ЛИНЕЙНЫЕ НЕПРЕРЫВНЫЕ АСР 3 глава

₀ t

 

а) б)

Рис4.13.

 

Весовая функция звена представляет собой отрицательную убывающую по модулю экспоненту (Рис.4.13б).

 

 

4.7. Инерционные звенья второго порядка

 

К таким звеньям относят элементы АСР, описываемые дифференциальным уравнением второго порядка:

,

где

-коэффициент передачи;

, -постоянные времени.

Преобразуем уравнение по Лапласу:

Отсюда

.

Корни характеристического уравнения

,

т.е. корни многочлена в знаменателе передаточной функции, выражаются как:

.

Обозначим , .

Тогда

и

Рассмотрим случаи:

1. Если , то корни характеристического уравнения действительные простые и переходная функция

 

Так как

 

то

и

,

где

; .

Производные функции

;

.

При , , .

Переходная функция при асимптотически стремится к значению , т.е. к установившемуся значению.

 

 

При

.

.

.

 

В соответствии со значениями при и графики функции и ее

производных принимают вид, приведенный на рисунке 4.14.

 

h(t) Точку на кривой ,

соответствующую

максимальной первой

K производной и переходу через

нуль второй производной,

⁰ t называют точкой перегиба

(V(t)) кривой.

 

 

₀ t

K

T²

₀ t

Рис.4.14.

 

2. Если , то корни характеристического уравнения действительные равные .

Следовательно,

.

И в этом случае , кривая функции имеет вид, изображенный на рисунке 4.14.Следовательно, при процесс апериодический.

3. Если , то корни комплексные сопряженные.

Тогда

и

Переходный процесс колебательный, затухающий по экспоненциальному закону.

В связи с этим, элементы АСР, описываемые уравнением второго порядка, называют колебательными звеньями в случае и апериодическими в случаях .

Аналитическое выражение АФХ звеньев второго порядка имеет вид:

,

где

;

.

 

 

Графики АФХ апериодического и колебательного звеньев приведены на

рисунке 4.15 а,б.

 

 

 

К К

180⁰ 180⁰

_рез

 

а) апериодическое б) колебательное

Рис.4.15.

 

АФХ колебательного звена (рис. 4.15б) имеет промежуточный экстремум. Частоту, соответствующую этому экстремуму (максимуму), называют резонансной.

 

4.8. Общее свойство типовых звеньев

 

В общем случае передаточная функция звена может быть записана в виде правильной рациональной дроби.

 

Раскладывая многочлены и на множители, можно записать:

где

- общий коэффициент передачи звеньев;

- -ые корни многочленов и .

 

Корни многочлена числителя передаточной функции называют ее нулями, корни многочлена знаменателя передаточной функции называют полюсами.

Так как система устойчива, то полюсы ее передаточной функции должны располагаться в левой полуплоскости, нули же могут располагаться и в левой и в правой полуплоскостях комплексной плоскости, например рисунок 4.16.

 

 

 

⁰

 

Рис.4.16.

 

Из рисунка 4.16 видно, что фазы векторов АФХ меньше для случаев, когда нули располагаются в левой полуплоскости, по сравнению со случаем, когда нуль располагается в правой полуплоскости.

Звенья, у которых все полюсы и нули передаточной функции располагаются в левой полуплоскости (или на мнимой оси), называют минимально-фазовыми.

Рассмотренные типовые звенья являются минимально-фазовыми.

 

4.9. Звено транспортного (чистого) запаздывания

 

В ряде технологических процессов имеет место отставание во времени появления выходного сигнала по сравнению с моментом приложения входного воздействия.

Классическим примером такого явления служат транспортные средства в виде различных транспортеров.

Уравнение, описывающее это явление, имеет вид:

 

,

 

где -величина запаздывания выходного сигнала по сравнению с входным воздействием.

 

Преобразовав уравнение по Лапласу, получим:

АФХ является окружностью единичного радиуса с центром в начале координат комплексной плоскости (рис. 4.17).

 

⁰

 

 

Рис.4.17.

Переходная функция звена запаздывания

является ступенчатой функцией, смещенной на величину запаздывания t от начала координат (рис. 4.18).

h

 

 

₀ t

 

Рис.4.18.

