Механика
Дано:
кг
м
кг
Найти:
Решение:
в обсуждаемый момент времени вся кинетическая энергия - это энергия движения шарика, а значит это момент времени в который его скорость максимальна. Кинетическая энергия шарика в обсуждаемый момент времени равна работе силы тяжести:
м/с
1.
Дано:
Найти: 
Решение:
Изобразим силы, действующие на стержень:
Сумма сил согласно второму закону Ньютона равна нулю:
Сумма моментов сил относительно точки А равна нулю:
Получили тем самым систему трех уравнений с тремя неизвестными. Решая её относительно неизвестных, найдем
Дано: 
Найти: 
Решение:
Скорость всех точек стержня до удара, набираемая при падении в поле силы тяжести (вектор скорости каждой точки направлен вертикально вниз):
После удара разные точки стержня уже движутся по-разному относительно земли
Пусть за очень малое время удара, вертикальная ударная сила передала стежню ударный импульс, величину которого мы обозначим за
В таком случае, скорость центра масс стержня уменьшилась до величины:
(ф1)
Помимо этого, необходимо учесть, что ударная сила приложена к концу стержня и она его "подкрутила". Угловая скорость вращения стержня относительно оси, проходящей через его центр, возрастает от нуля до величины
Изменение кинетической энергии стержня
Но удар упругий; значит кинетическая энергия тела не изменяется: 
откуда найдем ударный импульс:
и подставим
момент инерции стержня относительно его центра 
, 
, 
Дано:
Н
Найти:
Решение:
Изобразим внешние силы, действующие на соединительную точку C:
Векторная сумма сил равна нулю. В частности, проекция на горизонтальную ось также есть ноль:
, 
Н
2.
Дано:
м
м
Найти: 
Решение:
В таком случае полная кинетическая энергия обруча
Закон сохранения энергии (для нижней и верхней точек):
На максимальной высоте 
обруч останавливается, т.е. можем определить 
:
тогда действительно
Скорость 
, проинтегрируем
, 
с
Дано:
кг
Н
кг
Найти: 
Решение:
Блок будем считать однородным цилиндром; его момент инерции:
Запишем уравнения динамики согласно второму закону Ньютона:
, 
Откуда можем выразить разность натяжений нити по обе стороны блока: 
(1)
На блок действует момент сил, который приводит его во вращение:
(2)
Из системы уравнений (1) и (2), найдем ускорение:
, 
, 
м/с2
Сила натяжения троса со стороны приложения силы: 
, 
Н
Сила натяжения троса со стороны груза:
, 
, 
Н
Дано:
кг, 
м
кг, 
м/с
м
Найти: 
Решение:
Закон сохранения импульса:
(1)
Момент инерции стежня относительно его центра:
Закон сохранения момента импульса относительно точки O:
(2)
Закон сохранения энергии:
(3)
Исключая из уравнений (1),(2),(3) неизвестные величины U и w, выразим скорость центра масс стержня
м/с
3.
Дано:
Найти: 
Решение:
Если лифт движется с ускорением, то это равносильно тому, что ускорение свободного падения в лифте отличается от земного на величину ускорения движения лифта. Задачу можно решить вначале в общем виде, полагая что ускорение свободного падения в лифте есть g':
система отсчета "ЛИФТ"
Спроецируем силы на оси:
Откуда можем выразить силу реакции опоры и ускорение:
, 
Случай а) и б): ускорение лифта нулевое, а значит g'=g: 
Случай в): ускорение свободного падения в лифте g'=g-a: 
Случай г): ускорение свободного падения в лифте g'=g+a: 
Случай д): ускорение свободного падения в лифте g'=0 (невесомость): 
Случай е): сила реакции опоры:
Согласно третьему закону Ньютона сила давления груза на опору по модулю равна N:
Дано:
, 
, 
, 
,
Найти: 
Решение:
Если скорость падения тела равна U, то скорость u жидкости, текущей по бокам тела (текущей вверх) в обратном направлении определяется из уравнения неразрывности водного потока
, 
Также соотносятся и ускорения (достаточно лишь взять производные по времени от обеих частей уравнения):
, где введено
обозначение
(1)
Ускорение водного потока возникает в результате силы, вызванной разностью давлений между нижней и верхней частью бревна, ослабленной силой тяжести:
(2)
Ускорение бревна возникает в результате действия силы тяжести, ослабленной силой, вызванной разностью давлений воды:
(3)
Объединяя три уравнения (1), (2) и (3) и исключая третью неизвестную величину 
, найдем:
, 
, Где 
Дано:
кг
м
м2
Па
м/с2
Найти:
Решение:
Объем стакана практически равен объему заключенного в нем воздуха (объемом стекла пренебрегаем), а масса стакана практически равна мессе стекла (массой воздуха пренебрегаем):
Плотность воды кг/м3. Если температура воздуха равна температуре на поверхности, то можно утверждать, что произошло изотермическое сжатие воздуха, заключенного в стакане:
м
4.
