Дана электрическая цепь и значение всех элементов. Требуется рассчитать комплексные токи во всех ветвях. Для этого выбираем произвольно направление всех комплексных токов в ветвях на исходной схеме. Представим схему в комплексном виде. Исходная схема представлена на рисунке 3.
Рис. 3
Выбираем произвольно положительные направления контурных токов во всех ветвях и рассчитываем необходимо количество уравнений по первому и второму законом Кирхгофа:
y=Ny-1=2-1=1
k=Nв-Nу+1-Nт =3-2+1-0=2
Запишем уравнение по первому закону Кирхгофа для первого узла:
|
Запишем два уравнения по второму закону Кирхгофа. Достаточным условием независимости может быть требование, что каждый новый замкнутый контур должен содержать хотя бы одну новую ветвь.
или
ZI=E
Далее находим токи.
I=Z-1E,
где:
Для подсчета данного уравнения используем программу Mathcad 14, отсюда получаем результаты:
Построим векторную диаграмму (Рис 4):
Рис. 4
Метод контурных токов
Выбираем произвольно положительные направления комплексных токов и контурных токов. Исходная схема с учетом данного метода представлена на рис. 5.
Рис.5
Рассчитываем необходимое количество независимых контуров:
k=Nв-Nу+1-Nт =3-2+1-0=2
Обозначаем контурные токи Iii так, чтобы каждый из них проходил через один источник тока. Составляем следующую систему:
Таким образом, систему можно переписать в следующем виде:
ZI=E
Далее находим токи.
I=Z-1E,
Для подсчета данного уравнения используем программу Mathcad 14, отсюда получаем результаты:
То есть:
Теперь вычислим истинные комплексные токи во всех ветвях, используя первый закон Кирхгофа для комплексных величин как алгебраическую сумму контурных токов, протекающих по данной ветви.
Получим:
Метод узловых потенциалов
Исходная схема с учетом данного метода представлена на рисунке 6.
Рис. 6
Произвольно выбираем направления всех комплексных токов в ветвях на исходной схеме. Определить количество уравнений N системы уравнений:
Пусть потенциал узла 2 будет равен нулю(V2=0). Решим систему уравнений относительно потенциала узла 1.
Получаем:
Получаем:
Подставляем V 1 в обобщенный закон Ома, получаем значения искомых комплексных токов:
Метод двух узлов
Методом двух узлов для комплексных величин определяется комплексным напряжение между этими узлами, а затем по величине этого напряжения определяются комплексные токи ветвей. В нашей схеме примем, что I =0. Искомая схема представлена на рисунке 7.
Рис. 7
Искомая формула, по которой мы будем искать комплексное напряжение между двумя узлами имеет вид:
Метод наложения
Произвольно выбираем направление всех комплексных токов в ветвях и пронумеруем все независимые источники целыми числами. Исходная схема представлена на рисунке 8.
Рис. 8
Положить равным нулю все источники ЭДС и комплексного тока кроме первого. При этом независимые источники, ЭДС которых равна нулю, заменяем короткозамкнутыми отрезками. Исходная схема представлена на рисунке 9.
Рис. 9
Таким образом, получаем:
Положить равным нулю все источники ЭДС и комплексного тока кроме второго. При этом независимые источники, ЭДС которых равна нулю, заменяем короткозамкнутыми отрезками. Исходная схема представлена на рисунке 10.
Рис. 10
Подставляем все значения и получаем:
