Связь между временными и частотными характеристиками электрических цепей

Таким образом, приходим к важному выводу: импульсная и комплексная передаточные функции пассивной электрической цепи связаны между собой парой преобразования Фурье (9.62) и (9.63). А это, в свою очередь, означает, что импульсная характеристика однозначным образом определяет комплексную передаточную функцию цепи и наоборот. Причем, для h (t) и H (j w) справедливы все свойства и теоремы, рассмотренные в § 9.2. В частности, из теоремы изменения масштаба независимого переменного следует, что чем более растянута во времени импульсная характеристика цепи, тем уже ее АЧХ и наоборот. В § 9.6 было показано, что для неискажающей линейной цепи АЧХ должна быть равномерна, аэтосоответствует согласно (9.40) импульсной характеристике цепи в виде d-функции, что полностью подтверждает изложенное.

Связь комплексной передаточной функции с переходной харак­теристикой также определяется однозначно, поскольку последняя связана соотношением (8.2) с импульсной характеристикой цепи. Для установления этой связи можно воспользоваться интеграль­ным представлением единичной функции (9.58):

с учетом формулы Эйлера (3.18) перепишем (9.64):

Если ко входу электрической цепи с передаточной функцией H (j w) = | H (j w)| e^{j j(w)} приложена единичная функция (9.65), то сиг­нал на выходе цепи будет численно равен переходной характе­ристики g (t), спектр которой определяется согласно (9.51), где . Тогда после применения обратного преобразования Фурье с учетом (9.65) получим:

или

где

Таким образом, зная Н (j w), можно найти с помощью (9.66) также и g (t). Важно отметить предельное соотношение между g (t)и Н (j w), вытекающее непосредственно из свойств (7.17)—(7.18) и связи между преобразованием Фурье и Лапласа:

Эти соотношения означают, что реакция на выходе цепи от еди­ничного воздействия в установившемся режиме будет отличнаотнуля, если передаточная функция на нулевой частоте не равна нулю (есть путь постоянной составляющей). И напротив, в началь­ный момент при t = 0 (момент коммутации) реакция на выходе будет изменяться скачком, если Н (¥) — не равна нулю, т. е. цепь имеет бесконечно большую полосу пропускания. Рассмотренные соотношения хорошо иллюстрируются условиями пропускания сиг­нала через линейную цепь (см. § 9.6).

В заключение рассмотрим связь между вещественной Н ₁(w) и мнимой Н ₂(w) частями комплексной передаточной функции (4.7). Перепишем (9.62) в форме

Отсюда, учитывая (4.7) и (4.8), получаем

Согласно условия физической реализуемости (8.14) при t < 0 h (t) = 0, поэтому (9.69) принимает вид

Отсюда, почленно складывая и вычитая (9.69) и (9.70), получаем уравнения связи импульсной характеристики с вещественной и мнимой частями комплексной передаточной функции H (j w):

Таким образом, для нахождения импульсной характеристики цепи достаточно воспользоваться частотной зависимостью только вещественной или мнимой частей H (j w). Из (9.71) следует также важный вывод о том, что нельзя независимо выбирать веществен­ную и мнимую части передаточной функции или, что то же самое, нельзя произвольно выбирать АЧХ и ФЧХ цепи, так как они свя­заны между собой определенной зависимостью (4.9), (4.10).