Производнаяи ее приложения.
6.2.31–6.2.40. Найти пределы функций, не пользуясь правилом
Лопиталя.
6.2.31.а)
lim
3 x; б)
lim
arctg 3 x;
x ®0
x +3-
4
3- x
x ®0
sin5 x
æö2 x +1
в)lim
3 x +5
; г)
lim
3-2 x
|
x ®¥(2 x 2 -1)2
x ®¥è5-2 x ø
6.2.32.а)
lim
x ® 4
x +12- 4; б)
x -2
lim
x ®0
tg 4 x;
x +1-1
2+ x
2 3æö
в)lim
(2 x +1) + 3 x; г)
lim
5- 2 x
|
x ®¥
x 3 -(2 x -1)2
2
x ®0è5+3 x ø
6.2.33.а)
lim
x - 25; б)
lim
tgx;
x ®5
x -5
6
x ®0sin22 x
æö x +3
в)lim
2 x -7
; г)
lim
3 x +1
|
x ®¥(x 3 -3)(2- x 3)
3
x ®¥è3 x -2ø
6.2.34. а)
lim
x ®-1
x - 7+ 2; б)
x +1
lim
x ®1
sin( x -1);
x 2 -1
1
3 æö
в)lim
(3 x - 2); г)
lim
-
|
x ®¥(x 2 +1)(2- x)
x ®0
è2+ x ø
6.2.35.а)
lim
x - 4; б)
lim
arcsin x;
x ® 2
x +14-2
x +2
2
x ®0
3+ x -
x 2-1
в)lim
( x - 3)(2- x );г)
lim
æ 2 x +1 ö
÷.
x ®¥
(x -1)3
ç
x ®¥è2 x 2 +3ø
3 3
6.2.36.а)
lim
1+ x - 1- x;б)
lim
tg 2 x;
x ®0 x
x ®05 x 2 -9 x
4 æö
x +1
в)lim
5 x - 6 x + 7; г)
lim
2 x +1
|
|
x ®¥
(x 2 -3)2
x ®0è
x +1ø
2
6.2.37.а)
lim
1+ 2 x - 1- 3 x; б)
lim
sin x;
x ®0 5 x
x ®0arcsin3 x
x 2+5
в)lim
1- 2 x - x;г)
lim
æ 3 x + 2 ö
÷
x ®¥(2+ x)2 -3 x 3
ç
x ®¥è3 x 2
.
-1ø
6.2.38.а)
lim
x + 3; б)
lim
4- x - 2;
x ®-35
1- x -2
4-7 x
x ®0
arcsin2 x
1
|
в)lim
7+ x + x - 2 x; г)
lim
x + 2 x
x ®¥
(1- x)3
x ®0è3 x +2ø
6.2.39.а)
lim
x ®0
1+ 2 x - 1- 3 x; б)
3 x
2 2
lim
x ®p
tg 2 x;
sin3 x
æö x +2
в)lim
(x -3)
+5; г)
lim
7 x +1
|
x ®¥(1-2 x 2)2 +7
x ®¥è7 x -1ø
6.2.40.а)
lim
x ®0
x + x; б)
x +1-1
lim
x ®0
arcsin2 x;
x +1-1
7
5 æö
в)lim
4+ x - x; г)
lim
+
|
x ®¥2+ x 2 -3 x 5
x ®0
è7- x ø
6.3.11–6.3.20. Заданафункция у=f (х). Найти точкиразрывафункции,
еслионисуществуют. Сделатьсхематическийчертеж.
6.3.11.
6.3.12.
ì x +4,
|
|
ì x +2,
|
|
x <-1;
-1£ x <1;
x ³1.
x £-1;
-1< x £1;
x >1.
ì- x,
ï
x £0;
6.3.13.
f (x)=í-(x -1)2,
|
0< x <2;
x ³2.
6.3.14.
ìcos x,
|
|
ì- x,
ï
x £0;
0< x <1;
x ³1.
x £0;
6.3.15.
6.3.16.
f (x)=í x 2,
|
ì- x,
|
|
0< x £2;
x >2.
x £0;
0< x £p;
x >p.
6.3.17.
ì-(x +1),
|
|
x £-1;
-1< x £0;
6.3.18.
6.3.19.
ï x,
ì- x 2,
|
|
ì-2 x,
|
|
ì-2 x,
ï
x >0.
x £0;
0< x £p/4;
x >p/4.
x £0;
0< x £1;
x >1.
x £0;
6.3.20.
f (x)=í x,
|
0< x <4;
x ³4.
7.1.1–7.1.10. Найтипроизводные
dy данныхфункций.
dx
7.1.1.a)
в)
y =arccos
x =2 t 2+ t,
x;
y =ln t.
б) y =ln ctg x;
7.1.2.a)
y = x
25- x 2 + 25 arccos x; б)
y =exp(ctg 2 x);
в) x =
1- t;
1+ t 2
2 5
2+ t 2
y =.
t 2
7.1.3. а)
y =1ln
x -3;
x +3
б ) y = arcctg [exp(5 x)];
в) x =sin23t,y =cos23t.
