Введение
Цель работы: изучение методов определения фокусных расстояний линз и зеркал; наблюдение и оценка их аберраций
Широкое применение линз и сферических зеркал объясняется их свойством, при определенных условиях, превращать расходящиеся гомоцентрические пучки лучей в гомоцентрические сходящиеся пучки, т.е. давать изображения предмета, подобные объекту. Собирающие (рассеивающие) свойства линз и зеркал количественно описываются формулой зеркала и формулой линзы, которые легко получить из формулы преломляющей поверхности (1):
(1)
Здесь а1 – расстояние от источника света L до вершины S сферической поверхности радиусом R, разделяющей две среды с показателями преломления n1 и n2 (рис.1), а2 – расстояние от вершины до изображения источника света L¢.
n1 A n2
i
r
L S j C L¢
a1 a2
R
Рис.1
Видно, что положение изображения L¢, т.е. а2 – однозначно определяется через а1, n1, n2, R, т.е. точка изображается точкой. При выводе этой формулы принято следующее правило знаков: все расстояния отсчитываются от вершины поверхности S и считаются положительными по ходу луча. Если источник L расположен далеко от поверхности, т.е. а1 = ¥, лучи падают на сферическую поверхность параллельным пучкам, то
т.е. бесконечно удаленная точка изображается на постоянном расстоянии f2. Эта точка F2 называется задним фокусом преломляющей поверхности.
Если а2 = ¥,
то 
F1 - передний фокус, т.е. если светящаяся точка находится в переднем фокусе (слева на расстоянии f1 от вершины), то сопряженная ей точка – на бесконечности.
Формула сферического зеркала. Закон преломления легко превратить в закон отражения, если положить формально n2 = - n1. В этом случае формула преломляющейся поверхности (1) превращается в формулу сферического зеркала (рис.2).
|
|
 |
Y Y
C F Y' F C
Y'
Рис. 2
(2)
Видно, что передний и задний фокусы зеркала совпадают, а фокусное расстояние равно половине радиуса. Если обозначить 
, то формула сферического зеркала будет иметь вид:
.
Для вогнутого зеркала f > 0, для выпуклого f < 0 (фокус мнимый).
Формула тонкой линзы. Линза – тело из прозрачного хорошо преломляющего материала, ограниченное двумя центрированными сферическими поверхностями. Ниже будем рассматривать линзу с показателем преломления n, находящуюся в среде с показателем преломления n1.
При выводе формулы линзы можно воспользоваться общим приемом, применив формулу (1) преломляющей поверхности поочередно к левой, а затем к правой границам раздела сред, имея в виду, что изображение, даваемое первой границей, можно рассматривать как источник для второй (рис.3). Наиболее просто эта задача решается для тонкой линзы, когда вершины S1 и S2 обеих поверхностей можно считать совпадающими друг с другом в точке S – оптическом центре линзы, от которого в тонких линзах отсчитываются все расстояния (а1, а2, а, R1, R2). Нетрудно видеть, что, записав уравнение (1) для границ раздела (n1, n; R1) и (n, n1; R2), сложив их, получим формулу линзы:
(3)
норм.
n1
L C2 S1 S S2 C1 L¢ L2
R2 R1
a1 a2
a
Рис. 3
где 
- относительный показатель преломления среды и материала линзы.
Подобно тому, как это сделано для преломляющей поверхности, получим фокусные расстояния для линзы
|
|
(4)
т.е. фокусы тонкой линзы лежат симметрично по обе стороны от нее, если слева и справа от линзы среда одна и та же. Пользуясь соотношением (4) формулу линзы (3) можно записать в виде (2). Фокусное расстояние линзы f, или величина ему обратная 
, называемая оптической силой, являются главными величинами, характеризующими линзу. Формула (3) показывает, что тонкая линза, как и преломляющая, дает стигматическое изображение, т.е. является системой идеальной.
До сих пор речь шла об изображении точки, взятой на главной оси (оптической). Изображение ее тоже лежит на главной оптической оси. Поэтому и фокусы F1 и F2 называются главными фокусами. В отличие от главных фокусов иногда говорят о побочных фокусах, когда источник и его изображение лежат на побочной оси (побочная ось – любая прямая, проходящая через оптический центр). В теории тонких линз считается, что побочные фокусы расположены в плоскостях, проходящих через главные фокусы перпендикулярно главной оптической оси.
