Методические указания и контрольные задания
по курсам «Метрология, стандартизация и сертификация»,
«Метрология и измерительная техника», «Метрология»
для студентов заочной формы обучения
специальностей 220301.65 «Автоматизация технологических процессов и производств (в машиностроении)», 140211.65 «Электроснабжение»
и направлений 220400.62 «Управление в технических системах»,
220700.62 «Автоматизация технологических процессов и производств» и
140400.62 «Электроэнергетика и электротехника»
Курган 2013
Кафедра автоматизации производственных процессов
Дисциплина: «Метрология, стандартизация и сертификация»
«Метрология и измерительная техника»
«Метрология»
Составила: канд.техн.наук, доцент О.В. Дмитриева
Утверждено на заседании кафедры «03 » октября 2013г.
Рекомендовано методическим советом университета «___» _________ 2013г.
Содержание
| Введение ………………………………………………………………...……...... | |
| 1. Расчет погрешностей средств измерений …………………..……………….. | |
| 2. Влияние методических погрешностей на результаты измерений ………..… | |
| 3. Обнаружение и исключение систематических погрешностей ………..….. | |
| 4. Вероятностное описание случайных погрешностей ……..…………..…… | |
| 5. Грубые погрешности и методы их исключения ……………………………... | |
| 6. Обработка результатов прямых многократных измерений……………….... | |
| 7. Прямые однократные измерения…………………………………………..…. | |
| 8. Обработка результатов косвенных измерений……………………………….. | |
| 9. Порядок выполнения задания | |
| Список литературы……………………………………………………………….. |
Введение
Для целей исследования и оценивания погрешность описывается с помощью определенной модели (систематическая, случайная, методическая, инструментальная и т.д.). На выбранной модели определяют характеристики, пригодные для количественного выражения тех или иных ее свойств. Задачей обработки данных при измерениях является нахождение оценок этих характеристик.
Модель погрешности выбирается исходя из сведений об источниках ее возникновения как априорных, так и полученных в ходе измерительного эксперимента. Для систематических погрешностей справедливы детерминистские модели, при которых систематическая погрешность может быть представлена постоянной величиной, либо известной зависимостью. Общей моделью случайной погрешности служит случайная величина, обладающая функцией распределения вероятностей.
Для обеспечения единообразия представления результатов и погрешностей измерений показатели точности и формы представления результатов измерений стандартизированы. Обработке подвергают принципиально неточные данные, и точность методов обработки должна быть согласована с требуемой точностью результата измерения и точностью исходных данных.
Распространенной ошибкой при оценивании результатов и погрешностей измерений является вычисление их и запись с чрезмерно большим числом значащих цифр. Необходимо помнить, что поскольку погрешности измерений определяют лишь зону недостоверности результатов, т.е. дают представление о том, какие цифры в числовом значении результата являются сомнительными, погрешности не требуется знать очень точно. Для технических измерений допустимой считается погрешность оценивания погрешности в 15…20%. Стандартом установлено, что в численных показателях точности измерений (в том числе и в погрешности) должно быть не более двухзначащих цифр.
1. Расчет погрешностей средств измерений
Погрешность результата измерений в значительной мере зависит от погрешности средств измерений, являющейся важнейшей составляющей, от которой зависит качество измерений.
Технические характеристики, оказывающие влияние на результаты и на погрешности измерений, называются метрологическими характеристиками средств измерений. В зависимости от специфики и назначения средств измерений, нормируются различные наборы или комплекты метрологических характеристик. Метрологические характеристики средств измерений используются для определения результата измерений и расчетной оценки характеристик инструментальной составляющей погрешности измерений, расчета метрологических характеристик каналов измерительных систем и оптимального выбора средств измерений.
Инструментальная погрешность измерения – погрешность из-за несовершенства средств измерений. Эта погрешность в свою очередь обычно подразделяется на основную погрешность средств измерения и дополнительную.
Основная погрешность средства измерений – это погрешность в условиях, принятых за нормальные, т.е. при нормальных значениях всех величин, влияющих на результат измерения (температуры, влажности, напряжения питания и др.):
Δ=а или Δ=(а+bх), (1.1)
где Δ и х выражаются в единицах измеряемой величины.
