Чётные и нечётные функции

ЕГЭ. Профильный уровень. Задание 18

Свойства функций в задачах с параметрами

Часть 1

Дихтярь М.Б.

Область определения функции: D (f)

Определение. Областью определения функции называется множество всех действительных значений независимой переменной х, для каждого из которых функция принимает действительные значения.

	функция	Область определения
	1 /u

		, v
	arcsinu
	arccos u
	arctg u
	arcctg u

таблица 1.

1. Найдите все значения параметра а, при которых область определения функции (1)не содержит двузначных натуральных чисел.

Решение. Очевидно, , .

1. Область определения функции, если , найдём из неравенства

Итак, область определения функции (1) состоит из всех х и а, удовлетворяющих неравенству

, где , (2).

2. Найдём множество решений неравенства (2) и определим, какие

значения параметра а удовлетворяютусловию задачи.

Замечание.

Если на множестве Х функции и одновременно возрастают или убывают, то .

Если на множестве Х одна из функций или возрастает, а другая убывает, то .

1) Пусть . Так как функция если , убывает, а функция возрастает, то

Так как неравенство квадратное, коэффициент при положительный и , и так как , то множеством решений этого неравенства является множество , где . Это множество содержит двузначные натуральные числа.

2) Пусть Так как функции , если , возрастают, то

Рассмотрим неравенство

, где , (3)

а) Пусть . Множеством решений неравенства (3) является интервал где , который ни при каких значениях не содержит двузначные натуральных чисел.

б) Пусть . Тогда неравенство (3) принимает вид , так как последнее неравенство не имеет решений, то удовлетворяет условию задачи.

в) Пусть . Множеством решений неравенства (3) является интервал где . Интервал где , не содержит двузначные натуральных чисел только, если

Ответ. .

Использование области определения функции для решения уравнений, неравенств, систем уравнений

Определение. Областью допустимых значений (ОДЗ) уравнения

(неравенства, системы уравнений, системы неравенств) называется множество таких значений переменной, для которой определена каждая функция, входящая в уравнение (неравенство, систему уравнений, систему неравенств).

2. Решите уравнение .

Решение. ОДЗ уравнения (1) задаётся системой неравенств

(Отметим: из неравенства следует, что )

Так как последняя система не имеет решений, то ОДЗ уравнения пустое множество, а тогда уравнение (1) не имеет решений.

Ответ. Решений нет.

3. Решите уравнение 2 .

Решение. 1. Область определения функции задаётся системой неравенств

Так как в область определения функции входят только то корнями уравнения (1) могут быть только

2. Рассмотрим исходное уравнение при

1) Пусть Тогда уравнение (1) принимает вид

Итак, если , то корнем уравнения (1) является .

2) Пусть Тогда уравнение (1) принимает вид

Итак, если , то корнем уравнения (1) является .

Ответ. если ; если ;

не имеет решений, если .

4. Решите уравнение

Решение. Отметим: функция определена, если .

Замечание.

ОДЗ уравнения (1) задаётся системой неравенств:

Из неравенства следует, что Тогда последняя система равносильна двойному неравенству где .

Итак, ОДЗ уравнения (1) состоит из , где .

Так как то из замечания следует, что уравнение (1) равносильно системе

Итак, корнем уравнения является где .

Ответ. если ; нет корней, если

5. Решите неравенство .

Решение. 1. ОДЗ неравенства (1) задаётся системой неравенств

Рассмотрим систему (2) при различных значениях параметра а.

1) Если , то система (2) принимает вид

Итак, если то в ОДЗ неравенства (1) входит только

2) Если то . Тогда система (2) принимает вид

Итак, если то в ОДЗ неравенства (1) входит только

3) Если то . Тогда система (2) принимает вид

Итак, если то ОДЗ неравенства (1) состоит из .

2. Рассмотрим неравенство (1) при различных значениях параметра а.

1) Если и то неравенство (1) не имеет решений, так как оно принимает вид

2) Если и то неравенство (1) принимает вид

Итак, является решением неравенства (1), если

3) Если , где то неравенство (1) не имеет решений, так как , а (так как , где ).

Ответ. если ; нет решений, если

6. Решите систему уравнений

Решение. 1. Рассмотрим первое уравнение системы (1).

Область определения функции задаётся двойным неравенством

Так как область определения функции содержит только то решением первого уравнения системы (1), а значит и системы (1), может быть только

Отметим:

Если , то первое уравнение системы (1) принимает вид

Итак, , где удовлетворяют первому уравнению системы (1).

2. Второму уравнению системы (1) удовлетворяют , , если

Итак, если , то , удовлетворяют и первому, и второму уравнениям системы (1). Это означает, что решением системы (1) является пара , если .

Ответ. , если ; нет решений, если .

Область значений функции :

Определение. Множество всех значений функции , если аргумент х принимает каждое значение из области определения функции, называется областью значений (множеством значений) функции

	Функция	Область определения	Область значений
	arcsin х
	arccos х
	arctg х
	arcctg х
	где
	где

8.

таблица 2.

7. Решите уравнение .

Решение. 1. Пусть Так как областью значений функции является отрезок , то

Имеем

Итак, решениями уравнения (1) являются

2. Определим, при каких значениях параметра а совпадают Имеем

Итак, если , то Легко проверить, что при решением уравнения (1) является

Ответ. Решений нет, если если

8. Решите уравнение .

Решение. Имеем

1.Пусть где Тогда имеем

2. Рассмотрим уравнение

Дискриминант квадратного уравнения равен

1) Пусть Уравнение (3) имеет корень двойной кратности, равный если . Так как то является и корнем уравнение (2).

Найдём корень уравнение (1) при , если Имеем

Итак, если , то является корнем уравнения (1).

2) Пусть Уравнение (3), если , имеет два разных корня: .

Определим, при каких значениях параметра а числа принадлежат отрезку т.е. являются корнями уравнения (2).

а) Если то

Итак, если , то является корнем уравнения (3).

Найдём корень уравнение (1), если . Имеем

Итак, если , то является корнем уравнения (1).

б) Если то

Итак, если , то является корнем уравнения (3).

Найдём корень уравнение (1), если . Имеем

Итак, если , то является корнем уравнения (1).

Если , то корни уравнения (1) не совпадают, так как функция на отрезке возрастает и .

3) Пусть Уравнение (3), если а значит и исходное уравнение, не имеет корней.

Из 1) – 3) следует ответ.

Ответ. Корней нет, если

, если

если ;

, если .

9. Решите уравнение

Решение. Пусть .

Итак, получили, что .

Имеем

Последняя система не имеет решений, так как и не удовлетворяют неравенству .

Ответ. Решений нет, если

Нахождение множества значений функции:

Метод оценки

10. Найдите при различных значениях параметра а множество значений функции .

Решение. Область определения функции – интервал

Имеем

Оценим

Очевидно,

Рассмотрим функцию при различных значениях параметра а.

а) Пусть Тогда для любого

Итак, если то

б) Пусть Тогда

Итак, если то для любого Это означает, что

в) Пусть Тогда

Итак, если то для любого Это означает, что

Ответ. Если то

если то если то

Графический метод

11. Найдите при различных значениях параметра а множество значений функции .

Решение. Построим график функции при различных значениях параметра а.

Областью определения функции является интервал

Так как функция чётная, то множество значений функции на интервале совпадает с множество значений этой функции на промежутке

Исследуем функцию если

Имеем

Найдём производную функции . Имеем

Итак,

Из уравнения найдём критические точки при различных значениях параметра а, если

а) Пусть Тогда

Так как и то уравнение имеет два корня: Очевидно,

Критическая точка разбивают промежуток на промежутки . На рисунке 1 указаны знаки функции на каждом промежутке. Из рисунка 1 делаем вывод: функция возрастает на отрезке и убывает на промежутке .

Найдём значение функции в точках .

Строим график функции , если

Из рисунка 2 делаем вывод: если то .

б) Пусть

Так как и то уравнение имеет единственный корень который не является критической точкой.

На промежутке производная отрицательная, поэтому на этом промежутке функция убывает.

Строим график функции , если

Из рисунка 3 делаем вывод: если то .

Ответ. Если то

если то

3. Рассматриваем функцию как параметр

Для того чтобы найти множество значений функции , надо определить при каких значениях у и а имеет решение уравнение . Если для параметра уравнение имеет решение при любом то если

12. Найдите при различных значениях параметра а множество значений функции .

Решение. 1. Имеем

Если уравнения и (3) не имеют общих корней, то система (1) и уравнение (2) равносильны.

Уравнения (2) и (3) имеют общие корни при тех значениях параметра а, при которых имеет решения система двух уравнений с двумя неизвестными и а

Итак, если то уравнения (2) и (3) имеют общий корень. Это означает, что система (1) и уравнение (2) не равносильны, если . Если то система (1) и уравнение (2) равносильны.

2. Найдём множество значений исходной функции при различных значениях параметра а.

Если то исходная функция принимает вид

Итак, если то где Тогда

Пусть

Множество значений исходной функции, при некотором значении параметра совпадает с множеством значений при которых уравнение имеет решение, если

1) Если то уравнение (4) является линейным уравнением

Итак, при любом множеству значений исходной функции принадлежит .

2) Если то уравнение (4) является квадратным уравнением относительно х. Тогда уравнение (4) имеет решение, если дискриминант уравнения неотрицательный, то есть, если