Тема: События и их классификация
Вопросы темы:
Понятие события.
Виды событий.
Операции над событиями.
Решение задач.
Домашнее задание.
Вопрос 1. Понятие события
Одним из основных понятий теории вероятностей является понятие события.
Под событием понимают любой факт, который может произойти в результате опыта или испытания.
Под опытом, или испытанием, понимается осуществление определённого комплекса условий.
Определение:
Опытом (или испытанием) называют всякое осуществление определенного комплекса условий или действий, при которых происходит соответствующее явление.
Событием называют возможный результат опыта.
Примеры:
– появление «герба на верхней стороне монеты»
(опыт — подбрасывание монеты;
событие — «герб на верхней стороне монеты, когда она упадет);
– попадание в цель при выстреле из орудия
(опыт — произведение выстрела;
событие — попадание в цель);
– выпадение двух гербов при трёхкратном бросании монет ы
(опыт — трёхкратное бросание монеты;
событие — выпадение двух гербов);
– появление ошибки измерения в заданных пределах при измерении дальности до цели
(опыт — измерение дальности;
событие — ошибка измерения).
Можно привести бесчисленное множество подобных примеров.
События обозначаются заглавными буквами латинского алфавита 
и т.д.
Вопрос 2. Виды событий
Виды событий – по возможности возникновения
Событие называется:
● Достоверным в данном опыте, если оно обязательно произойдет в этом опыте.
Например:
Если в ящике находятся только голубые шары, то событие «из ящика извлечен голубой шар» является достоверным (в ящике нет шаров другого цвета).
● Невозможным в данном опыте, если оно не может произойти в этом опыте.
Например:
Если в ящике находятся только красные шары, то событие «из ящика извлечен голубой шар» является невозможным (в ящике таких шаров нет).
● С лучайным в данном опыте, если оно может произойти, а может и не произойти в этом опыте.
Например:
Если в ящике находятся n голубых и m красных шаров, одинаковых по размеру и весу, то событие «из ящика извлечен голубой шар» является случайным (оно может произойти, а может и не произойти, поскольку в ящике есть не только голубые, но и красные шары).
Примеры случайных событий:
- появление герба или цифры на верхней стороне монеты;
- попадание или промах при выстреле в цель из орудия4
- выигрыш по билету лотереи4
- выявление дефектов изделия при контроле партии готовой продукции;
- несоответствие размера обрабатываемого изделия заданному;
- отказ одного из звеньев автоматизированной системы управления и т.п.
Замечание:
Приведенные примеры свидетельствуют о том, что одно и то же событие в некотором опыте может быть достоверным, в другом – невозможным, в третьем – случайным.
Говоря о достоверности, невозможности и случайности события, имеют в виду его достоверность, невозможность или случайность по отношению к конкретному опыт у, то есть к наличию определенного комплекса условий или действий.
Виды событий – по совместности
● Два события называются совместными в данном опыте, если появление одного из них не исключает появление другого в этом опыте.
Например:
1. При подбрасывании двух симметричных (абсолютно одинаковых) монет, события:
А – «герб на верхней стороне первой монеты» и
В – «цифра на верхней стороне второй монеты» –
являются совместными.
Подбрасываются две игральные кости.
- Событие А – выпадание трех очков на первой игральной кости.
- Событие В – выпадание трех очков на второй кости.
и 
– совместные события.
● Два события называются несовместными в данном опыте, если они не могут произойти вместе при одном и том же испытании.
Примеры:
1. Несовместными являются попадание и промах при одном выстреле по цели.
2. Пусть в магазин поступила партия обуви одного фасона и размера, но разного цвета:
- Событие 
– наудачу взятая коробка окажется с обувью черного цвета.
- Событие – коробка окажется с обувью коричневого цвета.
и 
— несовместные события.
Несколько событий называются совместными, если они попарно-совместны.
● Два события называются противоположными (дополнительными) в данном опыте, если появление одного из них равносильно не появлению другого при одном и том же испытании.
Например:
Противоположными являются события «Герб» и «Цифра» при одном подбрасывании симметричной монеты.
Если одно из противоположных событий обозначено буквой А, то другое событие обозначают 
(А с чертой).
Например:
Если А – попадание, то – «промах» при одно выстреле по мишени.
Под противоположным событием понимается событие, которое обязательно должно произойти, если не наступило некоторое событие 
.
Противоположные события несовместны и единственно возможны.
Противоположные события образуют полную группу событий, то есть в опыте возможно множество событий.