Дополнительная погрешность возникает при отличии значений влияющих величин от нормальных. Различают отдельные составляющие дополнительной погрешности, например, температурную погрешность, погрешность из-за изменения напряжения питания и т.п.
Пределы допускаемых дополнительных погрешностей устанавливают в виде дольного значения предела допускаемой основной погрешности для всей рабочей области влияющей величины или ее интервала, отношения предела допускаемой дополнительной погрешности, соответствующей интервалу величины, к этому интервалу, либо в виде зависимости предела, допускаемой относительной погрешности от номинальной или предельной функции влияния. Пределы всех основных и дополнительных допускаемых погрешностей выражаются не более чем двумя значащими цифрами, причем погрешность округления при вычислении пределов не должна превышать 5 %.
Абсолютной погрешностью прибора называется разность между показанием прибора и действительным значением измеряемой величины:
, (1.2)
где Хп - показания прибора; Х – действительное значение измеряемой величины.
Поправкой прибора называется разность между действительным значением измеряемой величины и показанием прибора. Численно поправка равна абсолютной погрешности, взятой с обратным знаком:
=-ΔХ. (1.3)
Относительная погрешность средств измерений - погрешность средств измерений, выраженная отношением абсолютной погрешности к действительному значению физической величины, в пределах диапазона измерений:
. (1.4)
Приведенная погрешность средств измерений - относительная погрешность, определяемая отношением абсолютной погрешности измерительного прибора к нормирующему значению. Нормирующее значение - это условно принятое значение, равное или верхнему пределу измерений, или диапазону измерений, или длине шкалы и т. д. Например, для милливольтметра термоэлектрического термометра с пределами измерений 200 и 600 ° С нормирующее значение ХN = 4000С. Приведенную погрешность можно определить по формуле:
. (1.5)
где Хn — нормирующее значение.
Например, значения абсолютной, относительной, приведенной погрешности потенциометра с верхним пределом измерений 150 °С при ХN =120°C, действительным значением измеряемой температуры Х =120,6 °С и нормирующим значением верхнего предела измерений X n = 150 °С будут, соответственно, составлять ΔX п = - 0,6°С, δХ = - 0,5 %, γ= - 0,4 %.
Предел допускаемой погрешности средств измерений - наибольшая погрешность средств измерений, при которой оно может быть признано годным и допущено к применению. В случае превышения установленного предела средство измерений остается непригодным к применению.
Пределы допускаемой приведенной основной погрешности, определяемой по формуле (1.5):
, (1.6)
где p - отвлеченное положительное число, выбираемое из ряда: 1,0·10 n; 1,5·10 n; 1,6·10 n; 2·10 n; 2,5·10 n; 3·10 n; 4·10 n; 5·10 n; 6·10 n (где п =1; 0; -1; -2 и т.д.).
Для средств измерений, используемых в повседневной практике, принято деление по точности на классы.
Класс точности средств измерений - обобщенная характеристика средств измерений, определяемая пределами допускаемых основных и дополнительных погрешностей, а также другими свойствами средств измерений, влияющими на точность, значения которых устанавливаются в стандартах на отдельные виды средств измерений.
Класс точности средств измерений характеризует их свойства в отношении точности, но не является непосредственным показателем точности измерений, выполненных с помощью этих средств.
Классы точности устанавливаются стандартами, содержащими технические требования к средствам измерений, подразделяемым по точности. Средства измерений должны удовлетворять требованиям, предъявляемым к метрологическим характеристикам, установленным для присвоенного им класса точности как при выпуске их из производства, так и в процессе эксплуатации.
Обозначения классов точности наносятся на циферблаты, щитки и корпуса средств измерений, приводятся в нормативно-технических документах.
Пример 1.1
Десять одинаковых осветительных ламп соединены параллельно. Ток каждой лампы Iл = 0,3 А. Определить абсолютную и относительную погрешности амперметра, включенного в неразветвленную часть цепи, если его показания I1 = 3,3 А.
Решение
1. Ток в неразветвленной части цепи 
.
2. Абсолютная погрешность 
.
3. Относительная погрешность 
.
