(по материалам лекций Толмачева В.В.)
Постановка задачи
Пусть имеются две диэлектрические среды 1 и 2, с электрической и магнитной проницаемостью 
и 
соответственно. Из среды 1 в 2 падает плоская монохроматическая волна (границу раздела будем считать плоской).При переходе через границу раздела волна разделится на две части: отраженную волну (в среде 1) и преломленную волну (в среде 2), необходимо выяснить соотношения между углами 
и 
, а также между интенсивностями падающей и отраженной волн (рис 1).
рис.1
Данная волна должна представлять собой точное решение уравнений Максвелла: 
и 
(1) (учитывая, что среда диэлектрическая, т.е. 
)
для плоской монохроматической волны точное решение этих уравнений будет (если оси Х направить в сторону распространения волны):
и 
(
= 
=0) (2)
где A и B, 
и 
, 
- постоянные (не зависят от времени и координаты),
и 
- характеристики среды, в которой распространяется волна,
, t - рассматриваемый момент времени
x - рассматриваемая координата на оси Х
V - скорость распространения волны в данной среде
(естественно, в силу линейности уравнений Максвелла любая сумма таких волн будет также их точным решением)
Также она должна удовлетворять условиям на границе раздела: 
и 
не терпят разрыва на поверхности раздела, 
и 
также не терпят разрыва, поскольку на границе раздела не течет ток и нет поверхностной плотности заряда:
(3)
(индексом 1 обозначаем все, относящееся к первой среде, индексом 2 - ко второй)
Таким образом, необходимо построить точное решение уравнений (1), удовлетворяющих условиям (3). Для этого рассмотрим два случая: случай ТМ -волны (р-волны) - вектор 
перпендикулярен плоскости падения (трансверсальная магнитная), и случай ТЕ-волны (s-волны)- вектор 
перпендикулярен плоскости падения (трансверсальная электрическая). Любая плоская волна (с любой поляризацией) может быть представлена как линейная комбинация двух таких волн.
Случай ТМ -волны (p - волны)
рис.2
Из рисунка видео, что 
, запишем условия равенства на границе раздела:
(учитывая, что волна в среде 1 есть сумма падающей и отраженной волн)
подставляем значения :
подставляем 
из (2):
Аналогично, поскольку 
получаем для вектора на границе раздела:
(c учетом (2))
для выполнения равенств для и потребуем равенства аргументов косинусов:
потребуем также равенства начальных фаз: 
из рисунка видно, что: 
, 
(4)
(
, 
и - соответственно: угол падения, угол отражения и угол преломления), тогда имеем:
из равенства аргументов получаем:
(т.к. 
, 
)
т.е. получены, как и следовало ожидать, законы отражения и преломления света
разделим теперь выражения для и на 
, получим (c учетом (4)) следующую систему:
(5)
здесь неизвестными являются 
и 
, а 
- заданно.
Умножим первое уравнение на 
а второе на 
и вычтем из первого второе, тогда члены с сократятся и получим:
поскольку для неферромагнетиков магнитная проницаемость незначительно отличается от единицы, то для сравнительно широкого класса сред можно считать 
, тогда:
.
(разделим числитель и знаменатель на 
, и учтя, что 
)
применив закон преломления, получим (6):
из второго уравнения системы (5) получаем для :
(поскольку полагаем ,), тогда:
(7)
проверим теперь выполнение еще двух условий на границе раздела,которые мы не учли - 
и 
. Второе равенство выполняется заведомо, поскольку 
, проверим первое равенство 
:
из рисунка видно, что 
, а 
подставим значения 
, 
и 
(из 2), сократив сразу на 
, и учитывая (4):
(выражая через второе уравнение системы (5))
Таким образом действительно получено точное решение уравнений (2), удовлетворяющее всем начальным условия. Итак, имеем следующие формулы Френеля для случая s-волны для отражения и преломления (из (6) и (7)):
и 
Случай ТЕ -волны (s - волны)
рис.3
Из рисунка видно, что 
Условия (3) для и :
подставляя значения 
и 
из (2) получим:
как и в случае ТМ-волны предполагаем равенство аргументов косинусов и совершенно аналогично получаем в этом случае закон отражения и преломления света, сокращая на 
и с учетом (4) получим систему:
(8)
умножим первое уравнение на 
а второе на 
и вычтем из первого второе:
поскольку мы полагаем 
(см. выше) то 
(9)
из второго уравнения системы (8) получаем:
(10)
проверим теперь неучтенные условия на границе раздела: 
и .
Второе условие выполняется, поскольку 
, проверим выполнение равенства: 
из рисунка видно, что 
, а 
подставим значения 
, 
и 
(из 2), сократив сразу на 
, и учитывая (4) получим: 
подставляем 
из второго уравнения системы (8):
таким образом мы действительно нашли точное решение уравнений (2), удовлетворяющее всем начальным условиям. В случае p-волны имеем следующие формулы Френеля для отражения и преломления (из (9) и (10))
и 
Анализ формул Френеля
Исследуем отношения энергий (точнее плотности потока энергий) падающей и отраженной ТМ и ТЕ волн и падающей и прошедшей волн в зависимости от угла падения 
. Для этого рассмотрим отношение нормальной составляющей вектора Пойтинга 
падающей и отраженной (
и 
в случае ТМ и ТЕ волн соответственно) и падающей и прошедшей (
и 
) волн. Тогда с из полученных формул Френеля для отражения и преломления, с учетом (2) будем иметь:
А. Отражение
Исследуем сначала поведение 
и 
на границах отрезка 
:
при 
(просто положить равным нулю нельзя, потому что будет неопределенность):
для случая падения из воздуха в стекло (
): 
т.е. это величина порядка нескольких процентов (можно заметить, что если поменять среды местами - т.е. рассматривать падение из воды в воздух, то это значение не изменится)
В случае падения из оптически менее плотной среды в оптически более плотную при 
:
Действительно, преломленной волны при скользящем падении не образуется и интенсивность падающей волны не меняется.
