ямы», поэтому вероятность ее обнаружения (а сл-но, и волновая функция) за пределами «ямы»= 0. На границах «ямы» (при х= 0 и х= 1) непрерывная волновая функция должна обращаться в нуль. Сл-но, граничные усло­вия В пределах «ямы» (0 £ х £ l) ур Шр сведется к ур. или где Общее решение дифференциального ур.: Т.к. y (0)=0, то В =0. Тогда Условие y (l) =A sin kl = 0 выполняется при kl = np, n — целые числа, т. е. надо, чтобы Из выражений следует, что т. е. стационарное ур Шр, описывающее движение частицы в «потен­циальной яме» с бесконечно высокими «стенками», удовлетворяется только при собственных значениях Е_n, зависящих от целого числа п. Сл-но, энергия Е_n частицы в «потенциальной яме» принимает определенные дискретные значения, т.е. квантуется. Квантованные значения энергии Е_n наз. уровнями энергии, а число п, определяющее энергетические уровни частицы, наз. главным квантовым числом. Сл-но, микрочастица в «по­тенциальной яме» с бесконечно высокими «стенками» может находиться только на определенном энергетическом уровне Е_n, или частица находится в кван­товом состоянии n. Подставив значение k найдем собственные функции:

Постоянную интегрирования А найдем из условия нормировки В рез-те интегрирования

А = , а собственные функции:

Графики собственных функций, соответствующие уровням энергии при n = 1, 2, 3, приведены на рис. 297, а. На рис. 297, 6 изображена плотность вероят­ности обнаружения частицы на различных расстояниях от «стенок» ямы, равная | y_n (х)|² = y_n (х) y*_n (х) для n= 1,2 и 3. Из рисунка следует, что в квантовом состоянии с n =2 частица не может находиться в середине «ямы», в то времякакодинаково часто может пребывать в ее левой и правой частях. Это указывает на то, что представления о траекториях частицы в квантовой механике несостоятельны. Энергетический интервал между двумя сосед­ними уровнями равен

 

 

30.Туннельный эффект. Расмм. Потенциальный барьер (ПЦ) прямоугольной формы для одномерного (по оси х) движения частицы.

Класс. частица либо пройдет над барьером (при Е>U), либо отразится от него (при Е<U) движение в обратную сторону, (не может проникнуть сквозь барьер). Для микрочастицы, при Е>U, есть вер-сть, что частица отразится от барьера – движение в обратную сторону. При E<U аналогично. Выводы следуют из решения ур-ния Шредингера.

Ур-ние Шр.для стационарных состояний для каждой

Общие решения этих дифференциальных уравнений:

Для области 1 полная волновая функция:

В выражении первый член - плоская волна, движущ. в полож. направлении оси х (в сторону барьера), а второй — волну, в проти­воположном направлении, (отраженную от барьера).

Решение содержит также волны (после умножения на временной множи­тель), движ. в обе стороны. Однако в области 3 только волна, прошедшая сквозь барьер и распространяющаяся слева направо. Поэтому коэфф. B ₃ в ф-ле следует принять = 0.

В обл. 2 при Е<U q=ib — мнимое число, где Значения q и B ₃=0 ур-ние Шр:

В области 2 функция уже не соответствует плоским волнам, распространя­ющимся в обе стороны, т.к. показатели степени экспонент не мнимые, а дейст­вительные. Сл-но, частица имеет вер-ть пройти через барьер. Туннельного эффекта (микрообъект может «пройти» сквозь ПЦ при E<U).

Для описания ТЭ используют понятие коэффициента прозрач­ности D ПЦ, (отношение плотности потока прошедших частиц к плотности потока падающих). Чтобы найти отношение | А ₃ /А ₁|², нужно условие непрерывности y и y ' на границах барьера х =0 и х = l

Можно выразить коэф. A ₂, A ₃, В ₁ и В ₂ через А ₁. Решение ур-ний для прямоугольного ПЦ дает (в предположении, что коэффициент прозрачности мал по сравнению с единицей)

где U — высота потенциального барьера, Е — энергия частицы, l — ширина барьера, D ₀ — постоянный множитель(=1). D зависит от т, l (U—E); чем шире барьер, тем меньше вер-ть прохождения сквозь него.