Задачи
1. Температура в термостате измерялась техническим термометром со шкалой (0…500) °С, имеющим пределы допускаемой основной погрешности ±4 °С. Показания термометра составили 346 °С. Одновременно с техническим термометром в термостат был погружен лабораторный термометр, имеющий свидетельство о поверке. Показания лабораторного термометра составили 352 °С, поправка по свидетельству составляет -1 °С. Определите, выходит ли за пределы допускаемой основной погрешности действительное значение погрешности показаний технического термометра.
2. Было проведено однократное измерение термоЭДС автоматическим потенциометром класса 0,5 градуировки ХК со шкалой (200…600) °С. Указатель остановился на отметке 550 °С. Оцените максимальную относительную погрешность измерения термоЭДС потенциометром на отметке 550 °С. Условия работы нормальные.
3. Определить относительную погрешность измерения напряжения 100 В вольтметром класса точности 2,5 на номинальное напряжение 250 В.
4. Амперметр с верхним пределом измерения 10 А показал ток 5,3 А при его действительном значении, равном 5,23 А. Определить абсолютную, относительную и относительную приведенную погрешности амперметра, а также абсолютную поправку.
5. При поверке амперметра с пределом измерения 5 А в точках шкалы: 1; 2; 3; 4 и 5 получены следующие показания образцового прибора: 0,95; 2,06; 3,05; 4,07 и 4,95. Определить абсолютные, относительные и относительные приведенные погрешности в каждой точке шкалы и класс точности амперметра.
6. При поверке технического амперметра получены следующие показания приборов: поверяемый амперметр: 1 – 2 – 3 – 4 – 5 – 4 – 3 – 2 – 1, образцовый амперметр: ход вверх l,2 – 2,2 – 2,9 – 3,8 – 4,8; ход вниз 4,8 – 3,9 – 2,9 – 2,3 – 1,1. Найти абсолютную и относительную приведенную погрешности, а также вариации показаний прибора. Определить, к какому классу точности его можно отнести.
7. Определить относительную погрешность измерения напряжения, если показание вольтметра класса 1,0 с пределом измерения 300 В составило 75 В.
8. Определить абсолютную и относительную погрешности измерений, если вольтметр с пределом измерений 300 В класса 2,5 показывает 100 В.
9. Поверка вольтметра методом сравнения с показаниями образцового прибора дала следующие результаты:
| Образцовый прибор, V | Поверяемый прибор, V | |
| при увеличении | при уменьшении | |
| 1,020 | 1,025 | |
| 1,990 | 2,010 | |
| 2,980 | 2,990 | |
| 3,975 | 3,980 | |
| 4,950 | 4,975 |
Определить наибольшую относительную приведенную погрешность и класс точности.
10. Для измерения напряжения используются два вольтметра: V1(U ном=30 B; Кv= 2,5) и V2(U ном=150 В;Kv=1,0). Определить, какой вольтметр измеряет напряжение точнее, если первый показал 29,5 В, а другой - 30 В.
11. В цепь током 15 А включены три амперметра со следующими параметрами: класса точности 1,0 со шкалой на 50 А, класса 1,5 на 30 A и класса 2,5 на 20 А. Определить, какой из амперметров обеспечит большую точность измерения тока в цепи.
12. Имеются три вольтметра: класса 1,0 номинальным напряжением 300 В класса 1,5 на 250 В и класса 2,5 на 150 В. Определить, какой из вольтметров обеспечит большую точность измерения напряжения 130 В.
13. Показания амперметра I 1=20 А, его верхний предел I н=50 А; показания образцового прибора, включенного последовательно, I =20,5 А. Определить относительную и приведенную относительную погрешности амперметра.
14. Определить относительную погрешность измерения тока 10 А амперметром с I н = 30 А класса точности 1,5.
15. При измерении мощности ваттметром класса точности 0,5, рассчитанным на номинальную мощность Рн=500 Вт записано показание Р1=150 Вт. Найти пределы, между которыми заключено действительное значение измеряемой мощности.
16. Сопротивления включены по схеме, изображенной на рисунке 1.1. Ток в неразветвленной части цепи I =12 А, в сопротивлениях I 1=3 А; I 2=5 А. Чему равны абсолютная и относительная погрешности амперметра, указанного на схеме, если его показания I 3=3,8 А?
