Приборы и принадлежности: работа выполняется на компьютере.

ИЗУЧЕНИЕ ЯВЛЕНИЯ РЕЗОНАНСА

В ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОМ КОЛЕБАТЕЛЬНОМ КОНТУРЕ

Цель работы: изучить зависимость амплитуды напряжения на конденсаторе последовательного колебательного контура от частоты вынуждающей ЭДС; определить по результатам измерений параметры колебательного контура.

Приборы и принадлежности: работа выполняется на компьютере.

Краткая теория

Последовательный колебательный RLC-контур состоит из конденсатора емкостью С, катушки индуктивностью L, резистора сопротивлением R_м, включенных между собой последовательно (рис.1).

Для возбуждения вынужденных колебаний в контуре в него включен источник переменной вынуждающей ЭДС Е, изменяющейся по по закону:

Е = Е₀ sin Wt,

где Ω – циклическая частота колебаний вынуждающей ЭДС, Е₀– ее амплитуда.

Неоднородное дифференциальное уравнение, описывающее колебательный процесс в данном контуре:

(1)

где U – напряжение на конденсаторе, b - коэффициент затухания, w₀ - циклическая частота собственных колебаний контура, b- коэффициент затухания.

Коэффициент затухания и циклическая частота собственных колебаний связаны с параметрами контура: R/2L=b, w₀² = 1/LC.

Частное решение уравнения (1) имеет вид:

U = U_с sin (Wt +j), (2)

где:

, (3)

. (4)

U_с - амплитуда вынужденных колебаний напряжения на конденсаторе, j - сдвиг фаз колебаний напряжения на конденсаторе по отношению к колебаниям вынуждающей ЭДС.

Вынужденные колебания напряжения на конденсаторе происходят с частотой вынуждающей ЭДС W.

Исследование зависимости амплитуды вынужденных колебаний напряжения на конденсаторе U_с от вынуждающей частоты W показывает:

- при W ® 0 амплитуда напряжения на емкости U_с ® Е₀;

- функция U_с = U_с (W) обладает максимумом U_сm при частоте генератора

;

- при W ® ¥ амплитуда напряжения на емкости U_с ® 0.

Резкое увеличение амплитуды колебаний до максимального значения U_сm при частоте генератора W_р называется резонансом. Зависимость амплитуды напряжения на емкости от частоты вынуждающей ЭДС носит название резонансной кривой. Положение и величина максимума резонансной кривой зависит от коэффициента затухания (рис.2). Выявление этих закономерностей – одна из задач построения кривых в данной работе.

Для колебательного контура вводится понятие добротности, которая в работе может быть найдена как:

Q = U_сm /Е₀. (5)

Или

Q = , (6)

где R_к - некоторое эффективное сопротивление, учитывающее потери энергии в контуре, R_м – сопротивление резистора. Зная несколько значений сопротивлений резистора R_мi, поочередно включаемого в контур, можно определить величину R_к для каждого R_мi:

. (7)

Для данного контура выполняется условие: b << w₀, при этом резонансная частота слабо зависит от коэффициента затухания и ее значение мало отличается от собственной циклической частоты:

W_р » w₀ = 2pn_pm, (8)

где n_pm – значение резонансной частоты.

Тогда индуктивность контура может быть вычислена:

L = 1/w₀²C, (9)

при этом следует считать, что w₀ = 2pn_pm0, где n_pm0 – значение резонансной частоты при R_м = 0 Ом.

Зная величину индуктивности и общее сопротивление контура, можно вычислить коэффициенты затухания по соотношению:

b_i = (<R_к> + R_мi)/2L, где i = 1, 2, 3. (10)