Законспектируйте аналитический метод определения модуля и направления равнодействующей силы.

Тема занятия: СИСТЕМА СХОДЯЩИХСЯ СИЛ

 

Приведение системы сходящихся сил к равнодействующей

 

На материальные тела могут действовать различные системы сил - сходящихся, параллельных, произвольно расположенных на плоскости или в пространстве. Одной из наиболее простых является система сходящихся сил.

Задание: 1. Выпишите определение и теорему Система сходящихся сил

Что называется проекцией силы на плоскость и приведите примеры

Законспектируйте аналитический метод определения модуля и направления равнодействующей силы.

 

Системой сходящихся сил называется система сил,линии действиякоторых пересекаются в одной точке.

 

Теорема. Система сходящихся сил эквивалентна одной си-ле (равнодействующей), которая равна геометрической сумме всех сил и проходит через точку пересечения их ли-ний действия.

 

Доказательство. Пусть задана система сходящихся сил F 1, F 2,..., Fn,

 

приложенных к твердому телу. Согласно следствию из аксиомы III перенесем

 

силы по линиям их действия в точку пересечения этих линий (рис.2.1).

 

 

Складывая силы F 1 и F 2, на основании аксиомы IV получим их равнодей-

 

 

ствующую: R 2= F 1+ F 2, индекс равнодействующей соответствует номеру

 

 

добавляемой силы. Затем, сложив R 2 с F 3, найдем равнодействующую трех

 

сил F 1, F 2, F 3:

 

R 3

 

 

= R 2

 

 

+ F 3

 

 

= F 1+ F 2

 

 

+ F 3.

 

Дойдя, таким образом, до последней силы F_n, получим равнодействую-

 

щую R всей системы п данных сил:

 

			n
R 3	= Rn = F 1	+ F 2	+... + Fn = å Fk.	(2.1)
			k =1

 

Построение равнодействующей может быть упрощено, если вместо па-раллелограммов построить силовой многоугольник (рис. 2.2). 0т конца век-

тора		отложим вектор		, от его конца отложим вектор		и т.д. Получим,
F 1	F 2	F 3
что вектор, идущий от начала первого	F 1	к концу последнего	Fn,является

 

равнодействующей R.

 

Пространственный многоугольник, который получен указанным способом, называется силовым многоугольником. Если для нахождения равно-действующей при помощи силового многоугольника используются правила геометрии, то такой способ нахождения равнодействующей называется геометрическим способом.

 

 

Наиболее общим методом определения модуля и направления равно-действующей является аналитический метод.

 

Вспомним, что проекция силы на ось есть алгебраическая величина, равная произведению модуля силы на косинус угла между вектором силы и положительным направлением оси. Если этот угол острый, - проекция по-ложительная, если тупой, - отрицательная, а если сила перпендикулярна оси,

 

- ее проекция на ось равна нулю. Так, для сил, изображенных на рис.2.3:

 

F_x = F cosα; Q_x = Q cosα=-Qcos j; P_x =0.

 

Проекцией силы

 

F

 

на плоскость О ху называется вектор

 

 

Fxy, заключенный

 

 

между проекциями начала и конца вектора силы

 

 

F

 

 

на эту плоскость (рис.

 

2.4).

 

Таким образом, в отличие от проекции силы на ось проекция силы на плоскость есть величина векторная, так как она характеризуется не только своим модулем, но и направлением в

плоскости О ху. Модулю F_x = F cos j, где

 

j - угол между направлением силы F и её

 

проекции F_xy.

 

В некоторых случаях для нахождения проекции силы на ось удобнее найти сначала

 

ее проекцию на плоскость, в которой расположена эта ось, а затем эту проекцию спроектировать на данную ось. Например, в случае, изображенном на рис. 2.4:

 

F_x = F_xy cosα= F cos j cosα,

 

F_y = F_xy sinα= F cos j sinα.

 

Из курса векторной алгебры известно, что проекция суммы векторов на произвольную ось равна сумме проекций на ту же ось слагаемых векторов. Поместим начало прямоугольной системы координат в точку пересечения линий действия сил (см. рис.2.1), проектируя соотношение (2.1) на оси хуz, получим:

n	ü
Rx =å Fkx = F 1 x + F 2 x +...+ Fnx;ï
k =1	ï
n	ï	(2.2)
Ry =å Fky = F 1 y + F 2 y +...+ Fny;ý
k =1	ï
n	ï
Rz =å Fkz = F 1 z + F 2 z +...+ Fnz,ï
k =1	þ
где Fkx, Fky, Fkz - проекции силы Fk	на указанные оси, а Rx, Ry, Rz - про-

екции равнодействующей на те же оси.

 

Проекции равнодействующей системы сходящихся сил на координатные оси равны алгебраическим суммам проекций этих сил на соответствующие оси.

 

Используя выражения (2.2), можно найти модуль равнодействующей:

 

			n	n	n
	Rx 2+ Ry 2+ Rz 2 =
R =	(å Fkx)2	+ (å Fky)2	+ (å Fkz)2.
			k =1	k =1	k =1

 

а её направление в системе координат O xy определим по направляющим

 

косинусам вектора R:

 

Ù

cos(R, i) = Rx

 

 

/ R;

 

 

cos(R

 

 

Ù, j)

 

 

= Ry

 

 

/ R;

 

 

Ù

cos(R, k)

 

 

= Rz

 

 

/ R.