R1
R2
R3
Рис.1.1. Схема измерения тока
2. Влияние методических погрешностей на результаты измерений
Методическая погрешность – погрешность измерения, происходящая из-за несовершенства метода измерений. Эта погрешность может возникать из-за принципиальных недостатков используемого метода, из-за неполноты знаний о происходящих при измерении процессах, из-за неточности применяемых расчетных формул. Методическая погрешность может и должна быть оценена только самим экспериментатором с учетом конкретных условий эксперимента.
Пример 2.1
Оценить погрешность измерения мощности методом двух приборов (рис.2.1).
а) б)
Рис.2.1. Схема измерения мощности: Iа – ток, измеряемый амперметром; Iн – ток, протекающий через сопротивление нагрузки; Iv – ток, протекающий через вольтметр; Рн - действительное значение измеряемой мощности.
Решение
Измеренное значение в случае а)
Р=IнU=Iн (Uн+Uа) =IнUн+IнUа=Pн+IнUа.
Абсолютная погрешность DР=Р-Рн= Pн+IнUа -Pн= IнUа.
Относительная погрешность
dР1=(Dр/Рн)·100% =(IнUа/ IнUн)·100%=(Uа/ Uн)·100%=
=(IнRа)·100% /(IнRн)= (Rа/ Rн)·100%.
dР1 ® 0 при Rа ® 0 или Rн® ¥.
Измеренное значение в случае б):
Р=IUн=(Iн +Iv)Uн=IнUн+IvUн=Pн+IvUн.
Абсолютная погрешность Dр=Р-Рн= Pн+IvUн -Pн= IvUн.
Относительная погрешность
dР2=(Dр/Рн)·100% = (IvUн/ IнUн)·100% = (Iv/ Iн)·100% =
=(Uн/Rv)·100% /(Uн/Rн)= (Rн/ Rv)·100%.
dР2® 0 при Rн ® 0 или Rv® ¥.
dР1=dР2 Þ Rн/ Rv= Rа/ Rн Þ Rн= 
.
При Rа=0,002 Ом; Rv=1000 Ом; Rн =1,41 Ом; dр=0,14%.
Пример 2.2
Еx
Rv
Ri
Рис.2.2.Схема измерения напряжения
Оценить систематическую погрешность измерения ЭДС Еx источника, обусловленную наличием внутреннего сопротивления вольтметра. Внутреннее сопротивление источника напряжения R i =50 Oм; сопротивление вольтметра R v =5 кОм; показание вольтметра U =12,2 В.
Решение
Ток в измеряемой цепи можно определить по формулам:
или 
Здесь 
и относительная систематическая погрешность 
.
Это достаточно ощутимая погрешность и ее следует учесть введением поправки. Поправка Ñ равна погрешности, взятой с обратным знаком.
Ñ=0,99·10-2·12,2=+0,12 В.
Е x =12,2+0,12=12,32 В.
Полученная оценка имеет погрешность из-за погрешностей в определении показаний вольтметра (личная или субъективная погрешность), а также из-за инструментальной погрешности вольтметра. Эта погрешностью при введении поправки не исключается и называется неисключенным остатком систематической погрешности.
Личные систематические погрешности связаны с индивидуальными особенностями наблюдателя. Для уменьшения этого вида погрешностей надо точно соблюдать правила эксплуатации средств измерений и иметь навыки работы с измерительной техникой.
Задачи
1. Элемент, ЭДС которого равна 1,5 В, а внутреннее сопротивление R 0=0,2 Ом, замкнут на внешнее сопротивление R =14,8 Ом. Определить, чему будет равна относительная погрешность при расчете тока в цепи, если внутренним сопротивлением элемента пренебречь. Как изменится относительная погрешность, если при прочих равных условиях внешнее сопротивление вместо 14,8 станет равным 0,3 Ом?