Для ПЦ произвольной формы

где U = U (x).

С класс. точки зрения прохождение частицы сквозь ПЦ при Е<U невозможно, т.к. частица, находясь в области барьера, должна была бы обладать отрицательной кинетической энергией. ТЭ является специ­фическим квантовым эффектом. Прохождение частицы сквозь область, в которую, согласно законам класс. механики, она не может проникнуть, можно пояснить соотношением неопределенностей. Неопределенность импульса D р на отрезке D х = l составляет D p>h/l. Связанная с этим разбросом в значениях импульса кинетическая энергия (D р)²/(2 m) может оказаться достаточной, чтобы полная энергия частицы оказалась больше потенциальной.

 

 

31.Атом водорода в квантовой механике. Состояние эл-на в атоме водорода описывается волновой функцией y, удовлетворяющей стационарному ур-нию Шредингера , потенциальная энергия (дв-ие эл-на в кулоновском поле ядра), т — масса эл-на, Е — полная энергия эл-на в атоме. Физ. Смысл:

1. Энергия. В теории дифференциальных уравнений доказывается, что уравнения имеют решения, удовл. требованиям однозначности, конеч­ности и непрерывности волновой функции y, только при собственных значениях энергии Сл-но появление дискретных энергетических уровней. нижний уровень Е ₁, отвечающий минимальной возможной энер­гии, — основной, остальные (Е_n >Е ₁, n = 2, 3,...) — возбужденные. При Е <0 движение эл-на является связанным — он находится внутри гиперболической «потенциальной ямы». Из рисунка следует, что по мере роста главного квантового числа n энергетические уровни располагаются теснее и при n =¥ E _¥ = 0. При Е >0 движение эл-на является свободным; область непрерывного спектра Е >0 (заштри­хована на рис.) соответствует ионизованному атому. Энергия ионизации атома водорода равна

2. Квантовые числа. ур Шр. определяемые тремя квантовыми числами: главным п, орбитальным l и магнитным т_l.

Главное квантовое число n определяет энергетические уровни эл-на, n=1,2,3..Из решения ур Шр - момент импульса (механический орбитальный момент) эл-на квантуется, т. е. не может быть произвольным, а принимает дискретные значения, определяемые формулой где l — орбитальное квантовое число, которое при заданном n принимает значения l=0,1…,n-1. n определяет момент импульса эл-на в атоме.

Из решения ур Шр следует - вектор L _l момента импульса эл-на может иметь лишь такие ориентации в пространстве, при которых его проекция L_lx на направление z внешнего магнитного поля принимает квантованные значения, кратные ћ:

где т_l — магнитное квантовое число, которое при заданном l может принимать значения

Сл-но, магнитное квантовое число m_l определяет проекцию момента импульса эл-на на заданное направление, причем вектор момента импульса эл-на в атоме может иметь в пространстве 2 l +1 ориентации.

3. Спектр. Квантовые числа n, l и m_l позволяют более полно описать спектр испускания (поглощения) атома водорода, полученный в теории Бора. Вводятся правила отбора, ограничивающие число возможных переходов эл-ов в атоме, связанных с испусканием и поглощением света. Для дипольного излучения эл-на могут осуществляться только такие переходы, для которых: 1) изменение орбитального квантового числа D l удовл. условию 2) изменение магнитного квантового числа D m_l удовл. условию

 

 

 

34. Оптические квантовые генераторы (лазеры)

Практически инверсное состояние среды осуществлено в принципиально новых источ­никах излучения — оптических квантовых генераторах, или лазерах — усиление света с помощью вынужденного излучения). Лазеры генерируют в видимой, инфракрасной и ближней ультрафиолетовой областях. Идея качественно нового принципа усиления и генерации электромагнитных волн, применен­ная в мазерах (генераторы и усилители, работающие в сантиметровом диапазоне радиоволн) и лазерах. Типы лазеров: твердотельные, газовые, полупроводниковые и жидкостные. Более точная классифика