Пусть функция y = f(x) непрерывна на отрезке [a; b] и F(x) - одна из первообразных функции на этом отрезке, тогда справедлива формула Ньютона-Лейбница: 
.
Формулу Ньютона-Лейбница называют основной формулой интегрального исчисления.
Для доказательства формулы Ньютона-Лейбница нам потребуется понятие интеграла с переменным верхним пределом.
Если функция y = f(x) непрерывна на отрезке [a; b], то для аргумента 
интеграл вида 
является функцией верхнего предела. Обозначим эту функцию 
, причем эта функция непрерывная и справедливо равенство 
.
Действительно, запишем приращение функции 
, соответствующее приращению аргумента 
и воспользуемся пятым свойством определенного интеграла и следствием из десятого свойства:
где 
.
Перепишем это равенство в виде 
. Если вспомнить определение производной функции и перейти к пределу при 
, то получим 
. То есть, - это одна из первообразных функции y = f(x) на отрезке [a; b]. Таким образом, множество всех первообразных F(x) можно записать как 
, где С – произвольная постоянная.
Вычислим F(a), используя первое свойство определенного интеграла: 
, следовательно, 
. Воспользуемся этим результатом при вычислении F(b): 
, то есть 
. Это равенство дает доказываемую формулу Ньютона-Лейбница .
Приращение функции принято обозначать как 
. Пользуясь этим обозначением, формула Ньютона-Лейбница примет вид 
.
Для применения формулы Ньютона-Лейбница нам достаточно знать одну из первообразных y=F(x) подынтегральной функции y=f(x) на отрезке [a; b] и вычислить приращение этой первообразной на этом отрезке. В статье методы интегрирования разобраны основные способы нахождения первообразной. Приведем несколько примеров вычисления определенных интегралов по формуле Ньютона-Лейбница для разъяснения.
Пример.
Вычислить значение определенного интеграла 
по формуле Ньютона-Лейбница.
Решение.
Для начала отметим, что подынтегральная функция 
непрерывна на отрезке [1;3], следовательно, интегрируема на нем.
Из таблицы неопределенных интегралов видно, что для функции множество первообразных для всех действительных значений аргумента (следовательно, и для 
) записывается как 
. Возьмем первообразную при C = 0: 
.
Теперь осталось воспользоваться формулой Ньютона-Лейбница для вычисления определенного интеграла: 
.
Пример.
По формуле Ньютона-Лейбница вычислите определенный интеграл 
.
Решение.
Подынтегральная функция непрерывна на отрезке [-1;2], поэтому, интегрируема на нем.
Найдем неопределенный интеграл 
методом подведения под знак дифференциала: 
. Так мы получили множество всех первообразных функции 
для всех действительных x, следовательно, и для 
.
Возьмем первообразную при С=0 и применим формулу Ньютона-Лейбница:
Пример.
Вычислить определенные интегралы 
.
Решение.
На отрезке 
подынтегральная функция непрерывна, следовательно, интегрируема.
Найдем множество первообразных функции 
: 
.
Возьмем первообразную 
и по формуле Ньютона-Лейбница вычислим требуемый определенный интеграл:
Переходим ко второму определенному интегралу.
На отрезке [-1;1] подынтегральная функция не ограничена, так как 
, то есть, не выполняется необходимое условие интегрируемости функции на отрезке. Более того, не является первообразной функции на отрезке [-1;1], поскольку точка 0, принадлежащая отрезку, не входит в область определения функции. Следовательно, не существует определенный интеграл Римана и Ньютона-Лейбница для функции на отрезке [-1;1].
Итак, перед применением формулы Ньютона-Лейбница обязательно нужно убедиться, что указанный определенный интеграл существует.