ПустьV– множество элементов произвольной природы V={а,в,с…(a, b, c над ними черта вектора)}. Р – числ. поле. Заданы бинарные алг. операции на V: а+в, lаÎV, lÎР, аÎV. Указанные операции обладают след-ми св-ми: "а, в, сÎV
1) а+в=в+а; 2)(а+в)+с=а+(в+с); 3) $0ÎV нейтральный по сложению; 4)"аÎV $-аÎV "l, mÎ Р, "а, вÎV
5) (lm)а=l(mа); 6) (l+m)а=lа+mа; 7) l(а+в) = lа + lв;8) "а 1×а=а
Тогда множество V наз. векторным пространством над числ. полем Р.
Элементы множества V – векторы, не вкладывая в этот термин геом. содержания.
Пр-р: ы: V1 – множество геометрических векторов, лежащих на прямой. Операции «+» и «×» определяются как в школе. Роль 9 играет 0 вектор. Для каждого есть противоположный;
V2 – геометрические векторы плоскости с общим началом; V3 – геом. векторы трехмерного пространства;
Аn– n-мерное арифм. пространство. Аn={(a1,a2,…,an), aiÎR}, P=R
Рассмотрим 2 набора: a= (a1,a2,…,an) –арифметич. вектор, в=(b1,b2,…,bn)
а+в=(a1+b1,a2+b2 , …, an+bn) ÎАn
lÎR la=(la1,la2,…,lan) ÎАn
0=(0,0,…,0); -a=(-a1,-a2,…,-an). Арифметическому вещественному пространству А1, А2,…,Аn можно придать геометрический смысл, если арифм. вектор – упорядоченный набор чисел, представить геом. вектором плоскости, прямой, пространства, заданным своими координатами в некоторой системе координат (n=2, объекты – пары чисел, n=3– тройки чисел).
Пусть пространство V над полем Р. Рассмотрим совокупность векторов а1, а2, …,акÎV.
S=(а1, а2, …,ак)
Опр. Линейной комбинацией вект-в а1, а2, …,ак наз. вектор, представленный выражением: l1a1,l2a2,…,lкaк, liÎР. li – коэффициенты. Линейная комбинация всегда Î простр-у V.
Пр-р:: А3={(a1,a2,a3), aiÎR } над R
а1=(0,2,-3), а2=(1,1,-1), а3=(5,0,2), а4=(0,0,-4)
l1=1, l2=-1, l3=0, l4=1/2; l1а1+l2а2+l3а3+l4а4=(-1,1,-4)
Опр. Совокупность векторов S=(а1, а2, …,ак)– линейно зависима«$l1,l2,…,lк, liÎРi:
1) линейная комбинация l1а1+l2а2+…+lкак=0
2) (l1,l2,…,lк)¹(0, 0,0,…,0)– не все коэффициенты li =0
Опр. Совокупность векторов (а1, а2, …,ак) наз.линейнонезависимой «l1а1+l2а2+…+lкак=0®l1=l2=…=lк=0
Пр-р: 1. V2– пр-во геометрич. векторов плоскости1) S=(а,в)– лин. независ.
2) S=(а,в)– лин. завис.
3) S=(а,в,с)– лин. завис., в=l1а+l2с, l1а-в+l2с=0
2. А3: а1(1,-1,2), а2(0,1,-2), а3(-1,-1,3),. Составим лин. комбинацию с неизвестными коэффициентами и приравняем к 0: l1(1,-1,2)+l2(0,1,-2)+l3(-1,-1,3)=(0,0,0)
(l1-l3, -l1+l2-l3, 2l1-2l2+3l3)=(0,0,0).
l1-l3=0 Зад-а свелась к реш-ю
-l1+l2-l3=0 однород-й с-мы уравнений,
2l1-2l2+3l3=0 кот-я всегда совместна,
либо у нее единственное решение – нулевое, либо бесконечное множ-во реш-ий
1 0 -1 |0 r=3, n=3 ед. реш-е l1=l2=l3=0
0 1 -2 |0 вывод: совокупность
0 0 1 |0 век-в лин. независима
Т.. Совокупность векторов S= (а1, а2, …,ак) – линейно зависима«когда хотя бы 1 из векторов м.б. выражен в виде лин. комбинации остальных.
