Полный факторный эксперимент
Вариант 1. Задание 1.
Установить зависимость между устойчивостью колонны мартеновской печи (F=y, кН) и определяющими факторами: Х1- высотой колонны (Н), м; Х2 -площадью поперечного сечения (S), м2; Х3 - эксцентриситетом (l0), мм.
Матрица планирования и результаты экспериментов
№ опыта | Х1 | Х2 | Х3 | Y |
-1 | -1 | -1 | ||
+1 | -1 | -1 | ||
-1 | +1 | -1 | ||
+1 | +1 | -1 | ||
-1 | -1 | +1 | ||
+1 | -1 | +1 | ||
-1 | +1 | +1 | ||
+1 | +1 | +1 | ||
79,55 | ||||
79,40 | ||||
79,10 |
Уравнение регрессии имеет вид:
y=b0+b1x1+b2x2+b3x3+b12x1x2+b13x1x3+b23x2x3
Вычислим коэффициенты уравнения регрессии:
где n=23= 8.
b0=(75,90+75,10+75,65+75,15+87,20+84,15+80,55+78,45)/8 = 79,02
b1=(-75,9+75,10-75,65+75,15-87,20+84,15-80,55+78,45)/8= - 0,81
b2=(-75,9-75,10+75,65+75,15-87,20-84,15+80,55+78,45)/8= -1,57
b3=(-75,9-75,10-75,65-75,15+87,20+84,15+80,55+78,45)/8=3,57
b12=(75,9-75,10-75,65+75,15+87,20-84,15-80,55+78,45)/8=0,16
b13=(75,9-75,10+75,65-75,15-87,20+84,15-80,55+78,45)/8= - 1,52
b23=(75,9+75,10-75,65-75,15-87,20-84,15+80,55+78,45)/8=-0,48
Запишем уравнение регрессии с учетом полученных коэффициентов:
y=79,02-0,81X1-1,57X2+3,57X3+0,16X1X2-1,52X1X3-0,48X2X3
Для проверки значимости коэффициентов, нужно установить, выполняется ли условие:
|bi|≥Sb*t,
Где |bi|- модуль рассчитанного коэффициента регрессии,
f=n0-1=3-1=2 –число степеней свободы при количестве опытов в центре плана n0=3, следовательно t=4.3- табличное значение критерия Стьюдента.
Sb2-дисперсия коэффициентов регрессии,
Sb2=SB2/n,
SB2- дисперсия воспроизводимости опытов,
Где yom-значение переменной отклика в центре плана,
n0=3 – число опытов в центре плана,
Среднее значение переменной отклика в центре плана:
yср=(79,55+79,40+79,10)/3=79,35
SB2=1/(3-1)*(4+9+0)=6,5
Sb2=6,5/8=0,8125
Расчетное значение критерия Стьюдента
tpi=|bi|/Sb
Определим значимость коэффициентов, сравнивая расчетное значение критерия Стьюдента с табличным.
|
tp0=169>4.3 – коэффициент значим;
tp1=8,7>4.3 – коэффициент значим;
tp2=16,8>4.3 – коэффициент значим;
tp3=23,4>4.3 – коэффициент значим;
tp12=-2,6<4.3 – коэффициент не значим;
tp13=-3,2<4.3 – коэффициент не значим;
tp23=-2,9<4.3 – коэффициент не значим;
Запишем уравнение регрессии с учетом значимых коэффициентов:
y=152,375+7,875X1+15,125X2+21,125X3
Переведем полученное уравнение регрессии в натуральные величины. Для этого воспользуемся исходной таблицей данных.
Уровни факторов | Х1 | Х2 | Х3 |
Верхний уровень | 3,5 | ||
Нижний уровень | 3,2 | 7,8 |
Физические (натуральные) переменные найдем по формулам:
xi=(Xi-Xi0)/ΔXi0 ,
где xi – кодированное значение фактора,
Xi – натуральное значение фактора,
ΔXi0 – интервал варьирования фактора.