Построение изображений. Увеличение. Установленные выше понятия главной и побочной оптических осей, главных и побочных фокусов позволяют просто находить изображения в сферических зеркалах и тонких линзах. Рассмотрим пример (рис. 4):
Л
А
Y
B F S F B¢
Y¢
Рис. 4
Задана линза, т.е. ее оптический центр S и фокусы. Для построения изображения точки А нужно взять расходящийся из этой точки пучок лучей. Возьмем его так, что один из лучей пойдет параллельно главной оптической оси, за линзой он пойдет через задний фокус. Другим лучом может быть луч, идущий через передний фокус, а за линзой делающийся параллельным главной оптической оси. Пересечение двух лучей в точке А¢ и будет изображением точки А. Вместо одного из этих лучей можно взять также побочную ось АSА¢. Так как изображение подобно предмету, то изображение точки В будет на главной оптической оси в плоскости, проходящей через А¢.
|
|
На практике является важным понятие поперечного увеличения V^, т.е. отношения величины изображения Y¢ к величине предмета Y. Из рисунка 4 видно, что
(5)
Напомним, что при выводе формулы тонкой линзы предполагалось, что светящаяся точка испускает узкий приосевой пучок лучей (параксиальный, близкий к главной оптической оси) и что показатель преломления вещества линзы n постоянен. В этих предположениях тонкая линза описывается формулой (3), из которой следует однозначная зависимость а2(а1), т.е. стигматичность изображения; изображения предметов получаются геометрически подобными предмету. Однако, вышеуказанные допущения практически осуществить не удается хотя бы потому, что узкие параксиальные пучки несут мало света, светящиеся точки могут и не лежать вблизи главной оптической оси (а для объектов конечных размеров так будет всегда), вещество призмы обладает дисперсией, предметы имеют протяженность вдоль оптической оси. Все это приводит к астигматичности изображений в тонкой линзе: светящаяся точка изображается не точкой, а кружком рассеяния; поперечное увеличение также не остается постоянным - в целом изображение светящихся предметов получается геометрически не подобным предмету, а в белом свете еще и крашенным. Говорят, что линзы обладают аберрациями (погрешностями). Различают много видов аберраций, которые всегда, в общем, ухудшают качество изображений. Задачей практической оптики, с момента изобретения первых оптических инструментов (телескопа и микроскопа) является построение безаберрационных оптических систем. Комбинациями линз с различными оптическими свойствами и использованием диафрагм удается построить практически идеальные оптические системы.
Познакомимся с основными видами аберраций.
а) Сферическая аберрация – нарушает правильность изображения точек предмета, лежащих на оптической оси, при пользовании широким пучком лучей, т.е. при большом угле раскрытия линзы. Для исследования сферической аберрации можно взять удаленную точку S на оптической оси, т.е. рассмотреть параллельный (но широкий) пучок лучей, падающих на собирающую линзу (рис.5а).
2 2¢
1 1¢
1¢ S2 S1 1
2¢ 2
Рис. 5а.
Чтобы понять происхождение этого вида аберрации достаточно мысленно разделить линзу на призмочки сечениями перпендикулярными плоскости чертежа. Видно, что преломляющие углы призм будут увеличиваться от центра к переферии, а так как угловое смещение луча при прохождении через призму возрастает с увеличением ее преломляющего угла, то ясно, что приосевые лучи 11¢ пересекутся в точке S1, по определению называемой фокусом линзы, а лучи 22¢ удаленные от оси, попадая на призмы с большим преломляющим углом, сместятся и пересекут ось в точке S2. Изображение точки растягивается вдоль оси на расстояние
Пользуясь известным правилом знаков, считают аберрацию собирающих линз отрицательной (точка схождения удаленных от оси лучей находится между фокусом и линзой). Аналогично можно видеть, что рассеивающие линзы (рис.5,б) дают положительную сферическую аберрацию
Отсюда следует, что комбинацией собирающих и рассеивающих линз можно ликвидировать этот вид аберрации.
S1 S2
Рис. 5, б.
б) Астигматизм наклонных пучков. Даже узкие пучки лучей, но исходящие из точек, удаленных от оптической оси, не собираются в точку – наблюдается астигматизм наклонных пучков (рис.6).
ls
lm
L
Рис. 6
До преломления лучи исходят из точки L радиально, а волновые поверхности строго сферические. За линзой волновые поверхности деформируются (разные лучи пучка идут в линзе не симметрично), становятся поверхностями двоякой кривизны. Такая поверхность будет сходиться с различной скоростью во взаимно перпендикулярных направлениях и нигде за линзой не сойдется в точку. На некотором расстоянии от линзы она сойдется в узкую горизонтальную полоску lm, а далее в вертикальную полоску ls. Вообще же узкий наклонный пучок изобразится кружком рассеяния. Количественно аберрация астигматизма характеризуется астигматической разностью d, т.е. расстоянием между изображениями lm и ls.
в) Дисторсия. Это искажение изображения вызвано неодинаковостью поперечного увеличения в пределах поля зрения, оно приводит к искривлению линий в плоскости изображения (рис. 7)
 |
а б в
Рис. 7
Так, например, квадрат "а" изобразится в виде «подушки» "б", если поперечное увеличение растет с увеличением расстояния от оси системы, и в виде «бочки» "в", если увеличение уменьшается с удалением от оси.
г) Хроматическая аберрация является следствием дисперсии вещества линзы. Собирающие свойства линзы, т.е. ее фокусное расстояние, зависят от показателя преломления N по известному закону (4)
.