Дано:
кг
м/с
кг
c-1
м
Найти:
Решение:
Линейная скорость веловипеда
Кинетическая энергия вращения
Кинетическая энергия поступательного движения
Полная кинетическая энергия
Дж
Термодинамика и молекулярная физика
Дано:
кг, 
, 
Найти: 
Решение:
Уравнение Клапейрона-Менделеева состояния газа: 
, 
Дж/(моль К)
Если процессы изотермические (T=const):
Обозначим за M массу поршня. На поршень снаружи также оказывает давление и атмосфера. Это давлен постоянно и равно некоторой величине 
Начальное давление газа (под поршнем, без грузов)
, S - площадь поршня
При добавлении первого груза
. Если начальный объем газа был равен , то стал равен величине = /n, 
откуда 
: 
Если добавить еще груз, то давление газа возрастет до величины
объем при этом 
Из уравнения состояния получим второе уравнение
подставим выражение для
, выразим :
, 
кг
Дано:
К
К
моль
Найти: 
Решение:
Удельная теплоемкость идеального адноатомного газа при постоянном давлении:
, где Дж/(моль К)
При нагревании газа увеличится его энтропия (S), а значит и статистический вес (G) также увеличится. Изменение энтропии газа при нагревании:
Формула Больцмана (постоянная Больцмана 
Дж/К
,
5.
Дано:
кг
К
К
C
C
К
Найти: 
Решение:
Теплоемкость при низких температурах
кг/моль
, Дж/(моль К)
Затрачиваемое на нагревание тепло
Теплоемкость кремния при высоких температурах будем считать (приближенно) удовл. закону Дюлонга и Пти:
Тепло, затраченное во втором случае:
Во втором случае затрачиваемое тепло выше
Дано:
Па
м3
Дж
Найти: 
Решение:
Рассмотрим процесс изотермического расширения 1-2. Полученное на этом участке тепло полностью идет на работу газа
Изменение энтропии: 
Тепло, получаемое на участке 2-3, полностью идет на изменение внутренней энергии газа:
Суммарное тепло, получаемое газом на этапах 1-2-3:
, 
, 
Изменение энтропии на участке 2-3:
Суммарное изменение энтропии:
, 
Дж/(моль К)
Суммарное изменение энтропии (в расчете на 1 моль):
, 
Дж/(моль К)
Дано:
Па
К
К
Па
Найти: 
Решение:
Нагрев в шине происходил при постоянном объеме. При нагреве, давление в шине увеличилось. Закон Шарля
, 
После того, как шина лопнула, воздух в шине расширяется, т.к. его давление больше внешнего (атмосферного), пока его давление не упадет до внешнего. При адиабатном процессе
(для воздуха)
, 
Температуру после расширения обозначим за 
.
, 
Изменение температуры вешедшего воздуха
К
6.
Дано:
Па
К
Найти:
Решение:
Насыщенное давление пара при 100°С есть атмосферное давление:
Па
Влажность:
, 
Уравнение состояния порции пара объема V как идеального газа:
, 
кг/моль
Дж/(моль К)
Аналогичное соотношение и для воздуха можем записать (но парциальное давление воздуха будет меньше полного атмосферного):
кг/моль
Объединяя выражения рассчитаем плотность вляжного воздуха:
г/м3
Дано:
кг/м3
Найти: 
Решение:
Уравнение состояния (как для идеального газа)
Дж/(моль К)
(универсальная газовая постоянная)
, 
кг/моль
(молекулы водорода разъединены, т.к. у них нет электронных оболочек)
Поверхностная плотность излучаемой наружу мощности (для всякой замкнутой области в плазме) в равновесном состоянии
Согласно закону Стефана-Больцмана
, 
Вт/(м2 К4)
Давление излучения:
К
Дано: 
( про идеальный газ)
Найти: 
Решение:
а) Изохора, адиабата и изотерма:
Тепло газ получает на участке 1-2:
, 
В токе 2 уравнение состояния газа:
, 
В токе 3 уравнение состояния газа:
, 
Процесс 2-3 - адиабата:
, 
Тепло газ отдает на участке 3-1:
, 
, 
КПД: 
а) Изобара, адиабата и изотерма:
Тепло газ получает на участке 1-2:
. 
В токе 2 уравнение состояния газа:
, 
В токе 3 уравнение состояния газа:
, 
Процесс 2-3 - адиабата:
, 
, 
Тепло газ отдает на участке 3-1:
, 
, 
КПД
7.
