Лекция III.
Преобразование схем электрических цепей.
Целью преобразования электрических цепей является их упрощение, это необходимо для простоты и удобства расчета.
Одним из основных видов преобразования электрических схем является преобразование схем со смешанным соединением элементов. Смешанное соединение элементов – это совокупность последовательных и параллельных соединений, которые и будут рассмотрены в начале данной лекции.
Последовательное соединение.
На рис.20 изображена ветвь электрической цепи, в которой последовательно включены сопротивления R1, R2,…,Rn. Через все эти сопротивления проходит один и тот же ток I. Напряжения на отдельных участках цепи обозначим через U1, U2,…, Un.
Рис.20. Последовательное соединение.
По второму закону Кирхгофа напряжение на ветви
U=U1+U2+…+Un= IR1+IR2+…+IRn=I (R1+R2+…Rn)=IRэкв. (23)
Сумма сопротивлений всех участков данной ветви
Называется эквивалентным последовательным сопротивлением.
Параллельное соединение.
На рис.21 изображена схема электрической цепи с двумя узлами, между которыми включено n параллельных ветвей с проводимостями G1, G2,…, Gn. Напряжение между узлами U, оно одинаково для всех ветвей.
Рис.21. Параллельное соединение (показать преобразованное).
По первому закону Кирхгофа ток общей ветви
I=I1+I2+…+In=G1U+G2U+…+GnU=U (G1+G2+…+Gn)=UGэкв. (24)
Сумма проводимостей всех ветвей, соединенных параллельно
называется эквивалентной проводимостью.
В случае параллельного сопротивления двух ветвей (n=2) обычно пользуются выражениями, в которые входят сопротивления 
и 
.
Эквивалентное сопротивление двух параллельно соединенных ветвей равно:
|
|
.
Смешанное соединение.
На рис.22 показано смешанное соединение электрической цепи:
Рис.22. Смешанное соединение.
Эта схема легко приводится к одноконтурной. Эквивалентировать схему обычно начинают с участков наиболее удаленных от входных зажимов. Для схемы рис.22 – это участок e-A. Сопротивления R5 и R6 включены параллельно, поэтому необходимо вычислить эквивалентное сопротивление данного участка по формуле
Для понимания полученного результата можно изобразить промежуточную схему (рис.23).
Рис.23
Сопротивления R3, R4 и R/экв. соединены последовательно, и эквивалентное сопротивление участка c-e-f-d равно:
Rэкв.=R3+ R/экв.+R4.
После этого этапа эквивалентирования схема приобретает вид рис.24.
Рис.24
Затем находим эквивалентное сопротивление участка c-d и суммируем его с сопротивлением R1. Общее эквивалентное сопротивление равно:
.
Полученное сопротивление эквивалентно сопротивлению (рис.25) исходной схемы со смешанным соединением. Понятие “эквивалентно” означает, что напряжение U на входных зажимах и ток I входной ветви остаются неизменными на протяжении всех преобразований.
Рис.25
Преобразование треугольника в эквивалентную звезду.
Преобразованием треугольника в эквивалентную звезду называется такая замена части цепи, соединенной по схеме треугольником, цепью, соединенной по схеме звезды, при которой токи и напряжения в остальной части цепи сохраняются неизменными.
Т.е., под эквивалентностью треугольника и звезды понимается то, что при одинаковых напряжениях между одноименными зажимами токи, входящие в одноименные выводы, одинаковы.
|
|
Рис.26. Преобразование треугольника в звезду.
Пусть R12; R23; R31- сопротивления сторон треугольника;
R1; R2; R3- сопротивления лучей звезды;
I12; I23; I31- токи в ветвях треугольника;
I1; I2; I3- токи, подходящие к зажимам 1, 2, 3.
Выразим токи в ветвях треугольника через подходящие токи I1, I2, I3.
По второму закону Кирхгофа сумма падений напряжений в контуре треугольника равна нулю:
I12R12+I23R23+I31R31=0
По первому закону Кирхгофа для узлов 1 и 2
I31=I12-I1; I23=I12+I2
При решении этих уравнений относительно I12 получим:
Напряжение между точками 1 и 2 схемы треугольника:
Напряжение между этими же точками схемы звезды равно:
U12=I1R1-I2R2.
Т.к. речь идет об эквивалентном преобразовании, то необходимо равенство напряжений между данными точками двух схем, т.е.
Это возможно при условии:
(25)
Третье выражение получено в результате круговой замены индексов.
Исходя из выражения (25) формулируется следующее правило:
Сопротивление луча звезды равно произведению сопротивлений сторон треугольника, прилегающих к этому лучу, деленному на сумму сопротивлений трех сторон треугольника.
Выше было получено выражение для тока в стороне 1-2 треугольника в зависимости от токов I1 и I2. Круговой заменой индексов можно получить токи в двух других сторонах треугольника:
