Лекция 4
Многоугольник называется правильным, если он имеет равные стороны и равные углы.
Теорема. Если разделить окружность на n равных частей, то:
1. Точки деления служат вершинами правильного многоугольника (при этом получаем вписанный многоугольник)
2. Касательные к окружности в этих точках служат сторонами второго правильного многоугольника (при этом получаем описанный многоугольник)
Доказательство:
Пусть окружность разделена на несколько равных частей в точках А,В,…F и через эти точки проведены хорды АВ, ВС, …FA и касательные MBN, NCO,… SAM.
Тогда:
1. Вписанный многоугольник правильный, т.к. все его стороны равны как хорды, стягивающие равные дуги, и все углы равны, как вписанные, опирающиеся на равные дуги.
2. Описанный многоугольник MNOP…S – правильный. Для доказательства рассмотрим треугольники DАМВ, D NBC… В них АВ=ВС=… (как хорды, стягивающие равные дуги), ÐMAB=ÐMBA=ÐNBC=…(почему?
)
Значит, эти треугольники равнобедренные и равные. Тогда MN=MB+BN, причем MB=BN=…, следовательно, стороны многоугольника равные: MN=NO=OP=… и углы ÐM=ÐN=ÐO=…(почему?
)
Значит, многоугольник правильный. 
Общий центр окружностей описанной около правильного многоугольника и вписанной в него называется центром многоугольника. Радиус вписанной окружности называется апофемой.
Замечание: Если в окружность можно вписать правильный n-угольник, то можно вписать и правильный 2n-угольник. Для этого достаточно разделить на две части дугу, стягиваемую стороной n-угольника.
Теорема: Пусть P – периметр правильного описанного около окружности многоугольника, р- периметр вписанного многоугольника с тем же числом сторон. Если безгранично удваивать число сторон, то величины Р и р стремятся к одному и тому же пределу L.
Доказательство:
Докажем эту теорему, основываясь на следующих соображениях:
1. Периметры р (периметры вписанных многоугольников, стороны которых удваиваются) возрастают, т.к. предыдущий многоугольник лежит внутри следующего, но остаются все время меньше некоторого постоянного значения. Следовательно, последовательность периметров р имеет предел
2. Периметры Р (периметры описанных многоугольников, стороны которых удваиваются) убывают, т.к. следующий многоугольник лежит внутри предыдущего, но остаются все время больше некоторого постоянного значения. Следовательно, последовательность периметров Р имеет предел
3. Докажем, что эти пределы равны. Два правильных многоугольника, описанный и вписанный, с одинаковым числом сторон, подобны, и их периметры относятся как их апофемы: 
, (почему?
)
где 
, 
. Но при неограниченном удвоении сторон 
, т.е. 
, откуда получаем, что 
Длина L, общий предел периметров вписанного и описанного n-угольников, количество сторон которых неограниченно возрастает, называется длинной окружности.
Теорема: Длины двух любых окружностей относятся как их радиусы.
Доказательство: Пусть 
и 
- длины окружностей радиусов 
и 
. Впишем в эти окружности два правильных многоугольника с одинаковым числом сторон. Они будут подобны, тогда их периметры относятся как 
. Поскольку отношение периметров в пределе даст отношение длин окружностей, то 
.
Замечание: Из этой теоремы легко видеть, что отношение длины окружности к ее радиусу есть величина постоянная, которую обозначают 
.
p - некоторая константа, следовательно, ее значение можно вычислить. Впервые обозначением этого числа греческой буквой p воспользовался британский математик Джонс (1706), а общепринятым оно стало после работ Эйлера. Это обозначение происходит от начальной буквы греческих слов περιφέρεια — окружность, периферия и περίμετρος — периметр. Для вычисления этого значения существует множество способов. В настоящее время значение для числа p вычислено с точностью до ста миллиардов знаков после запятой. p» 3,141 592 653 589 793 238 462… Существует праздник, посвященный этому числу. День числа p отмечается 14 марта и совпадает с днем рождения одного из наиболее выдающихся физиков современности - Альберта Эйнштейна.
Площади многоугольников
Два многоугольника называются смежными, если они имею одну или несколько общих сторон или частей сторон, но не имеют ни одной общей внутренней точки.
Если в двух данных смежных многоугольниках не рассматривать их общих сторон, то образуется третий многоугольник, который называется суммой первых двух.
Внутренняя область суммы двух многоугольников содержит внутренние точки каждого из исходных многоугольников и только эти.
Установить систему измерения площадей многоугольников, значит поставить в соответствие каждому многоугольнику положительное число, называемое его площадью, и обладающее следующими свойствами:
1. Квадрату со стороной равной единице длины соответствует число равное 1.
2. Равным многоугольникам соответствует одна и та же площадь, независимо от занимаемого ими положения в пространстве(свойство инвариантности).
3. Многоугольник, представляющий собой сумму двух многоугольников, имеет площадь, равную сумме площадей составляющих его многоугольников (свойство аддитивности).
Два многоугольника, имеющие одну и ту же площадь называются равновеликими.
Прямоугольник
Прямоугольник — четырёхугольник, у которого все углы прямые
Основанием прямоугольника называется одна из его сторон. Сторона, перпендикулярная основанию, называется высотой прямоугольника. Основание и высота прямоугольника называются его измерениями.
Теорема: Площадь прямоугольника S, стороны которого имеют длины a и b, выражается формулой S=ab.
Доказательство: Покажем, что при этом выполняются все свойства измерения площадей многоугольников.
1. Прямоугольник с измерениями 1 и 1 (т.е. квадрат со стороной 1) дает S=1×1=1.
2. Рассмотрим два прямоугольника с измерениями 
и 
, такие что 
, 
. Т.е. прямоугольники равны. Площадь первого из них 
, второго 
, т.к. 
, то 
3. Рассмотрим прямоугольник с измерениями , 
.
Тогда , но Þ 
Параллелограмм
Параллелограмм – это четырёхугольник, противоположные стороны которого попарно параллельны.
Теорема: Площадь параллелограмма измеряется произведением его основания на высоту
Доказательство: самостоятельно
Треугольник
Теорема: Площадь треугольника равна половине произведения основания на высоту
Доказательство: самостоятельно
Теорема(формула Герона): Площадь треугольника может быть найдена по формуле 
Доказательство: самостоятельно
Теорема: Произведение трех сторон треугольника равно учетверенному произведению площади треугольника на радиус описанной окружности: 
Доказательство:
Проведем высоту ВН и диаметр ВВ¢. Рассмотрим DВНС и DВАВ¢. Они оба прямоугольные (почему?
)
и Ð АВ¢В=ÐАСВ (почему?
)
Следовательно, они подобны. Значит 
откуда 
. Умножая на АС обе части, получим требуемое(покажите!
)
Следствие: площадь треугольника может быть найдена как 
.
Круг
Теорема: Если в окружность вписать правильный многоугольник и описать правильный многоугольник с тем же числом сторон, которые неограниченно удваивать, то площади вписанного и описанного многоугольников будут стремиться к одному и тому же пределу, называемому площадью круга.
Доказательство: самостоятельно, аналогично теореме о периметрах вписанного и описанного многоугольников
Теорема: Площадь круга измеряется половиной длины окружности, умноженной на радиус.
Доказательство: самостоятельно, аналогично теореме о длине окружности