 

Весовая функция представляет собой импульсную функцию, смещенную на величину запаздывания t от начала координат (рис. 4.19).

 

V

 

 

 

⁰ t

 

Рис.4.19.

 

Звено транспортного запаздывания является неминимально-фазовым, его передаточная функция имеет бесконечное число нулей и полюсов, расположенных как в левой, так и в правой полуплоскостях комплексной плоскости.

Однако, принципиально возможно осуществить приближение передаточной функции передаточными функциями минимально-фазового вида. Необходимость этого возникает при моделировании динамических свойств системы. Такое приближение можно осуществить, используя метод разложения функции в быстро сходящиеся ряды при ограничении сравнительно небольшим числом членов ряда.

Наиболее универсальным методом является приближение с помощью дробно-рациональной функции.

Разложение функции в дробный ряд Пада является примером такого разложения:

,

где и - функции комплекса и ν, причем

Например, при

.

 

 

4.10. Типовые соединения звеньев

 

4.10.1. Введение

 

В структурных схемах АСР отдельные ее элементы (звенья) определенным образом взаимодействуют между собой, получая и выдавая соответствующие сигналы.

Возможны три типа взаимодействия, иначе говоря, три типа соединения звеньев.

 

4.10.2. Последовательное соединение звеньев

 

Последовательным соединением называют тот случай взаимодействия, когда выходной сигнал предыдущего звена является входной величиной последующего

(рис. 4.20).

f(t) y₁(t) y₂(t) y_n-2(t) y_n-1(t) y_n(t)

1 2 … n-1 n

 

Рис.4.20.

 

 

Обозначив передаточные функции звеньев через в соответствии с рисунком 4.20 находим общую передаточную функцию соединения звеньев.

Передаточная функция последовательного соединения звеньев равна произведению передаточных функций отдельных звеньев, входящих в соединение.

 

4.10.3. Параллельное согласное соединение звеньев

 

Таким соединением называют случай взаимодействия элементов АСР, когда имеется один вход, а выходы алгебраически суммируются (рис. 4.21).

 

y₁(t)

1

 

y₂(t)

2

f(t) y(t)=∑y_i(t)

y_n-1(t)

n-1

 

y_n(t)

n

 

Рис.4.21.

 

В соответствии с рисунком 4.21 имеем:

Передаточная функция параллельного согласного соединения звеньев равна сумме передаточных функций звеньев, входящих в соединение.

 

 

4.10.4. Параллельное встречное соединение звеньев.

 

Такое соединение звеньев чаще называют соединением по типу обратной связи. Это такое соединение двух групп звеньев, когда сигнал первой группы звеньев передается на вход этой же группы, соответствующим образом измененный другой группой звеньев (рис. 4.22).

 

f(t) + z(t) y(t)

W_пр(p)

± y_ос(t)

 

W_ос(p)

 

Рис.4.22.

В соответствии с рисунком 4.22 имеем:

Y(p)=W_пр(p)Z(p),

Z(p)=F(p)±Y_ос(p),

Y_oc(p)=W_oc(p)Y(p).

Подставив второе и третье уравнения в первое, получим:

Y(p)=W_пр(p)[F(p)± W_oc(p)Y(p)]= W_пр(p)F(p)± W_пр(p)W_oc(p)Y(p);

Y(p) W_пр(p)W_oc(p)Y(p)=W_пр(p)F(p).

Отсюда

Передаточная функция соединения звеньев по типу обратной связи определяется дробью, в числителе которой записывается передаточная функция прямой цепи () передачи сигнала, а в знаменателе – единица, алгебраически просуммированная с произведением передаточных функций прямой цепи и цепи обратной связи ().

Знак ″-″ в знаменателе относится к случаю положительной обратной связи, т.е. когда сигнал от обратной связи совпадает по знаку с основным входным сигналом.

Знак ″+″ относится к отрицательной обратной связи, т.е. к случаю, когда сигнал от обратной связи и основной входной сигнал противоположны по знаку.

В системах регулирования для обеспечения устойчивости их работы применяют отрицательную обратную связь.

В таких случаях:

.

Положительная обратная связь применяется в качестве местных обратных связей в различного рода усилителях с целью повышения коэффициента усиления последних.

Передаточную функцию прямой цепи передачи сигналов можно записать в виде:

где

К_пр - коэффициент передачи прямой цепи,