• Множество событий А1, А2, …, Аn называют полной группой событий, если эти события попарно-несовместны, то есть
появление одного и только одного из них является достоверным событием.
Поясним понятие полной группы событий, состоящей из попарно-несовместных событий на следующем примере:
Рассмотрим события, появляющиеся при подбрасывании игрального кубика (то есть кубика, на гранях которого записаны цифры 1, 2, 3, 4, 5, 6 (или изображены знаки, соответствующие этим цифрам)).
Когда кубик упадет, то верхней гранью окажется грань с одной из этих цифр.
Допустим, появляется событие: «верхней гранью оказалась грань с цифрой k ». Обозначим это событие – Аk.
Тогда события А1, А2, А3, А4, А5, А6 образуют полную группу, так как эти события попарно-несовместны: появление одного и только одного из них является достоверным событием (когда кубик упадет, то только одна из граней окажется верхней, на ней написана только одна из цифр от 1 до 6).
Пример:
В урне находится десять шаров, из них шесть шаров красных, четыре белых, причем пять шаров имеют номера.
– появление красного шара при одном извлечении,
– появление белого шара,
– появление шара с номером.
События 
образуют полную группу совместных событий.
Пример:
Если партия изготовленных изделий состоит из годных и бракованных, то при извлечении одного изделия оно может оказаться либо годным – событие 
, либо бракованным – событие 
.
В множестве событий события считают равновозможными, если нет оснований полагать что одно событие является более возможным, чем другие.
Например:
1. При подбрасывании монеты событие А (появление цифры) и событие В (появление герба) равновозможны, так как предполагается, что монета изготовлена из однородного материала, имеет правильную цилиндрическую форму и наличие чеканки не влияет на то, какая сторона монеты (герб или цифра) окажется верхней.
2. При подбрасывании игрального кубика события A1, А2, А3, А4, А5, А6 являются равновозможными, поскольку предполагается, что кубик изготовлен из однородного материала, имеет правильную форму и наличие цифр (или очков) на гранях не влияет на то, какая из шести граней окажется верхней.
Из множества событий каждое событие, которое может наступить в итоге опыта, называется элементарным исходом (элементарным событием, или шансом).
Например: события A1, А2, А3, А4, А5, А6 – это элементарные исходы при подбрасывании кубика.
Элементарные исходы, при которых данное событие наступает, называются благоприятствующими этому событию, или благоприятными шансами.
Например: при подбрасывании игрального кубика элементарные исходы А2, А4, А6 являются благоприятствующими событию " выпало четное число очков ".
Вопрос 4. Операции над событиями
Очень важным является понятие суммы и произведения событий.
Суммой (объединением) нескольких событий называется событие, состоящее в наступлении хотя бы одного из этих событий.
Сумма 
событий 
обозначается так:
.
Например, если:
- событие 
– попадание в цель при первом выстреле,
- событие 
– попадание в цель при втором,
- то событие 
– это попадание в цель вообще, безразлично, при каком выстреле – первом, втором или при обоих вместе.
Произведением (пересечением) нескольких событий называется событие, состоящее в совместном появлении всех этих событий.
Произведение Р событий 
обозначается
P = A ● B ● C
Например, если:
- событие 
– это попадание в цель при первом выстреле,
- событие – это попадание при втором выстреле,
- то событие 
состоит в том, что в цель попали при обоих выстрелах.
Понятия суммы и произведения событий имеют наглядную геометрическую интерпретацию.
Пусть:
- событие 
– состоит в попадании точки в область 
,
- событие 
– состоит в попадании в область 
,
- тогда событие 
(сумма событий) состоит в попадании точки в область, заштрихованную на рис. 1, и событие 
(произведение событий) – в попадании точки в область, заштрихованную на рис. 2.
Вопрос 4. Решение задач
Приведем примеры, которые требуют решения:
Пример 1
Подбрасываются два игральных кубика, подсчитываются суммы выпавших очков (суммы числа очков на верхних гранях обоих кубиков). Сумма выпавших очков на двух кубиках может меняться от 2 до 12. Записать полную группу событий в этом опыте.
Решение:
Полную группу событий образуют равновозможные элементарные исходы (k; m), k, m = 1, 2, 3, 4, 5, 6, представленные в таблице.
Элементарный исход (k; m) означает, что на первом кубике выпало k очков, на втором кубике выпало m очков (k, m = 1,2,3,4,5,6).
