Электрическая индукция
Электрическое поле в диэлектрической среде создается как свободными, так и связанными зарядами, так что вектор напряженности E, характеризующий результирующее поле в диэлектрике, является суммой двух величин, напряженности поля, создаваемого свободными зарядами Есвоб, и поля, создаваемого связанными зарядами Есвяз
. (3.6)
Важно понимать, что вектор поляризации Р обусловлен именно этим результирующим полем Е, то есть вектор поляризации зависит от поля, часть которого он сам же и создает. Это затрудняет его нахождение, поэтому вводят еще одну характеристику электрического поля внутри диэлектрика, которая характеризует поле одних лишь свободных зарядов.
Рассмотрим ситуацию, когда электрическое поле в диэлектрике создается, к примеру, равномерно заряженной плоскостью, помещенной внутрь диэлектрика (Рис.3.6).
Рис.3.6
Для определения результирующего поля Е воспользуемся теоремой Гаусса. В качестве произвольной поверхности 
выберем, как в рассмотренной ранее задаче о поле заряженной плоскости, цилиндр длиной 
, ось которого перпендикулярна плоскости, а основания равноудалены от нее. Теперь внутрь поверхности 
попадут не только свободные заряды, находящиеся на плоскости, но и связанные заряды, появляющиеся вследствие поляризации диэлектрической среды (на рис. 3.6 показаны диполи, «разрезанные» поверхностью 
на две части – отрицательные связанные заряды этих диполей оказались внутри поверхности 
). Поэтому теорему Гаусса в этом случае правильно будет записать в следующем виде:
(3.7)
Суммы свободных и связанных зарядов в правой части уравнения можно выразить через плотности σ и σ` для свободных и связанных зарядов
(3.8)
Умножим обе части этого равенства на ε0. Кроме того, перенесем слагаемое σ`S в левую часть уравнения и внесем его под знак интеграла. Получим
(3.9)
Учтем также, что как показано выше (3.3) σ` = Р. Получим
(3.10)
Это выражение следует трактовать так: поток некоторой векторной величины ε0 Е + Р через замкнутую поверхность S равен сумме свободных зарядов (σS), заключенных внутри этой поверхности. Эту векторную величину (ε0 Е + Р), характеризующую электрическое поле, называют электрической индукцией (D) или электрическим смещением. Итак
D = ε0 Е + Р (3.11)
Вектор электрической индукции характеризует электрическое поле только свободных зарядов (или определяется только свободными зарядами). При одном и том же распределении свободных зарядов этот вектор будет одним и тем же, независимо от среды, в которой находятся эти заряды. Вектор электрической индукции начинается и заканчивается только на свободных зарядах, поэтому линии электрической индукции не имеет разрывов на поверхностях разделяющих различные диэлектрические среды.
Единица электрического смещения — Кулон на метр в квадрате (Кл/м2).
Выражение (3.10) фактически является теоремой Гаусса для вектора электрической индукции: поток вектора электрической индукции через замкнутую поверхность равен сумме свободных зарядов, заключенных внутри этой поверхности.
Подставим полученное ранее выражение (3.2) для вектора поляризации 
в формулу (3.11)). Получим
D = ε0(1+χ) E (3.12)
Безразмерную величину 1+χ мы уже встречали ранее (3.6). Ее называют диэлектрической проницаемостью среды ε. Таким образом
D = ε0ε E (3.13)
В отличие от электрической индукции напряженность электрического поля характеризует как свободные, так и связанные заряды, поэтому вектор напряженности терпит разрывы на границах областей, где присутствуют связанные заряды, например на границе раздела двух диэлектриков с различными 
. Часть линий напряженности Е прерывается на связанных зарядах, образующихся на границе раздела среды (см. рис.). Поэтому напряженность поля в среде оказывается меньше, чем вне ее. Диэлектрическая проницаемость ε показывает, во сколько раз напряженность поля в среде меньше, чем в вакууме.
Полученные нами ранее выражения для напряженности поля, создаваемого равномерно заряженной плоскостью и равномерно заряженной сферой, можно распространить и на случай, когда эти заряженные тела погружены в сплошную диэлектрическую среду с проницаемостью ε. Нетрудно показать, что в этом случае поле точечного заряда q определяется формулой
, (3.14)
а поле плоскости, равномерно заряженной с поверхностной плотностью σ равно
(3.15)
Граничные условия
Рассмотрим поведение векторов E и D на границе раздела двух однородных изотропных диэлектриков с проницаемостями 
и 
при отсутствии на границе свободных зарядов.
Граничные условия для нормальных составляющих векторов D и E следуют из теоремы Гаусса. Выделим вблизи границы раздела замкнутую поверхность в виде цилиндра, образующая которого перпендикулярна к границе раздела, а основания находятся на равном расстоянии от границы (рис. 3.7).
Рис. 3.7
Так как на границе раздела диэлектриков нет свободных зарядов, то, в соответствии с теоремой Гаусса, поток вектора электрической индукции через данную поверхность
.
Выделяя потоки через основания и боковую поверхность цилиндра
, (3.16)
где 
- значение 
касательной составляющей усредненное по боковой поверхности 
. Переходя к пределу при 
(при этом также стремится к нулю), получаем 
, или окончательно для нормальных составляющих вектора электрической индукции 
, то есть
D2n = D1n (3.17)
Для нормальных составляющих вектора напряженности поля, учитывая (3.13) получим
. (3.18)
Таким образом, при переходе через границу раздела диэлектрических сред нормальная составляющая вектора En терпит разрыв, а нормальная составляющая вектора Dn непрерывна.