2. Какова относительная погрешность измерения ЭДС генератора, изображенного на рисунке 2.3., при измерении ее вольтметром с сопротивлением 10 кОм? Внутреннее сопротивление генератора Rя = 0,2 Ом.
|
|
|
Рис.2.3. Схема измерения ЭДС генератора
3. С помощью амперметра с внутренним сопротивлением R А измерено значение тока, протекающего через резистор R, подключенный к источнику напряжения с внутренним сопротивлением R i.Определить относительную систематическую погрешность δ I измерения тока, вызванную сопротивлением амперметра.
4. Амперметр сопротивлением r А=0,01 Ом и вольтметр сопротивлением r V=25 Ом применяются в схеме для измерения сопротивления якоря электродвигателя. Составить схему измерения методом амперметра и вольтметра, а также определить приближенное и точное значение сопротивления и относительную погрешность, допускаемую при определении сопротивления по приближенной формуле, если наиболее вероятные значения тока и напряжения, полученные в результате повторных измерений, следующие: I =8,5 A, U =1,25 В.
5. Определить относительную погрешность измерения сопротивления последовательной обмотки возбуждения электродвигателя, если ток I =1,1 A, напряжение U =33 мВ, сопротивление амперметра 0,1 Ом, милливольтметра 10 Ом. Составить схему измерения.
6. Для измерения сопротивления r =200 Ом используются амперметр сопротивлением r А=0,05 Ом, вольтметр сопротивлением r V=10 кОм. Какая из двух схем (рис.2.4,а и б) измерения сопротивления методом амперметра и вольтметра дает меньшую погрешность измерения?
а) б)
рис.2.4. Схема измерения сопротивления
7. Для определения ЭДС генератора к его зажимам присоединен вольтметр сопротивлением R v= 1200 Ом. Внутреннее сопротивление генератора R я= 0,6 Ом. Какую ошибку мы допускаем, считая показание вольтметра равным ЭДС генератора?
8. При измерении напряжения на нагрузке сопротивлением 7 Ом вольтметр показал 13,5 В. ЭДС источника Е =14,2 В, а его внутреннее сопротивление R 0=0,1 Ом. Определить абсолютную и относительную погрешности измерения.
9. По схеме амперметра и вольтметра измеряется сопротивление нагрузки r Н. За измеренное значение принимается сопротивление, найденное по закону Ома. Определить, какая из схем дает большую погрешность, если известно, что ток I н= 5 А, напряжение U н=120 В, r v=20 кОм, r А=0,01 Ом. Составить схемы измерения.
10. При измерении сопротивления обмотки якоря методом амперметра и вольтметра применяемые приборы имели следующие показания: амперметр с пределом измерения 0,75 А - 90 делении; вольтметр с пределом измерения 7,5 В и сопротивлением 2,5 кОм - 113,5 делений. Шкалы обоих приборов имеют 150 делений. Составить схему измерения и определить сопротивление якоря.
11. В лаборатории при измерении двух сопротивлений методом амперметра и вольтметра применены: миллиамперметр с сопротивлением 10 Ом; вольтметр с сопротивлением 400 Ом. Показания приборов по схеме (рис.2.4,а) при измерении первого сопротивления были U 1=0,7 В, I 1=50 мА, а при измерении второго сопротивления соответствующие измерения дали U 2=1,32 В, I 2=26,5 мА; Определить значения сопротивлений и относительную погрешность измерения.
12. В лаборатории при измерении двух сопротивлений методом амперметра и вольтметра применены: миллиамперметр с сопротивлением 10 Ом; вольтметр с сопротивлением 400 Ом. Показания приборов по схеме (рис.2.4,б) U 1=0,2 В, U 2=1,05 В, токи I 1=50 мА, I 2=29 мА. Определить значения сопротивлений и относительную погрешность измерения.
3. Обнаружение и исключение систематических погрешностей
В зависимости от характера и причин появления погрешности измерений и средств измерений делят на систематические (детерминированные) и случайные (стохастические). Различают ещё грубые погрешности и промахи.
Систематическая погрешность – составляющая погрешности измерения, которая при повторении равноточных измерений неизменного размера остается постоянной или закономерно изменяется. Систематические погрешности могут быть изучены, при этом результат измерения может быть уточнен или путем внесения поправок, если числовые значения этих погрешностей определены, или путем применения таких способов измерения, которые дают возможность исключить влияние систематических погрешностей без их определения. Числовые значения систематических погрешностей определяются путем поверки средств измерений.