1ч. Пусть S– лин. зависима®$l1,l2,…,lк, liÎR; l1а1+l2а2+…+lкак=0 и допустим li ¹0
а1=-(l2/l1) а2 – (l3/l1) а3 – …–(lk/l1) аk
2ч. Пусть, к-л. из векторов представляет линейную комбинацию остальных
а1=b2а2+b3а3+…+bкак; а1–b2а2 –b3а3–…–bкак=0
Коэффициенты при а1=1® вся совокупность линейно зависима.
Свойства линейной зависимости:
1) Совокупность, содержащая 0 -вектор, лин. независима.
S= (0,а1, а2, …, ак); 0= 0×а1+ 0×а2+ …+0×ак
2) Если некоторое подмножество векторов совокупности S образует линейнозависимую совокупность, то и вся совокупность S линейнозависима.
S= (а1, а2, …, ак1,…,at); S¢ÌS, S¢=(а1, а2, …,ак)– лин.зависима.
(l1,l2,…lк)¹(0,0,…,0); l1а1+l2а2+…+lкак+0×ак+1+…+0×аt=0
3) Если совокупность S= (а1, а2, …,at) – лин. независима, то "подмножество этой системы представляет собой линейнонезависимое подмножество.
4) (это свойство касается арифмет. в-в.)
Совокупность векторов а1=(a11;a12;…;a1r;…;a1n);a11¹0;a2=(0;;a22;…;a2r; …;a2n); a22¹0; a3=(0; 0;a33;…;a3r;…;a3n); a33¹0; ar=(0; 0;…;arr;arn); arr¹0;
S= (а1, а2, …, аr)– совок. векторов ступенч. вида. Совокупность арифметических векторов в ступенчатом виде линейнонезависима.
Док-во: l1а1+l2а2+…+lrаr=0; рассмотрим равенство по компанентам: l1a11=0; Т.к. a11¹0; то l1=0; l1a12+l2a22=0Þт.к. a22¹0; то l2=0; l1=l2=…=lr=0
Базис. Пусть имеется векторное пространство V над Р. Рассмотрим совокупность векторов пространства S=(а1, а2, …,ак).
Опр. Базисом совокупности векторов S называется максимальная линейно независимая подсистема векторов совокупности S, т.е. это подмножество совокупности S, обладающее двумя свойствами:1) это подмножество есть линейно независимая совокупность векторов; 2)" векторов совокупности S представляет лин. комбинацию векторов в этом подмножестве.
Пр-р: S: а1=(2,-1,3), а2=(1,-1,-1), а3=(3,-3,5), а4=(6,-5,7). Найти базис, т.е. максимально линейно независимую подсистему. Эти векторы можно истолковать как геометрические векторы трехмерного пространства." четверка векторов в трехмерном пространстве лин. зависима и не может служить базисом.
S¢=(а1, а2)– лин.независима, т.к. лин. завис-ть проявляется в пропорциональ-и компонент. Рассмотрим совокупность: (а1, а2,а3).
(3,-3,5)=l1(2,-1,3)+l2(1,-1,-1);
2l1+l2= 3 l1+l2= 3
l1-l2= -3 l2= 3
3l1-l2=5 0×l2= 8
– система несовместна. Не $ l1,l2: а3=l1а1+l2а2. Ответ: тройка векторов (а1, а2,а3)– лин.независимый базис.
Совокупность векторов может иметь несколько базисов. Проверить будет ли базисом (а1, а2,а4). Векторное пространство представляет из себя бесконечную совокупность векторов и для него можно ввести понятие базиса.
Опр. Базисом векторного пространства V называется такая конечная упорядоченная совокупность векторов е1, е2,.., еn, которые линейно независимы, и каждый вектор пространства представляет из себя линейную комбинацию е1,е2,ек.
Т. о базисах. " 2 базиса одной и той же совокупности векторов, состоят из одинакового количества векторов.
Док-во: сначала док-ем ЛЕММУ. Пусть имеется совок-ть векторов S1=(а1,а2…, аm), S2=(в1, в2…, вк), m>k. И каждый вектор большей совокупности S1 выражается через линейную комбинацию векторов меньшей совокупности. В этом случае S1 лин.зависима.
а1=l11в1+l12в2+…+l1kвk
а2=l21в1+l22в2+…+l2kвk
…………………………
аm=lm1в1+lm2в2+…+lmkвk.Составим лин. комбинациюю и приравняем ее к 0:
a1a1+a2a2+…+amam=0; a1(l11в1+l12в2+…+l1kвk) + a2(l21в1+l22в2+…+l2kвk) + … + am (lm1в1 + lm2в2 + … + lmkвk) =(0,0,0,….,0).
