ДУДЧЕНКО А.А.
ТЕКСТ ЛЕКЦИЙ ПО КУРСУ
«ОПТИМАЛЬНОЕ ПРОЕКТИРОВАНИЕ КОНСТРУКЦИЙ»
СЕМЕСТР 1
ОПТИМАЛЬНОЕ ПРОЕКТИРОВАНИЕ ЭЛЕМЕНТОВ АВИАЦИОННЫХ КОНСТРУКЦИЙ ИЗ КОМПОЗИЦИОННЫХ МАТЕРИАЛОВ
Основные этапы проектирования
Тема 1 1.1. Введение (2 ч.)
Оптимизация любого создаваемого проекта является основной целью при разработке конкретного объекта, который при своем функционировании удовлетворяет определенным требованиям и ограничениям. На примере создания такой сложной конструкции как летательный аппарат, полная оптимизация включает в себя проектно-конструкторские разработки, изготовление экспериментальной партии аппаратов, проведение полного объема прочностных и летных испытаний, изготовление серийных изделий, их эксплуатация [1,2,3,4,5]. Как видно из перечисленных факторов, при решении задачи оптимизации в полном объеме, оценка эффективности проводится в стоимостном исчислении. Такая задача является сложной, и в полной мере может быть оценена после начала эксплуатации техники. В то же время результаты оптимизации на разных этапах разработки могут оцениваться в других единицах. Это относится к конструкции планера летательного аппарата, оптимум для которой оценивается минимумом ее массы, что приносит выигрыш в стоимости эксплуатации.
Рассматриваемый курс посвящен изучению расчетных методов проектирования при создании оптимальных по массе конструкций. В этом случае оптимальной будет считаться конструкция минимальной массы, удовлетворяющая всем прочностным и жесткостным ограничениям, конструктивно-технологическим требованиям и условиям эксплуатации. В настоящее время разработано достаточно большое количество методов оптимального проектирования и здесь будут рассмотрены только некоторые из них. Особое внимание будет обращено на применение многослойных волокнистых композиционных материалов в элементах силовых конструкций.
Появление новых классов композиционных материалов и постоянное стремление к расширению применения их в конструкциях различного назначения требует развитие и совершенствование методов по прогнозированию свойств композитов и методам расчета оптимальных конструкций из них. Замена традиционных конструкционных материалов композитами связано со спектром положительных механических, технологических и эксплуатационных качеств. Все эти качества, в отличии то свойств изотропных материалов, дают возможность регулировать механические, динамические и эксплуатационные характеристики конструкции за счет изменения состава, концентрации и взаимного расположения армирующих элементов. Все это позволяет получать конструкции, в которых учитывается ее назначение, технология изготовления, условия эксплуатации. Это означает, что конструкция и материал создаются в технологическом процессе одновременно. Необходимо отметить, что уровень оптимального проектирования определяется уровнем достижений механики композиционных материалов и конструкций из них, то есть в области моделирования физико-механических свойств, методов расчета предельных состояний по прочности, устойчивости, динамики и методов оптимизации. Оптимальное проектирование конструкций (ОПК) находится на стыке механики конструкций и теории оптимального проектирования, и включает в себя все понятия и методы, используемые в изученных курсах механики деформированного тела.
Тема 2 1.2. Параметрический анализ массы конструкции. (2 ч.)
Проектирование сложных систем требует больших вычислений и начальных данных для этого процесса. Проектирование систем может быть сформулировано как проблемы оптимизации, когда в этом процессе все параметры удовлетворяются всем ограничениям и условиям. Проектирование есть итеративный процесс, который должен быть правильно организован. Рассмотрим процесс проектирования в развитии по шагам [6].
Первый шаг в этом процессе связан с точным определением всех начальных параметров и составлением полной спецификации проектируемой системы. При этом проводится сравнение и анализ всех имевших место прототипов системы, без чего нельзя сделать следующий шаг.
Второй шаг в этом процессе является важным, он предполагает создание первоначальной конструкции системы. При этом должны быть изучены различные системы. Так как это должно быть сделано за определенно короткое время, то создается несколько высоко идеализированных моделей, которые нуждаются в дальнейшем анализе.
Третий шаг в этом процессе несет детализацию конструкции для всех подсистем предыдущего шага. После этого должны быть выбраны численные величины параметров, чтобы рассматриваемая система могла быть изготовлена с учетом минимального значения стоимости.
