Гармонический ток в емкости

При прохождении гармонического тока i = I_mcos ω t через электрическую цепь, состоящую из последовательно соединенных элементов R, L, С (рисунок 2.13), на зажимах этой цепи создается гармоническое напряжение, равное алгебраической сумме гармонических напряжений на отдельных элементах (второй закон Кирхгофа):

и = u_R+ и_L+ u_C.

Напряжение u_R на сопротивлении R совпадает по фазе с током i, напряжение u_L на индуктивности L опережает, а напряжение и_C на емкости С отстает от i на p/2 (рисунок 2.14).

Следовательно, напряжение и на зажимах всей цепи равно:

u = U_mcos (ω t + j) = RI_mcos ω t + w LI_mcos (ω t + ) +

+ I_mcos (ω t- ) = RI_mcos ω t+ (w L- ) I_mcos (ω t+ )(2.15)

Уравнение (2.15) представляет тригонометрическую форму записи второго закона Кирхгофа для мгновенных значений напряжений. Входящая в него величина Х =Х_L- Х_C = ω L - называется реактивным сопротивлением цепи, которое в зависимости от знака может иметь индуктивный (Х > 0) или емкостный (Х < 0) характер. В отличие от реактивного сопротивления Х активное сопротивление R всегда положительно.

Для нахождения U и φ воспользуемся векторной диаграммой, соответствующей уравнению (2.15). На рисунке 2.15, а показан случай, когда Х > 0, и на рисунке 2.15, б случай; когда Х < 0.

Падение напряжения от тока в активном и реактивном сопротивлениях изображается катетами прямоугольного треугольника напряжения 0 аb, гипотенуза которого изображает напряжение на зажимах цепи. Отсюда

U =

или .

Полученное выражение показывает, что действующие значения (так же, как и амплитуды) напряжения на зажимах цепи и тока, проходящего через данную цепь, связаны соотношением, аналогичным закону Ома:

U = zI; U_m= zI_m ^,

где величина z = (2.16)

называется полным сопротивлением рассматриваемой цепи.

Активное, реактивное и полное сопротивления относятся к числу основных понятий, применяемых в теории электрических цепей. Из векторных диаграмм следует, что угол фазового сдвига тока i относительно напряжения и равен:

(2.17)

Если задано напряжение u = U_mcos (ω t+ y) на зажимах цепи с последовательно соединенными R, L и С, то ток определяется по формуле i = cos (ω t+ y-j)Угол φ, равный разности начальных фаз напряжения и тока, отсчитывается по оси ω t в направлении от напряжения к току и является углом острым., прямым или равным нулю |j| .

Угол j положителен при индуктивном характере цепи, т.е. при Х > 0; при этом ток отстает по фазе от напряжения, и φ отсчитывается в положительном направлении: на временной диаграмме вправо от напряжения к току (рисунок 2.16, а), а на векторной диаграмме против хода часовой стрелки от тока к напряжению U (рисунок 2.15, а).

Угол j отрицателен при емкостном характере цепи, т.е. при X < 0,при этом ток опережает по фазе напряжение, и φ отсчитывается в отрицательном направлении: на временной диаграмме влево от напряжения к току (рисунок 2.16, б), а на векторной диаграмме - по ходу часовой стрелки от тока I к напряжению U (рисунок 2.15, б).

Итак, следует всегда помнить, что угол j положителен при отстающем и отрицателен при опережающем токе. На временной диаграмме угол отсчитывается от напряжения к току, а на векторной диаграмме - от тока к напряжению.

Ток совпадает с напряжением по фазе при X = X_L - x_C= 0, т.е. при равенстве индуктивного и емкостного сопротивлений. Такой режим работы электрической цепи называется резонансом напряжений (гл. 7).

Из выражений (2.16) и (2.17) следует, что активное и реактивное сопротивления цепи связаны с полным сопротивлением формулами:

R = zcos j; x = zsin j. (2.18)

Умножив правые и левые части выражений (2.18) на действующее значение тока I, получим действующие значения напряжений на активном и реактивном сопротивлениях, изображаемые катетами треугольника напряжений и называемые активной и реактивной составляющими напряжения:

U_a = RI = zcos j _I = Ucos j,

U_p = XI = zsin j _I = Usin j. (2.19)

Мгновенные значения напряжений на активном и реактивном сопротивлениях, суммирующиеся алгебраически в соответствии с (2.15), имеют фазовый сдвиг p/2. Поэтому непосредственное сложение действующих значений этих функций не дает действующего значения напряжения на всей цепи; как видно из треугольника напряжений и уравнений (2.19), активная и реактивная составляющие напряжения связаны с действующим значением суммарного напряжения формулой

U = .

Если все стороны треугольника напряжений разделить на I, то получится прямоугольный треугольник сопротивлений, подобный треугольнику напряжений (рисунок 2.17, а, б).

Треугольник сопротивлений представляет геометрическую интерпретацию уравнений (2.16) и (2.17). Его положение не зависит от начальных фаз напряжения и и тока i: сопротивление R откладывается по горизонтальной оси вправо (в положительном направлении), а реактивное сопротивление X в зависимости от его знака откладывается вверх (X > 0) или вниз (X < 0). Угол j в треугольнике сопротивлений отсчитывается от катета R к гипотенузе z, что соответствует отсчету в треугольнике напряжений от Uа = RI к U = zI.

Для характеристики индуктивных катушек, представляемых цепью с последовательным соединением активного и индуктивного сопротивлений, пользуются понятием добротности катушки Q_L= X_L/R, которое равнозначно тангенсу угла сдвига фаз j для катушки. Чем меньше сопротивление R, тем выше при прочих равных условиях добротность катушки.

Добротность индуктивных катушек, применяемых в диапазоне частот от 1 кГц до 100 МГц, обычно составляет Q_L= 50…500.