7.1.4. a)
y =ln(x +
x 2 +1); б)
y = 1- cos3 x;
1+cos3 x
в) x =t4+ 2t,y =t2+5t.
2
7.1.5. a)
y = x +1 +arccos 1; б)
y =(x -1)exp(x 2);
x x 2
в) x =t– lnsint,y =t+ lncost.
1 2
7.1.6. a)
y = ctg
x + lnsin x;
1
б) y =exp(cos3x).
в) x =tgt,
y =. sin2 t
7.1.7. a)
y =ln(x -
x -2)+
x 2 -2 x;
б) y =3x exp(-x-2);
в) x =t2–t3,y =2t3.
7.1.8.a) y = lncos2x–lnsin2x; б)
в) x =cos3t,y= sin3t.
x -1
3 x;
7.1.9. a)
y =arccos
;б)
x +1
y =ln ctg
x +2;
в) x =3sint,y =3cos2t.
tg 3 x
ctg 2 x
æ1ö
7.1.10. a) y =-
+lnsin x; б)
y = x
expç÷;
3 2 è x ø
в) x =2t–t2,y= 2t3.
7.2.51–7.2.60. Подобрать соответствующую функцию и найти ее экстремум.
7.2.51.Требуетсяизготовитьизжестиведроцилиндрическойформы без крышкиданногообъема V. Каковыдолжны бытьвысота ирадиусегодна, чтобына егоизготовление ушлонаименьшее количество жести?
7.2.52.Равнобедренныйтреугольник,вписанныйвокружностьрадиуса R, вращается вокруг прямой, которая проходит через его вершину параллельно основанию.Какова должна бытьвысотаэтоготреугольника, чтобы тело, полученное в результате его вращения, имело наибольший
объем?
7.2.53.Прямоугольниквписанвэллипссосями2 a и2 b. Каковы должны бытьстороныпрямоугольника, чтобыегоплощадь была наибольшей?
7.2.54.Найти радиусоснования ивысотуцилиндра наибольшегообъема, которыйможновписать вшар радиуса R?
7.2.55.Найтирадиусоснованияивысотуконусанаименьшегообъема,
описанногооколошарарадиуса R?
7.2.56. Прикакихлинейных размерахзакрытая цилиндрическая банка даннойвместимости V будет иметьнаименьшую полную поверхность?
7.2.57.Окноимеетформу прямоугольника,завершенногополукругом. Периметр окна равен a. При каких размерахсторонпрямоугольникаокно будет пропускатьнаибольшее количествосвета?
7.2.58.Вточках A и B,расстояниемеждукоторымиравно a,находятся
источникисветасоответственноссилами F 1 и F 2.Наотрезке AB найти наименее освещенную точку M 0.
Замечание. Освещенность точки источникомсветасилой F обратно пропорциональна квадрату расстояния r ее от источника света:
E = kF / r 2, k =const.
7.2.59. Из круглого бревна, диаметр которого равен d, требуется вырезатьбалку прямоугольногопоперечногосечения.Каковыдолжныбыть ширинаивысотаэтогосечения,чтобы балканаибольшеесопротивлениена изгиб?
Замечание. Сопротивление балки на изгиб пропорционально произведениюширины x еепоперечногосечениянаквадратеговысоты y:
Q = kxy 2, k =const.
7.2.60. Требуетсяизготовить открытый цилиндрическийбак данногообъема V. Стоимостьквадратногометра материала, идущегонаизготовление днабака,равна p 1руб.,астенок– p 2руб.Каковыдолжныбыть радиусдна и высота бака, чтобызатратынаматериалдляего изготовления были наименьшими?
7.3.21–7.3.30. Методамидифференциальногоисчисления:а)исследовать
функцию y=f (x)для
" x Î R
ипорезультатамисследованияпостроитьее
график;б)Найтинаименьшееинаибольшеезначениязаданнойфункциина отрезке[ a; b ].
7.3.21. а)
y = 4 x,
4+ x 2
б) [–3;3].
7.3.22. а)
x 2 -1
y =,
x 2 +1
б) [–1;1].
7.3.23. а) y =,
б) [–2;2].
7.3.24. а)
x 2 +1
x 2 -5
y =,
б) [–2;2].
x -3
7.3.25. а)
2-4 x 2
y =1-4 x 2,
б) [ 1;4].
7.3.26. а)
y =(x -1)e3 x +1,
б) [ 0;1].
7.3.27. а)
y =ln x,
x
1
б) [ 1;9].
7.3.28. а)
y =e2- x,
б) [–1;1].
7.3.29. а)
y = x e
- x 2,
б) [–2;2].
|
x 2-3
=
|
б) [–2;2].
x +9
КОНТРОЛЬНАЯРАБОТА№ 3