Последующие шаги (четвертый и пятый) не обязательны во всех случаях проектирования. Они необходимы, когда проектируемые системы связаны с массовым производством продукции или ее использование связанно с сохранением человеческих жизней (например, авиация). В этом случае, используется итерационный процесс, пока не будет создан окончательный вариант. Этот процесс может занимать от нескольких дней до нескольких месяцев на современном уровне развития.
Начало работам по созданию оптимальных конструкций положили работы Галилея и Лагранжа. Галилей ввел понятие и условие «равнопрочности» конструкций, когда усилия в элементах будут одинаковыми. Как оказалось, это условие обеспечивает минимум веса конструкций для статически определимых стержневых систем. Лагранж поставил, и решил задачу об отыскании оптимального изменения формы по длине стержня и определении минимальной массы стержня, работающего на устойчивость при заданной нагрузке. Поскольку число проектных переменных в конструкции может быть достаточно большим, то цели и задачи ОПК заключаются в отыскании таких проектных параметров, для которых один из показателей качества принимает экстремальное значение, а все другие не выходят за допустимые значения.
Полная задача оптимального проектирования конструкций может включать в себя этапы разработки конструкций, технологии производства, изготовления и испытания, условия эксплуатации и др. Поэтому результат работы состоит из многих отдельных факторов и может выражаться в денежном исчислении. Здесь будет рассмотрена только частная задача поиска конструкции минимальной массы. Рассмотрим простейший пример проектирования [6].
Пример. Найти минимальную площадь (стоимость, вес) топливного бака цилиндрической формы. Необходимо спроектировать конструкцию цилиндрического бака, закрытого по концам приваренными плоскими днищами, с фиксированным объемом жидкости V. Вес пустого бака зависит от площади используемого металла. Толщина металла h определится из расчета на прочность, и влияет на массу бака косвенным путем. Варьируемым параметром в этой задаче, влияющими на площадь поверхности бака, являются радиус R и высота емкости H.
Запишем общую площадь поверхности бака А, с учетом площади плоских днищ
A=2πR²+2πRH. (а)
С учетом толщины металла весовая функция, которую можно назвать целевой функцией, имеет вид F=hρ(2πR²+2πRH), где ρ - плотность металла (h и ρ не являются варьируемыми параметрами). Объем бака V связан с геометрическими параметрами как:
V=πR²H. (в)
Оба варьируемых параметра должны лежать в пределах: R min≤ R ≤ R max; H min≤ H ≤ H max, которые выбираются из конструктивно-технологических соображений. Эта задача решается следующим путем: достаточно найти только величину минимальной площади поверхности для заданного объема. Примем, что объем бака равен V =1м³, а ограничения лежат в пределах 0,4м≤ R ≤0,7м и 1м≤ H ≤2м. Используя формулы (а) и (в) можно построить графики H=H(R) и A=A(R,H) и определить оптимальные параметры бака, лежащие в пределах заданных ограничений (рис.1.1). Оптимальные значения параметров можно непосредственно найти, определяя экстремум для зависимости (а) по переменной R с учетом формулы (в) и при условии, что V =const, тогда формула (а) примет вид: A=2πR²+2V/R, а производная от нее по R даст выражение: ∂ A /∂ R =4π R -2 V / R ²=0 и величины оптимальных параметров примут значения: R =0,542м, H =1,0842м. Окончательные величины параметров выбираются с учетом размеров металлических листов и ограничений по габаритам бака.
Тема 3 1.3. Постановка задачи о проектировании конструкций минимальной массы (4 ч.)
Рассмотрим постановку задачи проектирования конструкций [7]. Она в своей основе, является вариационным процессом, связанным с поиском наилучшего результата из множества возможных решений. При этом к вопросу создания оптимальных конструкций можно подходить с разных точек зрения в зависимости от того, что принято за критерий оптимальности: масса аппарата или дальность полета, стоимость аппарата или какой-либо другой критерий. Если в этом перечне отдается предпочтение какому-нибудь одному критерию, то задача будет однокритериальной. При учете всех критериев одновременно задача проектирования будет многокритериальной. Здесь будем рассматривать только однокритериальные задачи проектирования конструкции минимальной массы.
Поиск оптимальной конструкции минимальной массы обычно начинается с анализа различных конструктивно-силовых схем проектируемого аппарата, используя для этой цели метод перебора, обычно сопровождаемого прочностными расчетами основных силовых элементов для определения необходимых геометрических характеристик поперечных сечений.
