Лекция 9. Истечение при переменном напоре
Истечение жидкости из затопленного отверстия
Опытами установлено, что коэффициент m существенным образом изменяется в зависимости от формы, размеров отверстия и от напора. Причём, с увеличением размеров отверстия коэффициент расхода уменьшается, а с увеличением напора уменьшается влияние размеров отверстия на коэффициент m.
| j – | коэффициент скорости истечения, учитывающий потери скорости на местном сопротивлении (на острой кромке входного отверстия); |
| e = |  – коэффициент сжатия струи для круглых отверстий, равный 0,64;
|
| n = |  – коэффициент, учитывающий влияние скорости потока перед входным отверстием на коэффициент скорости (при истечении из малых отверстий n ® 0).
|
При истечении холодной воды через малое отверстие обычно имеем коэффициент сжатия e = 0,64, коэффициент скорости j = 0,97
При неполном сжатии коэффициент расхода определяется по формулам:
– для круглых отверстий;
– для прямоугольных отверстий;
| здесь | m0 – коэффициент расхода для аналогичного отверстия при полном сжатии; |
| n – часть периметра отверстия, где отсутствует сжатие; | |
| р – полный периметр отверстия. |
Если сжатие несовершенное или неполное, то коэффициенты m и jопределяются с поправками по формуле Н. Е. Жуковского:
,
| где | q – угол, определяемый из выражения: |
;
| здесь | Н –глубина погружения нижней кромки отверстия; |
| a – высота отверстия. |
При совершенном сжатии 
, что хорошо согласуется с опытными данными.
При истечении жидкости из затопленного отверстия, как показали многочисленные исследования, коэффициенты m, j, e будут мало отличаться от коэффициентов при истечении жидкости в атмосферу, но в качестве напора будет действовать разность напоров Н 1– Н 2 (рис. 4.3) при р 1 = р 2.
    |
Рис. 4.3
Расчётные формулы имеют вид:
(4.17)
Если давление на свободной поверхности резервуаров не равно атмосферному (рис. 4.3), т.е. р 1 > p 2 > p атм, то расчётными формулами будут следующие:
(4.18)
Истечение при переменном напоре
Задача об истечении жидкости при переменном напоре сводится к определению времени опорожнения или наполнения всего или некоторой части сосуда, в зависимости от начального наполнения, формы и размеров сосуда и отверстия.
Подобные задачи встречаются при расчётах наполнения и опорожнения резервуаров, цистерн, водохранилищ, бассейнов, шлюзовых камер и др.
При переменном напоре имеет место неустановившееся движение жидкости, что делает неприемлемым обычное уравнение Бернулли. Поэтому полное время истечения разделяют на бесконечно малые промежутки, в течение которых напор считается постоянным, а истечение жидкости – установившимся. Это позволяет использовать для решения полученные выше зависимости и приводит к достаточно точным результатам.
Рассмотрим простейший пример истечения жидкости в атмосферу через донное отверстие площадью w из открытого вертикального цилиндрического сосуда, одинакового по всей высоте поперечного сечения F (рис. 4.4).
     |
Рис. 4.4
Пусть за время dt через отверстие вытекло dQ жидкости, равное
,
| где Н – | напор на уровне элементарного элемента dH, который можно считать постоянным; |
| m – | коэффициент расхода (изменяющейся в зависимости от напора, формы и размеров отверстия). |
В действительности, за это время уровень жидкости в сосуде опустится на dH и объём жидкости в нём изменится на 
.
Вследствие неразрывности движения жидкости
или
.
Отсюда
. (4.19)
Полное время опорожнения сосуда определим в результате интегрирования уравнения (4.19):
,
где Нн – начальный напор жидкости в сосуде.
Меняя пределы интегрирования в правой части уравнения, принимая 
и вынося постоянные за знак интеграла, получим
. (4.20)
Умножив и разделив правую часть уравнения (4.20) на 
, получим
. (4.21)
Из выражения (4.21) следует, что при сохранении постоянного напора в сосуде тот же объём жидкости пройдёт через отверстие за время t, вдвое меньшее, чем t, т.е. t = 2 t .
Формула (4.20) применима и для случая истечения жидкости из отверстия в боковой стенке сосуда. В этом случае напор Н н отсчитывается от центра тяжести площади отверстия.
При частичном опорожнении сосуда применяется следующая зависимость:
. (4.22)
Примеры
Пример 1. Вода вытекает из малого незатопленного отверстия в вертикальной стенке при постоянном напоре Н. Высота расположения отверстия над полом D z =1,0 м и достигает пола на расстоянии 
= 1,2 м. Диаметр отверстия d = 50 мм, j = 0,97. Определить расход Q.
Решение: По формуле (4.10) определяем Н:
.
Принимая коэффициент расхода m = 0,62, находим расход:
м3/с.
2×105 Па, а во II резервуаре р 2 = 1,7×105 Па, m = 0,62. Скоростью подхода пренебречь.
Пример 2. Определить расход жидкости, перетекающей из резервуара I в резервуар II (см. рис. 4.3), если диаметр отверстия в вертикальной стенке d = 0,2 мм, высота Н 1 = 7м, Н 2 = 6 м, давление в I резервуаре р 1 =1,7×105 Па
Решение: Определяем площадь отверстия:
м2.
Находим расход жидкости:
Пример 3. Определить расход воды и скорость ее истечения через круглое незатопленное отверстие диаметром d = 0,2 м, если Н = 4 м, m = 0,62, j = 0,97. Скоростным напором пренебречь.
Решение: Определяем скорость истечения:
м/с.
Площадь отверстия
м2.
Определяем расход воды через отверстие:
м3/с.