Замена переменных в двойном интеграле
Рассмотрим двойной интеграл в декартовых координатах
. Пусть имеются две гладкие функции двух переменных
,
, то есть эти функции непрерывны вместе со своими частными производными первого порядка по переменным
и
в некоторой замкнутой области
плоскости
. И пусть эти функции взаимно однозначно и непрерывно отображают область
на область
. Тогда имеет место равенство
,
если , где
– якобиан преобразования
в
. Определитель
назван в честь немецкого математика Якоби. Геометрически
выражает элемент площади в области
, а
– коэффициент изменения элемента площади в области
при преобразовании в элемент площади в области
.
Координаты называются криволинейными координатами точки
.
Интеграл называется двойным интегралом в криволинейных координатах.
Частным случаем криволинейных координат являются полярные координаты .
Двойной интеграл в полярных координатах
Полярные координаты связаны с прямоугольными формулами ,
(
,
). Якобиан преобразования в этом случае равен
,
а – элемент площади в полярных координатах.
Формула перехода от декартовых координат к полярным координатам
.
Если областью является круг или часть круга, то в двойном интеграле удобно перейти к полярным координатам, так как уравнение окружности в полярных координатах приобретает простой вид
.
Расстановка пределов в полярных координатах выполняется аналогично случаю декартовых координат.
Пример 1. Вычислить двойной интеграл , где область
:
,
,
.
Решение. Построим область . Так как областью является четверть круга (рис. 1), перейдём к полярным координатам по формулам
,
,
. Точкой входа является полюс
(рис. 2), а линией выхода – окружность
. Область
определяется системой неравенств
Подынтегральная функция в полярных координатах .
.
Замечание. Повторный интеграл в примере 1 свёлся к произведению двух независимых друг от друга определённых интегралов, поскольку результат вычисления внутреннего интеграла есть число.
Пример 2. Перейти в двойном интеграле к полярным координатам и расставить пределы интегрирования, если область
ограничена линиями: а)
,
,
(
),
(
);
б) ,
,
.
Решение 2а). Областью является четверть кольца в четвёртой четверти координатной плоскости (,
), между окружностями с радиусами
и
(рис. 3). В полярной системе координат область
определяется системой
.
Решение 4б). Уравнение окружности с центром в точке
имеет вид:
. Приведём к такому виду уравнение
. Перенесём
влево и выделим полный квадрат
.
Получим уравнение окружности с центром в точке и радиусом
(рис. 4). В полярной системе координат уравнение окружности имеет вид
. Уравнение прямой
представим к виду
, а так как тангенс угла наклона прямой к оси абсцисс
, то
. Прямая
наклонена к оси
под углом
. Область
определяется системой неравенств
.
Пример 3. Найти массу пластинки, имеющую форму четверти круга радиуса , если известно, что поверхностная плотность в каждой точке пластинки пропорциональна расстоянию до этой точки от центра круга.
Решение. Область (рис. 5) в декартовой системе координат определяется неравенствами
. Поверхностная плотность в любой точки области определяется уравнением
(рис. 6).
|

Перейдём к полярным координатам
![]() | ![]() | ![]() |
.
Пример 4. В условиях задачи 3 найти координаты центра масс точки .
Решение. Статический момент относительно оси
.
Координата точки
:
.
Статический момент относительно оси
.
Координата точки
:
.
Ответ: .
Тройной интеграл
![]() | Пусть в области ![]() ![]() ![]() ![]() |
2) диаметры частей обозначим , а
;
3) в каждой части выберем произвольно по точке ;
4) составим сумму (интегральную)
Определение. Предел интегральной суммы (4) при называется тройным интегралом по области
от функции
и обозначается
или
.
![]() | По определению ![]() ![]() ![]() |
Физический смысл можно интерпретировать как массу неоднородного тела с объёмной плотностью
.
– элемент массы,
– суммарная масса.
Основные свойства.
1º. Свойства линейности. ,
.
![]() | 2º. Свойство аддитивности.
![]() |
3º. Оценка тройного интеграла.
в области
.
Правило вычисления.