При предварительной проработке конструктивно-силовой схемы аппарата должно быть обращено особое внимание на работу каждого элемента или узла конструкции для получения от него максимальной несущей способности. Иными словами, при завязке конструкции и разработке ее силовой схемы надо стремиться к тому, чтобы каждый конструктивный элемент работал бы в условиях эксплуатации при наиболее высоких напряжениях, допускаемых для данного материала. Для достижения этого необходимо иметь четкое представление о предельной несущей способности каждого строительного элемента конструкции при том или ином силовом воздействии на него. Например, если взять распространенный конструктивный элемент – стержень, то он хорошо работает на растяжение, хуже – на изгиб и еще хуже - на устойчивость (если он имеет достаточную длину). В качестве второго примера можно указать различного рода оболочки вращения, которые хорошо работают на внутреннее давление и хуже – на внешнее. Более того, из всех наиболее распространенных форм оболочек, сферическая оболочка является наиболее рациональной для изготовления баков, нагруженных внутренним давлением. Сферические баки представляют собой равнопрочные конструкции в отличие от баков других геометрических форм. Надо также не забывать о том, чтобы силовая схема конструкции аппарата была бы по возможности простой, допускающей выбор простых и надежных расчетных схем. Чем проще силовая схема конструкции, тем надежнее она поддается расчету на прочность и, следовательно, более правильному назначению сечений элементов силовой схемы и более обоснованному выбору материалов для изготовления конструкции аппарата. В результате анализа конструктивно-силовых схем, с учетом всех ограничений по их работе и оценками по массам, для дальнейшей разработки обычно принимается одна из них как наиболее рациональная, отвечающая более полному комплексу требований, которая и подлежит дальнейшей оптимизации по распределению массы материала по элементам силовой схемы.
Для пояснения сказанного возьмем в качестве примера корпус или фюзеляж. С точки зрения строительной механики эти конструкции представляют весьма сложные тонкостенные пространственные системы. В данном случае процесс минимизации масс этих конструкций путем перебора будет состоять в расчете напряженного и деформированного состояния нескольких вариантов расположения продольно-поперечного силового набора с учетом работы обшивки при заданных расчетных нагрузках и сечениях силовых элементов и выбора из числа этих вариантов наиболее легкого и отвечающего требованиям прочности и жесткости. Этот анализ производится по всем расчетным случаям. В результате такого перебора приближенно удается отобрать наиболее рациональное расположение силовых элементов при наименьшей массе конструкции.
Другой путь создания конструкции минимальной массы состоит в минимизации функции массы, то есть выражения для массы в пределах принятой конструктивно-силовой схемы. В этом случае из-за сложности задачи конструкцию аппарата обычно расчленяют на отдельные отсеки, агрегаты и далее отдельные узлы и конструктивные элементы, которые затем подвергают оптимизации по массе. В функцию массы обычно вводят массы только основных силовых элементов, не усложняя ее массами сопутствующих деталей, массы которых назначают или по статике или подвергают самостоятельной оптимизации. Функция массы должна быть по возможности простой, сложные элементы конструкции целесообразно заменить более простыми, но эквивалентными по своему силовому назначению. То же самое следует сказать и относительно сложных видов нагружения. Например, одновременное нагружение корпуса сжимающей силой P и изгибающим моментом M можно заменить одной эквивалентной силой P, равной P=4M/D, где D – диаметр корпуса. В противном случае задача оптимизации может оказаться чрезвычайно сложной, и ее решение будет затруднено.
Одновременно с составлением функции массы надо подготовить формулы, связывающие искомые параметры конструкции с действующей на нее нагрузкой. Эти формулы включают необходимые ограничения по статической и динамической прочности для рассматриваемой конструкции. Наряду с этим необходимо иметь данные о разрушающих напряжениях элементов проектируемой конструкции: для элементов, работающих на растяжение, это будут пределы прочности и текучести, для тех элементов, разрушение которых связано с потерей устойчивости, надо иметь формулы для критических напряжений. Могут быть использованы и другие формулы, по которым определяются, например, жесткостные или динамические характеристики.
Математически всю процедуру оптимизации конструкции по массе можно представить в следующем виде.
Имеется функция n конструктивных искомых параметров (целевая функция):
m=m(x1,x2,...,xn) (1.1)
при наличии ограничений на эти параметры
fi(x1,x2,...,xn)=0 i=1,2,...,k; (1.2)
fg(x1,x2,...,xn) 
0 g≤1,2,...,p (1.3)
x1≥0, x2≥0,...,xn≥0 (1.4)
Всего ограничений k+p=l. Ограничения-равенства (1.2) могут представлять собой, например, уравнения равновесия, условия совместности деформаций, условия равнопрочности и так далее. Ограничения-неравенсва (1.3) представляют условия, выражающие требования по прочности, по жесткости и так далее. Неравенства (1.4) выражают требования не отрицательности, налагаемые по физическому смыслу на искомые параметры конструкции. Здесь k есть полное число огранивающих равенств и р – общее число ограничивающих неравенств.