Граничные условия для касательных составляющих векторов D и E следуют из соотношения, описывающего циркуляцию вектора напряженности электрического поля. Построим вблизи границы раздела прямоугольный замкнутый контур длины l и высоты h (рис. 3.8).
Рис. 3.8
Согласно теореме о циркуляции вектора Е электростатического поля
,
Обходя контур по часовой стрелке, представим циркуляцию вектора E в следующем виде:
, (3.19)
где 
- среднее значение En на боковых сторонах прямоугольника. Переходя к пределу при , получим для касательных составляющих E
. (3.20)
Для касательных составляющих вектора электрической индукции граничное условие имеет вид
(3.21)
Таким образом, при переходе через границу раздела диэлектрических сред касательная составляющая вектора Eτ непрерывна, а касательная составляющая вектора Dτ терпит разрыв.
Преломление линий электрического поля. Из граничных условий для соответствующих составляющих векторов E и D следует, что при переходе через границу раздела двух диэлектрических сред линии этих векторов преломляются (рис. 3.9). Разложим векторы E1 и E2 у границы раздела на нормальные и тангенциальные составляющие и определим связь между углами 
и 
при условии 
. Легко убедиться, что как для напряженности поля, так и для индукции справедлив один и тот же закон преломления линий напряженности и линий смещения
tgα1/ tgα2= ε1 /ε2. (3.22)
Действительно, согласно рис.2.8 tgα1/ tgα2=D1nD2τ/D1τD2n. Воспользовавшись граничными условиями (3.17) и (3.21) придем к формуле (3.22). Аналогично можно убедиться в справедливости этой формулы и для вектора Е (рис. 2.9).
Рис 3.9
Из (3.22) следует, что при переходе в среду с большим значением ε угол α, образуемый линиями напряженности (смещения) с нормалью, увеличивается, следовательно, линии располагаются гуще. При переходе в среду с меньшим ε линии векторов E и D, напротив, разрежаются и приближаются к нормали (рис.3.10)
Рис. 3.10
Представление о нелинейной поляризации.
В описанных выше явлениях поляризации вектор поляризации Р линейно зависел от вектора напряженности электрического поля Е. Имеются диэлектрики, у которых эта зависимость имеет более сложный характер.
В 1920 г. была открыта спонтанная (самопроизвольная) поляризация. Всю группу веществ, назвали сегнетоэлектрики (или ферроэлектрики). Все сегнетоэлектрики обнаруживают резкую анизотропию свойств (сегнетоэлектрические свойства могут наблюдаться только вдоль одной из осей кристалла). У изотропных диэлектриков поляризация всех молекул одинакова, у анизотропных – поляризация, и следовательно, вектор поляризации в разных направлениях разные.
Основные свойства сегнетоэлектриков:
1. Диэлектрическая проницаемость ε в некотором температурном интервале велика(ε~104).
2. Значение ε зависит не только от внешнего поля E 0, но и от предыстории образца.
3. Диэлектрическая проницаемость ε (а следовательно, и поляризация Р) – нелинейно зависит от напряженности внешнего электростатического поля (нелинейные диэлектрики).
4. Наличие точки Кюри – температуры, при которой (и выше) сегнетоэлектрические свойства пропадают. При этой температуре происходит фазовый переход 2-го рода. Например, титанат бария: 133º С; сегнетова соль: – 18 + 24º С; ниобат лития 1210º С.
Нелинейная зависимость поляризации диэлектриков от напряженности внешнего поля называется диэлектрическим гистерезисом (рис.3.11).
Рис.3.11
Ес – коэрцитивная сила, Pс – остаточная поляризация, а – состояние насыщения.
Стремление к минимальной потенциальной энергии и наличие дефектов структуры приводит к тому, что сегнетоэлектрик разбит на домены – области с различными направлениями поляризации (рис.3.12а). В отсутствии поля суммарный дипольный момент практически отсутствует (рис.3.12б). Под действием электрического поля Е доменные границы смещаются так, что объем доменов, поляризованных по полю, увеличивается за счет доменов, поляризованных против поля (рис.3.12в).
а б в
Рис.3.12
В сильном электрическом поле кристалл становится однодоменным. После выключения электрического поля образец остается поляризованным (остаточная поляризация Pс). Чтобы убрать остаточную поляризацию, необходимо приложить поле противоположного направления (коэрцитивное поле Ес).
Среди диэлектриков есть вещества, называемые электреты – диэлектрики, длительно сохраняющие поляризованное состояние после снятия внешнего электростатического поля (аналоги постоянных магнитов).
Некоторые диэлектрики поляризуются не только под действием электрического поля, но и под действием механической деформации. Это явление называется пьезоэлектрическим эффектом. Если на грани кристалла наложить металлические электроды (обкладки) то при деформации кристалла на обкладках возникнет разность потенциалов (рис.3.13).
Рис. 3.13
Возможен и обратный пьезоэлектрический эффект: если на пьезоэлектрический кристалл подать напряжение, то возникнут механические деформации кристалла, причем, деформации будут пропорциональны приложенному электрическому полю Е 0. Пьезоэффект широко используется в технике (генераторы ВЧ, шаговые двигатели, микрофоны, наушники, датчики давления и ускорения, частотные фильтры, пьезоэлектрические адаптеры).
.