Дано:
кг/м3
Па
К
Па
Найти:
Решение:
Универсальная газовая постоянная:
Дж/(моль К)
Молярная масса кислорода (O2):
кг/моль
кг/моль
Критические параметры
, 
Откуда найдем параметры ван-дер-ваальсовского (реального) газа
, 
Уравнение состояния ван-дер-ваальсовского газа:
К
Дано:
, 
, 
,
Найти: 
Решение:
Уравнение состояния водяного пара как для идеального газа:
, 
, где
кг/моль молярная масса воды
Дж/(моль К) универсальная газовая постоянная
Запишем уравнение Клапейрона-Клаузиуса:
Как указано в условии: V1<<V2. Индекс "1" означает жидкое состояние, индекс "2" - газообразное;
, 
, 
Проинтегрируем:
Разумеется, температура должна быть меньше критической. Кроме того, удельная теплота пароиспарения может считаться несвязанной с температурой лишь в небольшом диапазоне
8.
Дано: Трехатомный газ совершает цикл Карно
Па, 
Дж, 
Дж
Найти: 
Решение:
Изобразим цикл Карно в P-V координатах:
Молекула трехатомного газа имеет три степени свободы поступательного движения и три степени свободы вращательного движения. Показатель адиабаты
, 
, 
КПД цикла Карно:
, 
Уравнение адиабаты для ветки 2'-1:
, 
, 
, 
, 
, 
Па
Адиабатическое расширение происходит на участке 1'-2. Аналогично запишем уравнение адиабаты
, 
, 
, 
, 
(В процессе адиабатического расширения, объем газа конечно же увеличивается)
Идеальный газ, находившийся в некотором состоянии, адиабатически расширили до объема V. Одинаково ли будет установившееся давление газа в конечном состоянии, если процесс: а)обратимый; б)необратимый?
Решение:
Давление, вообще говоря, будет различаться.
Покажем на простом примере. Пусть у нас есть теплонепроницаемый баллон, частично заполненый газом, с лекго уберающейся перегородкой:
Установим в пустой части баллона подвижный поршень, который может запасать энергию (в начальном состоянии пружина не деформирована):
Уберем перегородку и газ расширится до некоторого объема V (в зависимости от коэффициента упругости пружины); процесс будет обратимым и адиабатным:
, 
А теперь вернем газ в прежнее состояние, а в выявленное положение поршня установим неподвижную стенку:
Если сейчас убрать перегородку, до газ расширится до того же объема V, процесс будет адиабатным, но необратимым. Работы газ не совершит и его внутренняя энергия (а значит и температура) останется прежней:
, 
Как видно, давления p и p' никак не равны, т.к. 
Определить, во сколько раз увеличился объем идеального двухатомного газа при адиабатическом расширении, если при этом температура уменьшилась на DТ = 65 К. Начальная температура газа Т = 435 К.
Дано:
Найти:
Решение:
Показатель адиабаты идеального двухатомного газа
Уравнение Клапейрона-Менделеева состояния газа:
 | |||
| |||
При адиабатическом процессе:
 |  | |||
 | ||||
Для двух состояний газа
9.
Некоторый газ находится в равновесном состоянии. Какая доля молекул газа обладает скоростями, отлиными от наиболее вероятной скорости не более чем на 1%?
Дано: 
Найти: 
Решение:
Максвелловское распределение молекул по скростям:
Полное число молекул:
Наиболее вероятную скорость найдем как максимум функции распределения
Производная функции:
Максимуму функции отвечает наиболее вероятная скорость (соотв. экстремуму функции):
Относительное число молекул в интервале скоростей от 
до 
: 
Интервал скоростей очень мал (
<< 1) и можно считать, что подинтегральная функция практически не меняется на интервале интегрирования:
, 
, 
Механические колебания
Некоторая точка движется вдоль оси x по закону x = a sin2 (ωt - π/4). Найти:
а) амплитуду и период колебаний; изобразить график x (t);
б) проекцию скорости vx как функцию координаты x; изобразить график vx (x).
Точка совершает гармонические колебания вдоль некоторой прямой с периодом Т = 0,60 с и амплитудой a = 10,0 см. Найти среднюю скорость точки за время, в течение которого она проходит путь a/2:
а) из крайнего положения;
б) из положения равновесия.
Частица совершает гармонические колебания вдоль оси x около положения равновесия x = 0. Частота колебаний ω = 4,00 рад/с. В некоторый момент координата частицы x0 = 25,0 см и ее скорость vx0 = 100 см/с. Найти координату x и скорость vx частицы через t = 2,40 с после этого момента.
10.
Найти уравнения траектории точки у (х), если она движется по законам:
а) х = a sin ωt, у = a sin 2ωt;
б) х