Дискретные системы с цифровыми регуляторами

 

15. Математические основы теории дискретных АСР

15.1. Импульсный элемент. Дискретные сигналы. Решетчатая функция.

 

В технике управления технологическими процессами наряду с непрерывными применяют дискретные системы, в которых контур управления замыкается на определенный промежуток времени, в связи с чем воздействие на объект осуществляется не непрерывно, а импульсами.

В паузах между импульсами система разомкнута. Импульсный элемент, размыкающий и замыкающий контур системы регулирования, является элементом дискретного действия, преобразующим непрерывную функцию вещественного переменного t в последовательность импульсов, в дискретную функцию.

Преобразование непрерывной функции в дискретную с помощью импульсного элемента называют квантованием. Различают квантование по времени, по уровню и по времени и уровню.

В дискретных системах квантованный по времени входной сигнал модулирует последовательность дискретных выходных импульсов. При этом образование дискретных сигналов импульсными устройствами осуществляется на основе двух видов модуляции – амплитудно–импульсной (АИМ) или широтно–импульсной (ШИМ).

При АИМ образуются импульсные узкие сигналы разной высоты и одинаковой ширины, следующие один за другим в тактовые моменты времени 0Т,1Т,2Т,…,nТ,

где Т – период чередования (повторения) импульсов, период квантования.

При ШИМ на выходе импульсного элемента в тактовые моменты времени образуются импульсы одинаковой высоты и шириною, изменяющейся в зависимости от амплитуды входного сигнала в тактовые моменты времени или . Функцию, значения которой определены в дискретные моменты времени nT, называют решетчатой функцией времени.

Операция замены непрерывной функции решетчатой показана на рисунке 15.1.

f(t)

f[n]

 

 

f(t)

 

 

t

0T 1T 2T 3T 4T 5T

 

Рис.15.1.

Изображенные на рисунке 15.1 ординаты называют дискретами исходной непрерывной функции. Аналогом производных непрерывных функций и дифференциальных уравнений являются разности (прямые и обратные) и разностные уравнения, т.е. первоначальной математической основой теории дискретных систем являются разностные уравнения или, иначе, уравнения в конечных разностях.

 

 

15.2. Z-преобразование

 

Для анализа непрерывных линейных систем вместо дифференциальных уравнений используют интегральное преобразование Лапласа.

Для анализа дискретных систем вместо разностных уравнений применяют аналогичное дискретное преобразование путем суммирования – z-преобразование.

Если f[n] решетчатая функция, то прямым z-преобразованием называют функцию:

Интерес представляют такие значения z, при которых ряд сходится и функция существует. Если для последовательности f[n] существует такое число R, что при ряд сходится, то величину называют радиусом сходимости.

Решетчатую функцию f[n] называют оригиналом, функцию - прямым

z-преобразованием или z-изображением функции f[n]. В символической форме прямое z-преобразование записывают как:

или

 

Модулирующий односторонний сигнал может возникать не точно в момент времени t=0, а с некоторым запаздыванием t. Если запаздывание равно целому числу периодов квантования , то для получения z-изображения модулированной последовательности импульсов достаточно z-изображение для умножить на

(теорема запаздывания)

 

Если запаздывание составляет только часть периода квантования (при 0<l<1), то

 

Для использования в практических расчетах это z-изображение удобно переписать в функциональную зависимость от параметра , заменив значением

(рис. 15.2)

 

f

 

1T

⁰ t

 

 

Рис.15.2.

 

В соответствии с теоремой запаздывания (для случая ) получаем:

Это выражение определяет модифицированное прямое z-преобразование.

В качестве примера в таблице 15.1 приведены z-преобразования непрерывных функций вещественного переменного t: единичной скачкообразной функции 1(t), единичной линейной функции t, показательной функции

В общем случае, при произвольном запаздывании сначала следует определить число r целых периодов квантования на интервале времени запаздывания t (рис. 15.3) и параметр

,

после чего z-изображение можно определить соотношением

,

т.е. в общем случае, при произвольном запаздывании z-изображение модулированной последовательности импульсов равно модифицированному z-изображению, умноженному на

Таблица 15.1

N П.п.	)

 

0T 1T 2T 3T

rT λT t

(1-λ)T=CT

 

;

Рис.15.3.

 

Нахождение решетчатой функции (оригинала) по ее z-изображению называют обратным z-преобразованием и осуществляют с помощью контурного интеграла

В символической форме обратное z-преобразование записывают как:

или

 

15.3 Дискретное преобразование Лапласа

 

В z-преобразовании аргумент z может быть любой комплексной переменной, удовлетворяющей условию

Однако, интерес представляет частный вид z-преобразований, называемый дискретным преобразованием Лапласа, в котором , т.е. когда z-изображение решетчатой функции

является функцией аргумента q=TP:

Здесь комплексная величина , где С - абсцисса абсолютной сходимости.