Например, (3; 4) – на первом кубике 3 очка, на втором - 4 очка.
| (1;1) | (2;1) | (3;1) | (4;1) | (5;1) | (6;1) |
| (1;2) | (2;2) | (3;2) | (4;2) | (5;2) | (6;2) |
| (1;3) | (2;3) | (3;3) | (4;3) | (5;3) | (6;3) |
| (1;4) | (2;4) | (3;4) | (4;4) | (5;4) | (6;4) |
| (1;5) | (2;5) | (3;5) | (4;5) | (5;5) | (6;5) |
| (1;6) | (2;6) | (3;6) | (4;6) | (5;6) | (6;6) |
Пример 2
Сколько элементарных исходов благоприятствует событию "на обоих кубиках выпало одинаковое число очков" при подбрасывании двух игральных кубиков?
Решение:
Этому событию благоприятствуют 6 элементарных исходов (смотрите таблицу из примера 1): (1;1), (2;2), (3;3), (4;4), (5;5), (6;6).
Пример 3
Подбрасывается два игральных кубика. Какому событию благоприятствует больше элементарных исходов: "сумма выпавших очков равна 7", "сумма выпавших очков равна 8"?
Решение:
Событию "сумма выпавших очков равна 7" благоприятствуют 6 исходов (см. табл. примера 1): (1;6), (2;5), (3;4), (4;3), (5;2), (6;1).
Событию "сумма выпавших очков равна 8" благоприятствуют 5 исходов: (2;6), (3;5), (4;4), (5;3), (6;2).
Следовательно, первому событию благоприятствует больше элементарных исходов.
Пример 4
Подбрасываются три игральных кубика, подсчитываются суммы очков, выпавших на них. Сколькими способами можно получить в сумме 5 очков, 6 очков?
Решение:
Получить в сумме 5 очков можно шестью способами:
(1; 1; 3), (1; 3; 1), (3; 1; 1), (1; 2; 2), (2; 1; 2), (2; 2; 1).
Получить в сумме 6 очков можно десятью способами:
(1; 1; 4), (1; 4; 1), (4; 1; 1), (1; 2; 3), (1; 3; 2),
(2; 1; 3), (2; 3; 1), (3; 1; 2), (3; 2; 1), (2; 2; 2).
З а м е ч а н и е.
Запись (3; 2; 1) означает, что на первом кубике выпало 3 очка, на втором – 2 очка, на третьем – 1 очко.
Вопрос 5. Домашнее задание
Конспект (продолжение уже начатой на последнем очном занятии этой темы) и выполнение домашнего задания – в тетради по математики.
Задачи
Задача 1. Являются ли несовместными следующие события:
а) опыт – подбрасывание симметричной монеты;
события: А – "появление герба",
В – "появление цифры";
б) опыт – два выстрела по мишени;
события: А – "хотя бы одно попадание",
В – "хотя бы один промах".
Задача 2. Являются ли равновозможными следующие события:
а) опыт – подбрасывание симметричной монеты;
события: А – "появление герба",
В – "появление цифры";
б) опыт – подбрасывание погнутой монеты;
события: А – "появление герба",
В – "появление цифры";
в) опыт – выстрел по мишени;
события: А – "попадание",
В – "промах".
Задача 3. Образуют ли полную группу событий следующие события:
а) опыт – подбрасывание симметричной монеты;
события: А – "герб",
В – "цифра";
б) опыт – подбрасывание двух симметричных монет;
события: А – "два герба",
В – "две цифры".
Задача 4. Опыт – подбрасывание трех игральных кубиков.
а) Сколько всего элементарных исходов?
б) Сколько элементарных исходов благоприятствуют событию – на трех кубиках выпало очков: 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12?
в) Каково наибольшее значение суммы выпавших очков?
Вопросы
1. Что называют опытом, или испытанием?
2. Что называют событием?
3. Какое событие называют достоверным в данном опыте?
4. Какое событие называют невозможным в данном опыте?
5. Какое событие называют случайным в данном опыте?
6. Какие события называют совместными в данном опыте?
7. Какие события называют несовместными в данном опыте?
8. Какие события называют противоположными?
9. Какие события считают равно возможными?
10. Что называют полной группой событий?
11. Что называют элементарным исходом?
12. Какие элементарные исходы называют благоприятствующими данному событию?
13. Что представляет собой полная группа событий при подбрасывании одной монеты?
14. Что представляет собой полная группа событий при подбрасывании двух монет?