Найдем натуральное значение фактора на нулевом уровне:
Хi0=(XiB+XiH)/2,
Где XiB – значение верхнего фактора,
XiH – значение нижнего фактора.
X01=(3,5+3,2)/2=3,35;
X02=(11+7,8)/2=9,4;
X03=(12+8)/2=10.
Найдем интервал варьирования факторов:
ΔX01=(3,5-3,2)/2=0,15;
ΔX02=(11-7,8)/2=1,6;
ΔX03=(12-8)/2=2.
Физические (натуральные) переменные примут вид:
Х1=(Х1-3,35)/0,15;
Х2= (Х2-9,4)/1,6;
Х3= (Х3-10)/2.
Преобразуем уравнение регрессии и получим его в натуральных величинах:
y=-217,98+52,5x1+9,45x2+10,56x3.
Уравнение регрессии считается адекватным, если выполняется условие:
FP≤FT;
Где FT – табличное значение критерия Фишера,
FP – расчетное значение критерия Фишера.
Табличное значение критерия Фишера при уровне значимости α=0,05 зависит от числа степеней свободы дисперсии адекватности
fад=n-z,
где n=8,
|
z=4 – число значимых коэффициентов уравнения регрессии
и числа степеней свободы дисперсии воспроизводимости
fB=n0-1,
где n0=3 – число опытов в центре плана.
fад=8-4=4; fB=3-1=2. FT=19,247 (по табл).
Расчетное значение критерия Фишера:
Fp=Sад2/SB2,
Дисперсия адекватности:
где уu – экспериментальное значение функции отклика,
уu – расчетное значение переменной отклика в u-м опыте, определенном при подстановке в уравнение регрессии.
Sад2=167,5204/4=41,8801,
Fp=41,8801/6,5=6,44.
Выполняется условие 6,44<19.247, т.е. FP≤FT, следовательно, полученное уравнение регрессии адекватно.
Бланк результатов расчета
Исходные данные | ||||||
Наименование | Обозначение | Единицы измерения | Интервал варьирования | Уровень | ||
Верхний | Нулевой | Нижний | ||||
+1 | -1 | |||||
X1 | м | 0,15 | 3,5 | 3,35 | 3,2 | |
X2 | м2 | 1,6 | 9,4 | 7,8 | ||
X3 | мм |
Опыты | План | Переменная отклика | Расчеты | |||
X1 | X2 | X3 | yu | yu | (yu-yu)2 | |
-1 | -1 | -1 | 108,21 | 67,4041 | ||
+1 | -1 | -1 | 123,96 | 9,2416 | ||
-1 | +1 | -1 | 138,45 | 6,5025 | ||
+1 | +1 | -1 | 154,2 | 7,84 | ||
-1 | -1 | +1 | 150,45 | 12,6025 | ||
+1 | -1 | +1 | 166,2 | 3,24 | ||
-1 | +1 | +1 | 180,69 | 5,3361 | ||
+1 | +1 | +1 | 196,44 | 55,3536 | ||
∑(yu-yu)2 | 167,5204 | |||||
y0ср=133 | SB2=6,5 | Sb2=0,8125 | t=4,3 |
Коэффициенты уравнения регрессии | b0 152,375 | b1 7,875 | b2 15,125 | b3 21,125 | b12 -2,375 | b13 -2.875 | b23 -2,625 |
Расчетное значение критерия Стьюдента tp | t0 | t1 8,7 | t2 16,8 | t3 23,4 | t12 -2,6 | t13 -3,2 | t23 -2,9 |
Проверка значимости | + | + | + | + | - | - | - |
Sад2=41,8801 | |||||||
Fp=6,44 FT=19,247 Модель адекватна | |||||||
Рассчитанное уравнение регрессии | |||||||
Кодированное | y=152,375+7,875X1+15,125X2+21,125X3 | ||||||
Натуральное | y=-217,98+52,5x1+9,45x2+10,56x3 |
|