(l11a1+l12a2+…+lm1am) в1+(l12a1+l22a2+…+lm2am)в2+…+ (l1kв1+ l2kв2 + … +lmkвm) вk=0. (1)
Приравниваем каждый из коэффициентов вi к нулю:
l11a1+l12a2+…+lm1am=0
l12a1+l22a2+…+lm2am=0 (2)
l1ka1+l2ka2+…+lmkam=0
(надо доказать, что среди a есть отличные от 0)
Линейная комбинация (1) =0. Неважно линейно зависима или независима сов-ть векторов в1, в2, вk. Если потребовать, чтобы коэффиц-ты лин.комбинации были =0, мы получим 0-вектор.это приводит нас к однородной системе лин уравнений (2), в которой a1,a2,…,an – неизвестные. Эта сис-ма имеет бесконечное множество решений, т.к. число ур-ий k<числа неизвестных m. Значит есть ненулевое решение (a1,a2,…,am). Т.е. совокупность векторов (а1,а2,…,аm) – линейнозависима.
Док-во о базисах: пусть имеются 2 базиса одинаковой совокупности S:
Б1=(а1,а2 …аm),Б2=(в1,в2 …вk). Доказать m=k.
1) m>k. Т.к. Б2–базис, то по определению каждый вектор совокупности S можно выразить через векторы Б1 в виде линейной комбинации Б2. по лемме Б1– линейно зависим, что противоречит условию (Б1– базис)
2) m<k (ан-но); 3) остается m=k.
Базис арифметич. пространства состоит из n векторов
е1=(1,0,0,…0),
е2=(0,1,0,…0), – стандартный базис
……………
en=(0,0,0,…1),
Пр-р: R3 –трехмерное пространство. R3(a1, a2, a3), aiÎ R3 над R.
Пр-р ы базисов в этом пространстве:
е1=(1,0,0) в1=(1,0,-1)
Б1= е2=(0,1,0) Б2= в2=(2,-1,2)
е3=(0,0,1), в3=(3,-1,1)
l1в1+l2в2+l3в3=0
l1+2l2=0
-l2-l3=0 Þ l2=l3
-l1+2l2+l3=0 Þ l1=l3
-l3-2l3=0Þ - 3l3=0 Þl1=0, l3=0, l2=0 Эта система век-ов лин. независима.
Опр. Координаты вектора а в базисе е1, е2,.., еn наз. коэффиц. разложения вектора а по векторам базиса: а = l1е1, l2е2,.., lnеn; а=(l1, l2,.., ln){ei}
Пр-р: найти координаты вектора а в {e}
а =(2,3,-1) е1=(1,-1,0)
е2=(1,2,3) а=a1 е1, a2 е2, a3 е3
е3=(0,1,-1)
a1+a2=2 1 1 0 2 a3= 3
-a1+2a2+a3=3 -1 2 1 3 Þ a2= 2/3
3a2-a3= -1 0 3 -1-1 a1= 4/3
Ответ: а= (4/3, 2/3, 3) {e}
Пр-р: Дана совокупность векторов: а1=(2,-2,3), а2=(3,-1,-1), а3=(1,1,-4), а4=(5,1,-9). Найти базис, выразить векторы не вышедшие через базис.
Составим матрицу из компонент векторов, будем приводить к ступенчатому виду и указывать все операции, производимые над векторами.
а3 1 1 -4 1 1 -4 а3
а1 2 -2 3 ® 0 -4 11 а1+(-2) а3
а2 3 -1 -1 0 -4 11 а2+(-3) а3 ®
а4 5 1 -9 0 -4 11 а4+(-5) а3
1 1 -4 а3
0 -4 11 а1-2а3+ а2-3а3- а1+2а3=0 (1)
® 0 0 0 а4-5а3-а1+2а3=0 (2)
0 0 0
Rang A=2
В качестве базиса можно взять те строки, кот. в ступенчатой форме матрицы остались ненулевыми: а1,а3 – базис.
Остальные строки а2, а4 выразим через (1) и (2)а2= а1+а3, а4= а1+3а3. размерность = 2 (количество векторов, входящих в базис)
Опр. Количество векторов, входящих в базис некоторой сов-ти векторов, наз-ся рангом некоторой сов-ти век-ов.