Двойной интеграл в полярных координатах

Замена переменных в двойном интеграле

Рассмотрим двойной интеграл в декартовых координатах . Пусть имеются две гладкие функции двух переменных , , то есть эти функции непрерывны вместе со своими частными производными первого порядка по переменным и в некоторой замкнутой области плоскости . И пусть эти функции взаимно однозначно и непрерывно отображают область на область . Тогда имеет место равенство

если , где – якобиан преобразования в . Определитель назван в честь немецкого математика Якоби. Геометрически выражает элемент площади в области , а – коэффициент изменения элемента площади в области при преобразовании в элемент площади в области .

Координаты называются криволинейными координатами точки .

Интеграл называется двойным интегралом в криволинейных координатах.

Частным случаем криволинейных координат являются полярные координаты .

Двойной интеграл в полярных координатах

Полярные координаты связаны с прямоугольными формулами , (, ). Якобиан преобразования в этом случае равен

а – элемент площади в полярных координатах.

Формула перехода от декартовых координат к полярным координатам

Если областью является круг или часть круга, то в двойном интеграле удобно перейти к полярным координатам, так как уравнение окружности в полярных координатах приобретает простой вид .

Расстановка пределов в полярных координатах выполняется аналогично случаю декартовых координат.

Пример 1. Вычислить двойной интеграл , где область

: , , .

Решение. Построим область . Так как областью является четверть круга (рис. 1), перейдём к полярным координатам по формулам , , . Точкой входа является полюс (рис. 2), а линией выхода – окружность . Область определяется системой неравенств

Подынтегральная функция в полярных координатах .

Замечание. Повторный интеграл в примере 1 свёлся к произведению двух независимых друг от друга определённых интегралов, поскольку результат вычисления внутреннего интеграла есть число.

Пример 2. Перейти в двойном интеграле к полярным координатам и расставить пределы интегрирования, если область ограничена линиями: а) , , (), ();

б) , , .

Решение 2а). Областью является четверть кольца в четвёртой четверти координатной плоскости (, ), между окружностями с радиусами и (рис. 3). В полярной системе координат область определяется системой

Решение 4б). Уравнение окружности с центром в точке имеет вид: . Приведём к такому виду уравнение . Перенесём влево и выделим полный квадрат

Получим уравнение окружности с центром в точке и радиусом (рис. 4). В полярной системе координат уравнение окружности имеет вид . Уравнение прямой представим к виду , а так как тангенс угла наклона прямой к оси абсцисс , то . Прямая наклонена к оси под углом . Область определяется системой неравенств

Пример 3. Найти массу пластинки, имеющую форму четверти круга радиуса , если известно, что поверхностная плотность в каждой точке пластинки пропорциональна расстоянию до этой точки от центра круга.

Решение. Область (рис. 5) в декартовой системе координат определяется неравенствами . Поверхностная плотность в любой точки области определяется уравнением (рис. 6).