Систематическая погрешность считается специфической, “вырожденной” случайной величиной, обладающей некоторыми, но не всеми свойствами случайной величины, изучаемой в теории вероятностей и математической статистике.
При проведении измерений стараются в максимальной степени исключить или учесть влияние систематических погрешностей. Постоянная систематическая погрешность не устраняется при многократных измерениях. Для устранения постоянных систематических погрешностей применяют графические и специальные статистические методы. К последним относятся способ последовательных разностей, дисперсионный анализ и др.
Способ последовательных разностей (критерий Аббе) применяется для обнаружения изменяющейся во времени систематической погрешности и состоит в следующем. Дисперсию результата измерений можно оценить двумя способами – обычным:
(3.1)
и вычислением суммы квадратов последовательных (в порядке проведения измерений) разностей (xi+1-xi)2:
. (3.2)
Если в процессе измерений происходило смещение центра группирования результатов наблюдений, т.е. имела место переменная систематическая погрешность, то S2[х] дает преувеличенную оценку дисперсии результатов наблюдений. Это объясняется тем, что на S2[х] влияют вариации 
. В то же время изменения центра группирования весьма мало сказываются на значениях последовательных разностей 
поэтому смещения почти не отражается на значении Q2[х].
Отношение (3.3) является критерием для обнаружения систематических смещений центра группирования результатов наблюдений. Критическая область для этого критерия (критерия Аббе) определяется как Р(ν<νq)=q, где q=1-P – уровень значимости, Р - доверительная вероятность. Значения νq для разных уровней значимости q и числа наблюдений n приведены в таблице 3.1.
(3.3)
Если полученное значение критерия Аббе меньше νq ‚ при заданных q и n, то гипотеза о постоянстве центра группирования результатов наблюдений отвергается, т.е. обнаруживается переменная систематическая погрешность результатов измерений.
Таблица 3.1
Значения критерия Аббе
| n | νq при q, равном | n | νq при q, равном | ||||
| 0,001 | 0,01 | 0,05 | 0,001 | 0,01 | 0,05 | ||
| 0,295 0,208 0,182 0,185 0,202 0,221 0,241 0,260 0,278 | 0,313 0,269 0,281 0,307 0,331 0,354 0,376 0,396 0,414 | 0,390 0,410 0,445 0,468 0,491 0,512 0,531 0,548 0,564 | 0,295 0,311 0,327 0,341 0,355 0,368 0,381 0,393 | 0,431 0,447 0,461 0,474 0,487 0,499 0,510 0,520 | 0,578 0,591 0,603 0,614 0,624 0,633 0,642 0,650 |
Пример 3.1
Используя способ последовательных разностей, определить, присутствует ли систематическая погрешность в ряду результатов наблюдений, приведенных во втором столбце таблицы 3.2.
Таблица 3.2
Результаты наблюдений
| n | xi |
| 
| 
| 
|
| 13,4 | -0,1 | 0,01 | -0,6 | ||
| 13,3 | +1,2 | 1,44 | -0,7 | 0,49 | |
| 14,5 | -0,7 | 0,49 | +0,5 | 0,25 | |
| 13,8 | +0,7 | 0,49 | -0,2 | 0,04 | |
| 14,5 | +0,1 | 0,01 | +0,5 | 0,25 | |
| 14,6 | -0,5 | 0,26 | +0,6 | 0,86 | |
| 14,1 | +0,2 | 0,04 | +0,1 | 0,01 | |
| 14,3 | +0,3 | 0,09 | +0,3 | 0,09 | |
| 14,0 | +0,3 | 0,09 | 0,0 | 0,0 | |
| 14,3 | -1,1 | 1,21 | +0,3 | 0,09 | |
| 13,2 | - | - | -0,8 | 0,64 | |
| Σ 154,0 | -0,2 | 4,12 | 0,0 | 2,58 |
Для приведенного ряда результатов вычисляем:
среднее арифметическое 
=154,0/11=14;
оценку дисперсии S2[х]=2,58/10=0,258;
значение Q2[х]=4,12/(2·10)=0,206;
критерий Аббе ν=0,206/0,258=0,8.
