МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ
и задания к расчетно-графической работе по теме:
Пределы последовательностей и функций
для студентов всех специальностей
Уфа 2010
УДК 378.147.88:517
ББК 74.58:22.1
М 54
Рекомендовано к изданию методической комиссией Факультета
механизации сельского хозяйства
(протокол № 2010 год)
Составители:
ст. преподаватель О.В. Захарова
доцент Э.Ф. Калимуллина
Рецензент:
доцент кафедры теоретической и прикладной механики
Р.Г. Ахмаров
Ответственный за выпуск:
зав. кафедрой математики
Р.Л. Лукманов
Введение
Цель настоящих методических указаний - оказать помощь студентам в самостоятельном изучении темы «Пределы последовательностей и функций», выполнении расчетно-графической работы, подготовке к экзамену или зачету. В соответствии с этим, в указаниях приводятся некоторые теоретические сведения, показано решение типичных примеров. В конце методических указаний имеются варианты расчетно-графических заданий по теме «Пределы последовательностей и функций», которые могут быть использованы на всех факультетах БГАУ.
Все задачи расчетно-графической работы разбиты на 15 серий. Студент группы номер l,имеющий вариант i из серии номер k, решает задачу, номер которой определяется последней строкой таблицы, которая заполняется следующим образом. В первой строке таблицы записаны номера серий. Во второй - записаны значение выражения i+lk, а в третьей - номер задачи из k -той серии, который равен числу i+lk, если оно не превосходит 20, и остатку от деления этого числа на 20,в противном случае. Заполним, к примеру, таблицу при l =3 (3 группа) и i =14 (14 вариант)
Таблица. Выбор варианта.
| k | |||||||||||||||
| i+lk | |||||||||||||||
| Номер задачи в серии |
Некоторые теоретические сведения
Число 
называется пределом последовательности x1,х2,…,xn, если для всякого сколь угодно малого положительного числа 
найдется такое положительное число N, что 
при 
. В этом случае пишут: 
.
Число А называется пределом функции 
при 
, если для любого сколь угодно малого 
найдется такое 
, что 
при
. Это записывают так: 
Аналогично 
, если 
при 
.
Условно записывают 
, если 
при , где М - произвольное положительное число. В этом случае функция называется бесконечно большой при .
Если 
, то функция 
называется бесконечно малойпри .
Практическое вычисление пределов основывается на следующих теоремах.
Если существуют 
и 
, то
1) 
;
2) 
;
3) 
4) 
(при 
).
Путем элементарных рассуждений, основанных на свойствах пределов, можно получить следующие наиболее часто встречающиеся пределы (постоянная 
):
1) 
2) 
3) 
4) 
5) 
6) 
7) 
8) 
Замечание: В пунктах 7, 8 при 
переменная 
может принимать только целочисленные значения, для всех значений при функция 
не определена
9) 
10) 
Используются также следующие пределы:
(первый замечательный предел);
(второй замечательный предел)
Функция 
называется непрерывной в точке , если:
1) эта функция определена в некоторой окрестности и точки ;
2) существует предел 
;
3) этот предел равен значению функции в точке , т.е. 
.
При нахождении пределов часто используется тот факт, что все основные
элементарные функции непрерывны при всех значениях x, для которых они определены.