Если С<¥, то ряд сходится и решетчатая функция имеет некоторое значение, однако при условии, что функция не имеет разрывов непрерывности в моменты посылок импульсов. Дискретное преобразование Лапласа записывается как:

,

Между дискретным и интегральным преобразованиями Лапласа имеется однозначная зависимость. Используя свойства импульсной -функции, разложение в ряд Фурье и теорему смещения в области комплексного переменного, можно показать, что

Здесь

- частота квантования,

Т - период квантования.

16. Цифровые регуляторы

 

16.1. Канал дискретного преобразования сигнала

 

Вычислительные устройства цифровых контроллеров, применяемых для управления технологическими процессами, являются дискретными системами, оперирующими с дискретными сигналами, т.е. сигналами, принимающими определенные значения только в дискретные равноотстоящие моменты времени через интервал повторения (интервал квантования).

Схема подключения цифрового вычислительного устройства (ЦВУ) к каналу преобразования непрерывного сигнала приведена на рисунке 16.1

 

 

ЦВУ

АЦП

ЦАП

x(t) x[nT] y[nT] y(t)

 

 

Рис.16.1.

 

Входной непрерывный сигнал x(t) в АЦП (аналого-цифровой преобразователь) преобразуется в дискретную последовательность чисел x[nT], которая поступает на вход ЦВУ. Здесь она преобразовывается в соответствии с заложенным в него алгоритмом в синхронную последовательность чисел y[nT], которая затем в цифро-аналоговом преобразователе (ЦАП) преобразовывается в непрерывный сигнал y(t).

Так как дискретные сигналы представляют собой последовательности чисел, то применить к ним математический аппарат преобразований Лапласа и Фурье невозможно. Однако, это затруднение может быть преодолено переходом к соответствующей модели этих сигналов.

Поскольку дискретная последовательность чисел определяет значения непрерывного сигнала в дискретные моменты времени, в качестве модели такой последовательности можно выбрать последовательность бесконечно коротких импульсов так, чтобы величина каждого импульса равнялась заменяемому числу.

Такую последовательность импульсов называют последовательностью модулированных -импульсов и отмечают * сверху.

Например, символ означает модулированную последовательность импульсов с периодом повторения Т, величина каждого импульса равняется значению непрерывного сигнала в моменты посылок импульсов. Модулированная последовательность -импульсов имеет изображения Лапласа и Фурье, которые также отмечаются

На рисунке 16.2 последовательность чисел x[nT], определяющих дискретные значения непрерывного сигнала , графически изображена точками. Модель этой последовательности в виде модулированной последовательности -импульсов

изображена на рисунке последовательностью стрелок соответствующей высоты.

x[nT]

 

 

t

⁰ T

x*(t)

 

 

₀ t

T

Рис.16.2.

 

Переход от дискретных сигналов и к их моделям и в схеме на рисунке 16.1 требует соответствующей замены АЦП и ЦАП их моделями.

 

 

16.2. Аналого-цифровой преобразователь. Дельта-импульсный модулятор

 

АЦП на входе в ЦВУ должен быть заменен -импульсным модулятором

(рис. 16.3), преобразовывающим непрерывный сигнал в модулированную последовательность -импульсов

 

 

 

g*(t)

Модулятор

x(t) x*(t)

 

 

Рис.16.3.

 

В соответствии с дискретным преобразованием Лапласа

или

ЦВУ является фильтром низкой частоты. Предполагая, что ЦВУ не пропускает гармоник и выше, при имеем:

Отсюда передаточная функция -импульсного модулятора

.

Модулятор ведет себя как безынерционное звено и представляет собой ключ мгновенного срабатывания, замыкаемый в тактовые моменты времени, определяемые периодом квантования. На схемах такой модулятор изображают рисунком 16.4

 

x(t) x*(t)

 

 

Рис.16.4.

 

16.3. Цифровое вычислительное устройство

 

ЦВУ являются фильтрами низкой частоты и реализуют программу дифференцирования, причем работают всегда в режиме реального времени. Для выполнения математических операций ЦВУ затрачивает время, равное периоду квантования Т. После этого сигнал с выхода ЦВУ поступает через ЦАП на объект управления. Для осуществления операций дифференцирования необходимо брать разность будущего и текущего значений . Получение будущего значения сигнала вызывает сдвиг фаз на выходном регистре. Таким образом, реализация программы дифференцирования в реальном масштабе времени должна осуществляться в соответствии с

 

Преобразуем это выражение по Лапласу

 

Отсюда

или (полагая )

 

 

16.4. Цифро-аналоговый преобразователь. Демодулятор

 

Упрощенная принципиальная схема такого демодулятора изображена на рисунке 16.5

 

 

 

R2

Y

R1

y(t)

 

y*(t) C

 

 

Рис.16.5.

