Действующие и средние значения синусоидальных токов, напряжений, ЭДС.

Для установления эквивалентности переменного тока в отношении энергии и мощности, общности методов расчета, а также сокращения вычислительной работы изменяющиеся непрерывно во времени токи. ЭДС и напряжения заменяют эквивалентными неизменными во времени величинами. Действующим или эквивалентным значением называется такой неизменный во времени ток, при котором выделяется в резистивном элементе с активным сопротивлением r за период то же количество энергии, что и при действительном изменяющемся синусоидально токе.

Энергия за период, выделяющаяся в резистивном элементе при синусоидальном токе,

При неизменном во времени токе энергия

W = I ² rT

Приравняв правые части

получим действующее значение тока

Таким образом, действующее значение тока меньше амплитудного в √2 раз.

Аналогично определяют действующие значения ЭДС и напряжения:

Е =E_m / √2, U = U_m / √2.

Действующему значению тока пропорциональна сила, действующая на ротор двигателя переменного тока, подвижную часть измерительного прибора и т. д. Когда говорят о значе­ниях напряжения, ЭДС и тока в цепях переменного тока, имеют в виду их действующие значения. Шкалы измерительных приборов переменного тока отградуированы соответственно в действующих значениях тока и напряжения. Например, если прибор показывает 10 А, то это значит, что амплитуда тока

I_m = √2 I = 1,41 • 10 = 14,1 A,

и мгновенное значение тока

i = I_m sin (ω t + ψ) = 14,1 sin (ω t + ψ).

При анализе и расчет выпрямительных устройств пользуются средними значениями тока, ЭДС и напряжения, под которыми понимают среднее арифметическое значение соответствующей величины за полпериода (среднее значение за период, как известно, равно нулю):

Аналогично можно найти средние значения тока и напряжения:

I _ср = 2 I_т /π; U _ср = 2 U_т /π.

Отношение действующего значения к среднему значению какой-либо периодически изменяющейся величины называется коэффициентом формы кривой. Для синусоидального тока

Изображение синусоидально изменяющихся величин векторами на комплексной плоскости.

Запишем комплексное число в виде

I _m = I_mе^{j α} = I_m cos α + jI_m sin α

Допустим, что вектор комплексного числа I_m вращается с постоянной угловой частотой ω и угол α = ω t + ψ. Тогда

I _m = I_mе^{j (ω t + ψ)} = I_m cos (ω t + ψ) + jI_m sin (ω t + ψ).

Слагаемое I_m cos (ω t + ψ) представляет собой действительную часть комплексного числа и обозначается

I_m cos (ω t + ψ) = Re I_mе^{j (ω t + ψ)}.

Слагаемое I_m sin (ω t + ψ) есть коэффициент при мнимой части комплексного числа и обозначается

I_m sin (ω t + ψ) = Im I_mе^{j (ω t + ψ)}.

Легко видеть, что коэффициент при мнимой части комплексного числа представляет собой выражение мгновенного значения синусоидального тока

i = I_m sin (ω t + ψ)

и является проекцией вращающегося вектора I _m на мнимую ось комплексной плоскости.

Синусоидально изменяющиеся по времени величины изображаются на комплексной плоскости для момента времени t = 0. Тогда комплексная амплитуда I _m записывается в виде

I _m = I_me^{j ψ},

где I _m — комплексная амплитуда; I_m - ее модуль, а ψ - угол между вектором I _m, и действительной осью.

Таким образом, комплексная амплитуда изображает синусоидальный ток на комплексной плоскости для момента времени t = 0.

Допустим, что в электрической цепи мгновенные значения напряжений и тока имеют выражения

и = U_m sin(ω t + ψ₁);
i = I_m sin (ω t + ψ₂).

Комплексные амплитуды напряжения и тока должны быть записаны в виде

U _m = U_me^{j ψ1};
I _m = I_me^{j ψ2};

где U_m и I_m — соответственно модули комплексных амплитуд напряжений и тока; ψ₁ и ψ₂ — начальные фазы U _m и I _m относительно действительной оси (углы начальных фаз).

Обычно принято выражать в виде комплексных чисел не амплитуды, а действующие значения напряжений и токов:

Рис. 2.24. Изображение напряжения и тока в виде векторов на комплексной плоскости (а и б) электрических цепей (в и г)

Если ψ₁> ψ₂, то векторы напряжения и тока расположены на комплексной плоскости так, как показано на рис. 2.24, а. Напряжение опережает по фазе ток, так как векторы вращаются против часовой стрелки и, следовательно, цепь имеет активно-индуктивный характер (рис. 2.24, в).

При ψ₂> ψ₁ (рис. 2.24, б) ток опережает по фазе напряжение и цепь имеет активно-емкостный характер (рис 2.24, г).

Закон Ома в комплексной форме для активного сопротивления.