Рассмотрим задачи на установления числа корней уравнения.

Пример 1. При каких значениях параметра, а уравнение 2 cos²x – (2а + 9)cosx + 9а = 0 не имеет корней.

Решение. Пусть у = cosх, тогда исходное уравнение примет вид 2у² – (2 а + 9)у + 9а = 0, корни которого у₁ = а, у₂ = 4,5. Уравнение cosх = 4,5 корней не имеет, а уравнение cosх = а не имеет корней, если > 1.

Ответ: (- ; -1) (1; ).

Пример 2. Найдите все значения параметра а, при которых уравнение не имеет корней.

Решение. Данное уравнение равносильно системе: .

Уравнение не имеет решения в двух случаях: а = и

Ответ: .

Пример 3. При каких значениях параметра а уравнение имеет единственное решение?

Решение. Решение уравнения может быть единственным только, если х = 0. Если х = 0,то а² -1 = 0, и а = 1.

Рассмотрим 2 случая:

1) если а = 1, то х² - = 0 – корней три;

2). Если а = -1, то то х² + = 0, х = 0 - единственный корень.

Пример 4. При каких значениях параметра а уравнение имеет 2 корня?

Решение. Данное уравнение равносильно системе: . Выясним, когда квадратное уравнение х² – х – а = 0 имеет 2 неотрицательных корня.

Полученное уравнение имеет два корня, если 1+ 4а > 0; они неотрицательны, если

0 > а > - .

Ответ: (- ; 0].

Решение задач с параметрами может существенно облегчить использование графиков.

Пример. Решите уравнение в зависимости от параметра а: .

Решение. Понятно что при а 0:

.

Все ли корни подходят. Чтобы это выяснить, построим график функции а = .
Количество корней можно увидеть на рисунке:

1. если а < 0, то корней нет;
2. если а = 0 и а > 0, то 2 корня.

Найдем эти корни.

При а = 0 получим х² – 2х – 3 = 0 и х₁ = -1, х₂ = 3; при а > 4 это корни уравнения х² – 2х – 3 – а = 0.

Если 0< а < 4 – все 4 корня подходят.

Если а = 4 – три корня:
Ответ: 1) если а < 0, то корней нет;

2) если а = 0, то х₁ = -1, х₂ =3;

3) если 0 < a < 4, то х_1,2,3.4 = 1 ;

4) если а = 4, то х₁ = 1; х_2,3 = 1 ;

5) если а > 4, то х_1,2 = 1 .

Решим неравенства

Пример 1

Найти все значения параметра а, при каждом из которых для любого значения х выполняется неравенство

│3sin²x + 2asinx ∙ cosx + cos²x + a│≤ 3,

Решение:

Заданное неравенство эквивалентно системе неравенств

Используя тождество sin² + cos² =1, запишем систему в виде

Последняя система имеет решение для любого х, если

Если а = 0, то система также разрешима для любого х.

Ответ:

Пример 2

Найти наибольшее значение параметра b, при котором неравенство

имеет хотя бы одно решение.

Решение:

При b< 0 неравенство не имеет смысла.

При b=0 неравенство верно при всех допустимых значениях х

Рассмотрим случай b >0.

Умножим обе части неравенства на -1, получим

Так как b >0, разделим обе части неравенства на b

Заметим, что выражение в правой части принимает значения от 0 до .

Оценим выражение в левой части неравенства.

Пусть , (х-4)² = а. Рассмотрим функцию f(a) = , a ≠ 0

f '(a) = . Найдем точки, в которых производная равна 0.

= 0

a =

Следовательно, a = является точкой минимума функции.

f() = = 2t.

Так как, выражение в правой части принимает значения от 0 до , то исходное неравенство имеет хотя бы одно решение при 0 < 2t ≤ , а наибольшее значение выражение 2t принимает в случае равенства .

2t = t =

Так как , b = .

Ответ:

Тестовый контроль

1 вариант	2 вариант
1) Решите уравнение: 0 · х = а Ответы: а) при а ≠ 0, х = 1, при а = 0, х R б) при а = 0, х R, при а ≠ 0 корней нет в) при а = 0 нет корней, при а ≠ х =	1) Решить уравнение: а х = а. Ответы: а) при а ≠ 0, х = 1, при а = 0, х R б) при а = 0, х R, при а ≠ 0 корней нет в) при а = 0 нет корней, при а ≠ х =
2) Решит уравнение: (в – 2)·х = 5 + в. Ответы: а) при в = 2 нет корней; при в ≠2, х = ; б) при в = -2 нет корней, при в ≠-2 х = в) при в = -1 нет корней, при а ≠ - 1	2) Решите уравнение (в + 1)·х = 3 – в. Ответы: а) при в = 2 нет корней; при в ≠2, х = ; б) при в = -2 нет корней, при в ≠-2 х = в) при в = -1 нет корней, при а ≠ - 1
3) При каких значениях параметра с уравнение имеет бесконечное множество решений? с·(с + 1)·х = с2 – 1. Ответ: а) при с = -1, х R, б) при с = 2, х R, в) при с = - 1, х R,	3) При каких значениях параметра с уравнение имеет бесконечное множество решений? (с2 – 4)·х = (с – 2)·(с+ 1). Ответ: а) при с = -1, х R, б) при с = 2, х R, в) при с = - 1, х R,
4) При каких значениях параметра m уравнения не имеет решений? . Ответы: а) при m = 6 нет корней; б) при m = 7 нет корней; в) при m = 8 нет корней.	4) При каких значениях параметра m уравнения не имеет решений? . Ответы: а) при m = 6 нет корней; б) при m = 7 нет корней; в) при m = 8 нет корней.
5) Решить уравнение . Ответы: а) при а = 0 нет корней, при а ≠ 0 х = ; б) при а = 0 нет корней, при а ≠ 0 х = ; в) при а = 0 нет корней, а ≠ 0 х = - 2а.	5) Решить уравнение . Ответы: а) при а = 0 нет корней, при а ≠ 0 х = ; б) при а = 0 нет корней, при а ≠ 0 х = ; в) при а = 0 нет корней, а ≠ 0 х = - 2а.
6) При каких значениях параметра n уравнение имеет один корень? nх2 + 4х + (5 – n) = 0. Ответы: а) при n = 0 х =1, при n = 2 х = 2, при n =2 х = ; б) при n = 0 х = - , при n = 1 х = 2, при n = - 4 х = ; в) при n= 0 х = - , при n = 1 х = - 2, при n =4 х = - .	6) При каких значениях параметра n уравнение имеет один корень? nх2 + 4х + (3 + n) = 0. Ответы: а) при n = 0 х =1, при n = 2 х = 2, при n =2 х = ; б) при n = 0 х = - , при n = 1 х = 2, при n = - 4 х = ; в) при n= 0 х = - , при n = 1 х = - 2, при n =4 х = - .