 

В преобразователь входят импульсное устройство, регистры R₁ и R₂, конденсатор С и операционный усилитель У. В момент замыкания ключа конденсатор быстро заряжается и ²запоминает² поступающее на него напряжение, которое с течением времени уменьшается по экспоненциальному закону.

Формы входного и выходного сигналов изображены на рисунке 16.6.

y*

y*(0)

y*(1T)

y*(2T)

y*(3T)

y*(4T)

₀ t

1T 2T 3T 4T

y y₀

y₁

y₂

y₃

y₄

 

 

⁰ 1T 2T 3T 4T t

 

Рис.16.6.

 

Для упрощения экспоненциальные изменения представим в виде прямоугольных, которые можно записать как сумму двух ступенчатых функций

,

где -функция.

Входной сигнал запишем в виде

Применив преобразования Лапласа, получим:

,

,

Подставив сюда , получим z-передаточную функцию демодулятора.

Демодулятор, описываемый такой передаточной функцией, т.е. генерирующий прямоугольные сигналы на выходе, называют экстраполятором нулевого порядка. Такой преобразователь сглаживает выходной сигнал, запоминая величину входного на период квантования. Если сглаживание выходного сигнала выполняется в виде трапеций, то демодулятор (ЦАП) называют экстраполятором первого порядка.

В этом случае

и

В результате рассмотренных преобразований модель канала дискретного преобразования сигналов (рис. 16.1) приобретает вид, показанный на рисунке 16.7

 

МДС

ДМ

x(t) x*(t) y*(t) y(t)

 

 

Рис.16.7.

 

Здесь входной непрерывный сигнал преобразуется -импульсным модулятором в модулированную этим сигналом последовательность -импульсов , которая затем в непрерывной модели дискретной системы (МДС), в соответствии с требуемым алгоритмом, преобразуется в выходную последовательность , в демодуляторе(ДМ) из последовательности -импульсов формируется непрерывный сигнал выхода .

17. Структурная схема дискретной АСР с цифровым регулятором

 

Структурная схема системы с цифровым регулятором приведена на рисунке 17.1

ОP

ЦАП

АЦП

ЦВУ

y₃(t) y₃[nT] ε[nT] μ(nt) μ(t) y(t)

- y[nT]

АЦП

y(t)

 

Рис.17.1.

 

Здесь в АЦП осуществляется преобразование (квантование) непрерывных сигналов изменения регулируемой величины и управляющего воздействия в дискретные последовательности чисел и . В измерительном устройстве регулятора образуется последовательность дискретных значений рассогласования , которая подается на вход ЦВУ регулятора. В ЦВУ вырабатывается дискретное регулирующее воздействие , которое в ЦАП преобразуется в непрерывное перемещение регулирующего органа.

- приведенное к выходу объекта реальное возмущение .

В соответствии с проведенной заменой сигналов отдельных элементов системы их моделями, общая модель системы с цифровым регулятором может быть представлена схемой, приведенной на рисунке 17.2

y₃(t) y (t) ε*[t] μ*(t) μ(t) y(t)

-1

-y*(t) y*(t) y(t)

 

Рис.17.2.

 

В этой схеме регулируемая величина в -импульсном модуляторе преобразуется в последовательность модулированных -импульсов , которая затем подается на элемент сравнения. На этот же элемент подается другая последовательность импульсов , определяющая заданные значения регулируемой величины в дискретные моменты времени. Последовательности импульсов , синхронны.

В элементе сравнения образуется последовательность импульсов рассогласования . Эта последовательность подается в дискретный регулятор (), на выходе которого образуется последовательность регулирующих импульсов . Далее в демодуляторе () эта последовательность импульсов преобразуется в непрерывное регулирующее воздействие , подаваемое на вход объекта (). Демодулятор () и объект () с импульсным модулятором на его выходе можно рассматривать совместно, как показано на рисунке 17.3

y (t) ε*[t] μ*(t) μ(t)

y*(t)

-1

-y*(t) y*(t)

 

 

		Поделиться: Поиск по сайту ©2015-2024 poisk-ru.ru Все права принадлежать их авторам. Данный сайт не претендует на авторства, а предоставляет бесплатное использование. Дата создания страницы: 2017-12-07 Нарушение авторских прав и Нарушение персональных данных	 Поиск по сайту: Читайте также: Деталирование сборочного чертежа Когда производственнику особенно важно наличие гибких производственных мощностей? Собственные движения и пространственные скорости звезд Тема 11. Банковские риски и способы их оценки Опросник «Активность повседневной жизни» Интересно: Медицинские крылатые латинские выражения Роль химии в жизни человека Что такое ортодоксальный марксизм? Что такое метод «Елочки»? Обратная связь