Корреляция для нелинейной регрессии

Уравнение нелинейной регрессии, также как и в линейной зависимости, дополняется показателем корреляции, а именно индексом корреляции :

(1)

где – остаточная дисперсия, – общая дисперсия объясняемой переменной.

(2)

(3)

Подставив (2) и (3) в (1):

(4)

Величина данного показателя находится в диапазоне от 0 до 1. Чем ближе к единице, тем теснее связь между рассматриваемыми признаками, тем более надежно найденное уравнение регрессии.

Парабола второй степени, как и полином более высокого порядка, при линеаризации принимает вид уравнения множественной регрессии. Если же нелинейное относительно объясняемой переменной уравнение регрессии при линеаризации принимает форму линейного уравнения парной регрессии, то для оценки тесноты связи может быть использован линейный коэффициент корреляции, величина которого в этом случае совпадает с индексом корреляции. (Пример: и ).

Дело обстоит иначе, когда преобразования уравнения в линейную форму связаны с зависимой переменной. В этом случае линейный коэффициент корреляции по преобразованным значениям признаков дает лишь приближенную оценку тесноты связи и численно не совпадает с индексом корреляции. Так для степенной функции после перехода к логарифмически линейному уравнению может быть найден коэффициент корреляции не для фактических значений переменных x и y, а для их логарифмов.

Поскольку в расчете индекса корреляции используется соотношение факторной и общей суммы квадратов отклонений, то R² имеет тот же смысл, что и коэффициент детерминации. В специальных исследованиях величину R² для нелинейных связей называют индексом детерминации.

Оценка статистической значимости индекса корреляции проводится так же, как и оценка значимости коэффициента корреляции.

Проверка статистической значимости индекса корреляции с помощью критерия Фишера.

Здесь объем выборочных данных, число оцениваемых параметрах в нелинейном уравнении регрессии при неизвестных.

Для степенной функции значение и формула критерия Фишера принимает вид: . Для параболы . В этом случае . Значение определяем из таблицы значений критерия Фишера при уровне значимости и степенях свободы . Нулевая гипотеза принимается на уровне значимости , если .

ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ

По территориям региона приводятся данные за 1994 год.

Таблица 1

Номер региона	Среднедушевой прожиточный Минимум в день одного Трудоспособного, руб.,	Среднедневная заработная Плата, руб.,

1) Найти параметры показательного уравнения регрессии от : .

2) Найти индекс детерминации.

3) Рассчитать среднюю ошибку аппроксимации.

4) Выполнить проверку статистической значимости полученного уравнения с помощью критерия Фишера на уровне значимости 0,05.

5) Сделать вывод о качестве построенной модели.

ПОРЯДОК ВЫПОЛНЕНИЯ РАБОТЫ

1. Введите данные.

2. Расположите данные по возрастанию переменой .

3. Выделите область пустых клеток (5×2), в которой вы хотите разместить таблицу с регрессионными параметрами.

4. Нажмите на кнопку вставить функцию . В окне Категория выберите Статистические, затем в окне Функция – ЛГРФПРИБЛ.

5. Заполните диалоговое окно:

Входные данные

Известные значения – диапазон (столбец), содержащий данные результативного признака выборки.

Известные значения – диапазон (столбец), содержащий данные факторов независимого признака выборки.

Константа – 1. Статистика – 1. Нажмите ОК.

6. В левой верхней ячейке выделенной области появится первый элемент итоговой таблицы. Для раскрытия таблицы данных нажмите F2, затем вместе клавиши «ctrl-shift-enter». Регрессионная статистика будет выводиться в порядке, указанном в следующей схеме:

Таблица 2

Значение коэффициента	Значение коэффициента
Стандартная ошибка	Стандартная ошибка
Индекс детерминации	Среднеквадратическое отклонение
F- статистика	Число степеней свободы
Факторная сумма квадратов	Остаточная сумма квадратов

7. Запишите в бланк отчета значения индекса детерминации и . запишите уравнение регрессии .

8. Рассчитайте среднюю ошибку аппроксимации.

8.1. Для этого дополните исходную таблицу данных расчетными столбцами:

Таблица 3

Номер региона

, руб.

, руб.

8.2. Рассчитайте значение результативного признака на основе найденного уравнения регрессии, (При вводе формулы для расчета нужно использовать ссылки на ячейки, в которых расположены рассчитанные коэффициенты a и b (см. табл. 2).)

8.3. Найдите последовательно остатки , модуль остатков (с помощью функции ABS), а затем величину .

8.4. Используя процедуру Автосумма, вычислите среднее значение . Умножив данное значение на 100%, найдете среднюю ошибку аппроксимации.

9. Полученное значение средней ошибки аппроксимации запишите в бланк отчета. Сделайте вывод.

10. С помощью критерия Фишера проведите проверку на статистическую значимость полученного уравнения регрессии на уровне 0,05.

10.1. Найдите табличное значение критерия Фишера. Выделите клетку, в которой должно появиться значение критерия. В главном меню выберите Вставка/функция. В окне Категория выберите Статистические, затем в окне Функция – FРАСПОБР. Заполните диалоговое окно: Вероятность – 0,05, Степени_свободы1 – 1, Степени_свободы2 – 10. Щелкните по кнопке ОК. Появится табличное значение критерия Фишера.

10.2. Из расчетной таблицы 2 найдите наблюдаемое значение критерия Фишера. Сравните критическое значение критерия с наблюдаемым значением. Сделайте вывод.

КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ

1. На какие два класса делятся нелинейные уравнения регрессии. Приведите примеры.

2. Каким образом проводится линеаризация уравнения регрессии нелинейного по переменной ?

3. Каким образом проводится линеаризация уравнения регрессии нелинейного по оцениваемым параметрам?

4. Корреляция нелинейной регрессии.

5. Процедура проверки статистической значимости нелинейного уравнения регрессии с помощью критерия Фишера.