Сделаем несколько замечаний для лучшего понимания модели проектирования:
1. Функции m(x), fi(x), fg(x) должны зависеть от нескольких или всех конструктивных переменных параметров. Функции, не зависящие от переменных параметров, не имеют отношение к задаче ОПК, и могут быть проигнорированы.
2. Количество независимых ограничивающих равенств должно быть меньше или равно наибольшему числу проектируемых параметров, то есть l≤n. Когда l>n, мы имеем переопределенную систему уравнений. При l<n оптимальное решение для задачи возможно. Если l>n, то задачу ОПК необходимо пересмотреть. Когда l=n, то решение задачи позволит получить предварительные параметры для оптимальной конструкции.
В самом общем случае функция массы (1.1), а также ограничения (1.2) и (1.3) могут быть записаны в алгебраической, интегральной или в дифференциальной форме.
В настоящее время имеется ряд достаточно хорошо разработанных математических методов исследования на экстремум функций многих переменных при наличии ограничений.
Если структура функции и структура ограничений (1.2), (1.3) линейны относительно искомых параметров, то к исследованию таких задач применяется метод линейного программирования. Если указанная линейность отсутствует, то к таким задачам применяют методы нелинейного программирования, среди которых можно назвать метод штрафных функций, метод неопределенных множителей Лагранжа, метод Монте-Карло, метод динамического программирования, геометрическое программирование и некоторые другие.
В задаче оптимального проектирования будем рассматривать оптимизацию только массовых характеристик планера летательного аппарата. Задача полной оптимизации создаваемой конструкции с учетом стоимости разработки, изготовления, эксплуатации здесь не ставится.
При создании новой конструкции проводится анализ массового совершенства, и проводится сравнение с существующими прототипами [1,2,3]. Сравнение двух сходных объектов становится достижимым в том случае, если они приведены к общим параметрам. В этом случае можно утверждать, что получившиеся отличия в величинах масс объясняются или характеристиками конструкционных материалов, или компоновкой изделия, или отличиями в технологии, или другими изменениями. Часто сложность сопоставления состоит в том, что для сравниваемых отечественных и зарубежных объектов информация не равноценна и по количеству и по содержанию.
При параметрическом анализе массы конструкции достаточно оценить изменения массы по изменению отдельных геометрических и конструктивных параметров. Параметрический анализ является эффективным и в том случае, когда необходимо прогнозировать массу проектируемой конструкции при наличии некоторого сходного прототипа. Для проведения параметрических анализов необходимо знание зависимостей масс частей конструкции от величин основных геометрических и физических параметров. Для самолетных конструкций основной характеристикой массы является взлетный вес, который в первом приближении определяется по формуле, которая, например, для коммерческих самолетов имеет вид:
m o=(m кр+ m ф+ m оп+ m с.у+ m с.н+ m об+ m т+ m к.н+ m ш) m п,
где - m кр – относительная масса крыла; m ф – относительная масса фюзеляжа; m оп – относительная масса оперения; m с.у – относительная масса силовой установки; m с.н - относительная масса служебной нагрузки; m об – относительная масса оборудования; m т – относительная масса топлива; m к.н – относительная масса коммерческой нагрузки; m ш – относительная масса шасси; m п – предполагаемая взлетная масса.
Для самолетных конструкций основными геометрическими и конструктивными параметрами являются удлинение и относительная толщина крыла, которые могут входить в слагаемые относительных масс конструктивных агрегатов планера (крылья, фюзеляж, хвостовое оперение). Оптимизация предполагаемой взлетной массы самолета, по параметрам удлинения и относительной толщины, позволяет определить в первом приближении оптимальные параметры крыла, которое является основным силовым агрегатом планера, а затем найти массу и геометрические параметры и других агрегатов.
После нахождения основных геометрических параметров летательного аппарата определяются аэродинамические нагрузки и их распределение по агрегатам, выявляются расчетные случаи, уточняются динамические характеристики, и строятся расчетные модели аэроупругости (флаттер, дивергенция, реверс элеронов и др.). Динамические расчеты ведутся аналитическими или численными методами. Кроме того, динамические характеристики аппарата уточняются при продувках в аэродинамических трубах и динамических испытаниях упругих моделях, размерно-подобных натурным изделиям. Все эти данные ложатся в основу при создании планера летательного аппарата.