Как видно из таблицы 3.1, для всех уровней значимости (q=0,001; 0,01 и 0,05) при n=11 имеем ν>νq, т.е. подтверждается нулевая гипотеза о постоянстве центра группирования. Следовательно, условия измерений для приведенного ряда оставались неизменными, и систематических расхождений между результатами наблюдений нет.
Задача
Используя способ последовательных разностей, определить, присутствует ли систематическая погрешность в ряду результатов наблюдений, приведенных в таблице 3.3.
Таблица 3.3
Результаты измерений
| № вари-анта | U, В | |||||||||||||||||||||||||||
| 12,38 | 11,97 | 12,34 | 11,46 | 11,75 | 12,05 | |||||||||||||||||||||||
| 11,88 | 11,81 | 14,05 | 12,33 | 12,45 | ||||||||||||||||||||||||
| 12,07 | 11,78 | 11,23 | 11,91 | 11,74 | ||||||||||||||||||||||||
| 12,91 | 12,88 | 12,99 | 13,09 | 13,33 | 13,43 | |||||||||||||||||||||||
| 13,72 | 13,06 | 12,76 | 13,23 | 10,57 | ||||||||||||||||||||||||
| 11,98 | 12,78 | 12,95 | 13,07 | 13,25 | ||||||||||||||||||||||||
| 3٭ | 14,38 | 14,44 | 14,32 | 14,21 | 13,78 | 14,22 | 13,59 | 14,21 | 13,77 | |||||||||||||||||||
| 13,88 | 14,01 | 13,67 | 14, 09 | 13,06 | 13,69 | 13,89 | 13,75 | |||||||||||||||||||||
| 4٭ | 14,88 | 14,43 | 15,79 | 14,66 | 15,34 | 14,99 | ||||||||||||||||||||||
| 15,21 | 16,98 | 15,57 | 14,69 | 15,32 | 15,27 | |||||||||||||||||||||||
| 15,36 | 14,45 | 14,79 | 15,37 | 15,01 | ||||||||||||||||||||||||
| 16,31 | 16,02 | 15,58 | 15,88 | 15,92 | 16,01 | 15,88 | 15,82 | 15,94 | ||||||||||||||||||||
| 16,69 | 16,09 | 15,97 | 15,94 | 16,01 | 16,04 | 15,69 | 15,87 | |||||||||||||||||||||
| 6٭ | 17,09 | 17,35 | 17,34 | 16,99 | 16,85 | 17,21 | 17,11 | 16,44 | ||||||||||||||||||||
| 17,22 | 16,81 | 17,72 | 17,15 | 17,25 | 17,89 | 17,13 | 17,09 | |||||||||||||||||||||
| 18,11 | 18,21 | 18,32 | 18,41 | 17,88 | 17,67 | 17,79 | ||||||||||||||||||||||
| 17,91 | 17,67 | 18,25 | 18,32 | 15,44 | 17,98 | 18,44 | ||||||||||||||||||||||
| 18,24 | 18,12 | 18,28 | 18,22 | 17,93 | 17,86 | |||||||||||||||||||||||
| 19,09 | 19,03 | 18,77 | 18,98 | 18,75 | 19,36 | |||||||||||||||||||||||
| 18,66 | 16,88 | 18,71 | 19,61 | 19,49 | 19,22 | |||||||||||||||||||||||
| 18,83 | 18,79 | 19,29 | 19,74 | 19,33 | ||||||||||||||||||||||||
| 9٭ | 19,98 | 19,89 | 20,03 | 20,14 | 20,28 | 19,84 | 20,08 | 20,23 | ||||||||||||||||||||
| 19,99 | 19,83 | 20,33 | 20,11 | 19,76 | 22,16 | 20,41 | 20,77 | |||||||||||||||||||||
| 21,09 | 20,87 | 21,33 | 21,34 | 21,21 | 20,09 | |||||||||||||||||||||||
| 21,04 | 21,24 | 21,24 | 21,22 | 21,19 | 21,41 | |||||||||||||||||||||||
| 21,13 | 20,67 | 20,94 | 21,12 | 21,19 | ||||||||||||||||||||||||
| 22,12 | 22,28 | 22,44 | 24,06 | 21,75 | 21,32 | |||||||||||||||||||||||
| 21,88 | 21,81 | 22,33 | 22,45 | 22,02 | 21,97 | |||||||||||||||||||||||