Стекла обладают заметной дисперсией n = n(l) и обычно показатель преломления фиолетовых лучей значительно больше показателя для красных лучей. Поэтому фиолетовые лучи, даже в линзе с исправленной сферической аберрацией, соберутся за линзой ближе, чем красные (рис.8)
 |
Fф Fк
Рис. 8
Изображение светящейся точки, испускающей белый свет, будет в виде окрашенного кружка рассеяния. Мерой хроматической аберрации является величина 
.
Экспериментальная часть
Приборы и принадлежности: оптическая скамья, линзы, экран, диафрагма, зеркало, предмет (стекло с сеткой), электрические лампочки на 220 В и на 6 В.
Задание 1. Определение фокусного расстояния собирающей линзы.
Фокусное расстояние собирающей линзы, f > 0, можно определить непосредственно из формулы
если известны расстояния а1 и а2. Тогда
(6)
Если к тому же неизвестны размеры предмета Y и его изображения Y¢, то из (5) и (6) получим
(7)
а) На оптической скамье собрать схему (слева на право): осветитель (лампа на 220В), предмет, линза, экран с миллиметровой бумагой.
б) Получив на экране изображение предмета, найти величины а1, а2, Y, Y¢ и записать в таблицу 1.
в) Рассчитать значение f.
Таблица 1
| № опыта | а1 | а2 | 
| Y | Y¢ | 
|
г) Повторить измерения для уменьшенного изображения.
д) Оценить погрешность измерений.
Задание 2. Определение фокусного расстояния вогнутого сферического зеркала
а) Так как формула зеркала и формула линзы тождественны, то можно определить фокусное расстояние вогнутого зеркала аналогично предыдущему способу.
Задание 3. Изучение основных погрешностей формирования изображений линз
Приборы и принадлежности: оптическая скамья, источники света (лампочки накаливания на 8 В), исследуемая (плосковыпуклая) и колиматорная линзы, набор кольцевых диафрагм с диаметрами D1 = 22мм, D2 = 70мм, D3 = 85мм, экран, предметы в виде сеток и креста, светофильтры.
а) Сферическая аберрация.
1. На оптической скамье собрать установку, состоящую из источника света (лампочка 8В), предмета (сетка), диафрагмы, исследуемой линза и экрана.
2. Поместить в держатель первую диафрагму с D1 = 22мм и добиться резкого изображения предмета на экране. Отметить расстояние а1 от предмета до линзы и от линзы до экрана а2. Данные записать в таблицу 2.
Таблица 2
| Диаметр диафрагмы | а1 | а2 | 
|
3. Не меняя расстояние а1 повторить измерения с диафрагмами больших диаметров.
4. Найти величину продольной сферической аберрации 
для данного расстояния предмета до линзы (i = 2, 3, 4, … - означает номер диафрагмы).
5. Построить график зависимости d от диаметров кольцевых зон, d(D).
б) Хроматическая аберрация
1. Собрать установку, состоящую из источника света (лампочка 8В), светофильтров, круглых диафрагм, исследуемой плосковыпуклой линзы, обращенной к диафрагме плоской стороной, экрана.
2. Получить на экране резкое изображение нити лампочки при самом малом отверстии диафрагмы.
3. Отметить положение экрана а2 на оптической скамье.
4. Повторить измерения пунктов 2 и 3 для разных светофильтров на держателе б. Данные занести в таблицу 3.
Таблица 3
| Светофильтр | Положение экрана, а2 | d |
| Красный Зеленый Голубой Фиолетовый |
Проанализировать результаты эксперимента, сделать вывод
в) Астигматизм.
1. Собрать установку, состоящую из источника света (лампочка 8В), коллиматорной линзы (F = 12 см), предмета в виде креста, исследуемой линзы и экрана.
2. Получить на экране резкое изображение креста.
3. Повернуть линзу вокруг вертикальной оси на угол 300 - 450. Перемещая экран, добиться резкого изображения сначала горизонтальной, а затем вертикальной линии креста. Отметить оба положения экрана а2 (гор.) и а2 (верт.).
4. Найти астигматическую разность
d = а2(гор.) – а2(верт.).
Г) Дисторсия
1. На оптической скамье последовательно расположить: источник света (лампочка 8В), предмет в виде мелкой сетки, исследуемую линзу (повернуть к предмету плоской стороной) и экран.
2. Передвижением линзы и экрана получить четкое подушкообразное изображение сетки. ЗАРИСОВАТЬ.
3. Взять в качестве предмета ту же сетку.
4. Поменять местами предмет и линзу.
5. Передвижением линзы и экрана получить четкое бочкообразное изображение предмета. ЗАРИСОВАТЬ.
Список рекомендуемой литературы
1. Ландсберг Г.С. Оптика. М.: Наука. 1976.
2. Физический практикум. Электричество и оптика /под ред. В.И. Ивероновой. М.: Наука. 1968.
3. Сорокина А.А., Ледяева Г.А., Шевелкина Л.Д. Практикум по оптике и физике атома. Иваново.1974.