| 21,91 | 22,07 | 22.34 | 21,74 | 21,46 | 21,32 | |||||||||||||||||||||||
| 22,75 | 22,87 | 22,29 | 23,43 | 23,33 | ||||||||||||||||||||||||
| 23,72 | 23,06 | 23,23 | 20,57 | 22,96 | ||||||||||||||||||||||||
| 22,98 | 21,99 | 27,07 | 23,25 | 23,09 | ||||||||||||||||||||||||
| 24,38 | 23,96 | 23,59 | 23,75 | 24,07 | ||||||||||||||||||||||||
| 24,29 | 24,35 | 23,97 | 26,05 | 23,77 | ||||||||||||||||||||||||
| 23,78 | 23,69 | 24,21 | 23,93 | 24,44 | ||||||||||||||||||||||||
| 14٭ | 25,79 | 24,93 | 25,03 | 24.88 | 25,29 | 25,11 | 24,99 | 24,79 | ||||||||||||||||||||
| 25,02 | 25,06 | 24,95 | 25,13 | 26,98 | 24,68 | 25,08 | 25,03 | |||||||||||||||||||||
| Продолжение табл.3.3 | ||||||||||||||||||||||||||||
| 28,88 | 25,82 | 25,87 | 25,97 | 26,55 | 26,11 | 26,31 | 26,09 | 25,88 | ||||||||||||||||||||
| 25,69 | 25,92 | 25,94 | 24,09 | 26,02 | 26,88 | 26,69 | 25,58 | |||||||||||||||||||||
| 27,09 | 26,77 | 27,22 | 26,93 | 24,69 | 26,44 | 26,96 | 26,85 | |||||||||||||||||||||
| 26,91 | 26,89 | 26,76 | 27,72 | 27,22 | 27,08 | 26,81 | 27,09 | |||||||||||||||||||||
 17
| 28,24 | 27,88 | 28,85 | 25,43 | 27,67 | 27,86 | 28,44 | 28,22 | ||||||||||||||||||||
| 28,32 | 28,12 | 27,93 | 28,41 | 28,32 | 28,21 | 28,11 | 27,91 | |||||||||||||||||||||
| 29,74 | 28,83 | 28,66 | 29,03 | 29,29 | 28,71 | 29,61 | 29,33 | 29,36 | ||||||||||||||||||||
| 28,98 | 29,09 | 28,79 | 26,88 | 28,77 | 28,75 | 29,49 | 29,22 | 28,77 | ||||||||||||||||||||
| 19٭ | 29,88 | 29,99 | 30,11 | 30,34 | 30,28 | 30,33 | 30,06 | 32,16 | ||||||||||||||||||||
| 30,12 | 30,01 | 29,95 | 29,78 | 30,05 | 30,12 | 30,13 | 30,03 | |||||||||||||||||||||
| 20٭ | 31.113 | 31,27 | 31,20 | 31,19 | 30,52 | 31,17 | 31,23 | 31,07 | 31,18 | |||||||||||||||||||
| 31,25 | 31,01 | 30,24 | 30,66 | 30,48 | 31,33 | 30,09 | 28,76 | 31,12 | ||||||||||||||||||||
4. Вероятностное описание случайных погрешностей
Когда при проведении в одинаковых условиях повторных измерений одной и той же постоянной величины получаем результаты, отличающиеся друг от друга, это свидетельствует о наличии в них случайных погрешностей. Эта погрешность возникает вследствие одновременного воздействия на результат многих случайных возмущений и сама является случайной величиной. Для установления вероятностных (статистических) закономерностей появления случайных погрешностей и количественной оценки результата измерений и его случайной погрешности используются методы теории вероятностей и математической статистики.
Для характеристики свойств случайной величины в теории вероятностей используют понятие закона распределения вероятностей случайной величины. В метрологии преимущественно используется дифференциальная форма – закон распределения плотности вероятностей случайной величины.
Рассмотрим формирование дифференциального закон