В случае падения из оптически более плотной среды в оптически менее плотную, необходимо учесть явление полного внутреннего отражения, когда прошедшей волны нет - вся волна отражается от поверхности раздела. Это происходит при значениях больших, чем 
, вычисляемого следующим образом:
[1][к1]
Для падения из стекла в воздух 
Здесь не рассматривается полное внутреннее отражение, поэтому в случае падения из оптически более плотной среды в оптически менее плотную изменяется до , в этом случае:
Далее исследуем поведение этих функций между крайними точками, для этого исследуем на монотонность функции: 
и 
Нам понадобится производная 
, найдем ее как производную функции, заданной неявно:
Знак этой производной (поскольку 
, 
) зависит только от знака выражения 
, это выражение > 0, когда 
(то есть падение из оптически мене плотной среды в оптически более плотную) и <0, когда 
(из более оптически плотной в менее оптически плотную), следовательно в первом случае 
монотонно возрастает, а во втором, убывает. Но в случае 
, следовательно по модулю это выражение будет возрастать, в случае 
оно также будет по модулю возрастать. Таким образом, 
, как квадрат этого выражения, в обоих случаях монотонно возрастает от 
при 
до 1 при 
.или 
.
Знак этой производной,(поскольку ,
есть >0 при и <0 при 
.
Знак функции 
меняется следующим образом:
при если 
невелико 
>0, но эта функция проходит через нуль. Поскольку числитель, при рассматриваемых пределах изменения в 0 обращаться не может[2][к2] это происходит тогда, когда знаменатель обращается в бесконечность т.е.:
Это есть угол Брюстера (
), при котором 
обращается в 0, то есть отраженная волна отсутствует. Для случая падения из воздуха в стекло 
, для обратного случая (из стекла в воздух) 
При переходе через этот угол меняет знак на минус, следовательно как квадрат этой функции сначала убывает (до нуля), а затем возрастает (до 1).
При для небольших <0, при переходе через знак будет меняться на плюс. Переход через действительно будет иметь место, хотя изменяется до 
,а не до 
, поскольку 
. Таким образом снова монотонно убывает до 0, а затем монотонно возрастает до 1.
Итак, в обоих случаях сначала монотонно убывает от 
при 
до 0 при 
, а затем монотонно возрастает до 1 при 
или 
.
Полученные зависимости иллюстрируются следующими графиками:
на первом показана зависимость (сплошная линия) и 
(пунктирная линия) от для случая падения волны из воздуха в стекло (n=1.51)
на втором -для случая падения волны из стекла в воздух
В. Преломление
Для анализа поведения 
и 
воспользуемся следующим соображением - падающая волна на границе раздела разделяется на две - прошедшую и отраженную, причем энергия падающей волны (энергия, переносимая волной через границу раздела сред) уходит в энергию отраженной и преломленной волн (поскольку никаких других источников нет). Поэтому, поскольку коэффициент 
показывает отношение энергии прошедшей волны к энергии падающей, 
- отношение энергии отраженной волны к энергии падающей в p-волне, а 
и 
- аналогичные отношения в s-волне, должны выполнятся соотношения:
и 
Действительно, проверим это:
рассмотрим отдельно числитель:
таким образом действительно , аналогично
Таким образом, используя предыдущее исследование , можно сказать, что:
Для случая падения из воздуха в стекло (а можно заметить, что если среды поменять местами, то это значение не изменится) 
Между этими точками 
и ведут себя противоположно и .
Окончательно, монотонно возрастает от 
(
)до 
, а затем монотонно убывает до 0 (при 
), монотонно убывает от до 0 (при тех же пределах изменения 
). Причем как для случая падения из менее оптически плотной среды, так и из более оптически плотной. Ниже на рисунке представлены графически зависимости для обоих этих случаев.
С. Набег фаз при отражении и преломлении
Из формул Френеля следует, что отношения 
, 
, 
и 
могут в принципе получится и отрицательными. Поскольку амплитуда есть существенно положительная величина, в этом случае имеет место сдвиг фазы волны на 
. Далее выясним, когда такой сдвиг имеет место.
В случае отраженной p-волны 
, как установлено в п. А, эта функция
при n>1 больше 0 при 
и меньше 0 при 
, при n<0 промежутки знакопостоянства меняются местами. Таким образом, в случае падения из менее оптически плотной среды в более плотную сдвиг фаз на в отраженной p-волне наблюдается при 
, а в случае падения из более плотной в менее плотную - при .
В случае отраженной s-волны 
, эта функция меньше 0 при 
и больше 0 в противном случае. Таким образом, сдвиг фаз на 
в отраженной s-волне наблюдается при падении из менее оптически плотной среды в более плотную, и не наблюдается при падении из более плотной среды в менее плотную.
В случае произвольно падающей линейно поляризованной волны, которая представляется в виде суммы p и s-волн, в отраженной волне, таким образом, можно получить, в общем случае волну произвольной (эллиптической) поляризации.
Для исследования сдвига фаз в прошедшей волне, воспользуемся соотношениями, возникшими как промежуточные результаты при выводе (7) и (10):
и 
из этих соотношений видно, что, поскольку 
и 
, то всегда 
и 
. То есть, в прошедшей волне изменения фазы не происходит (причем это верно для волн произвольной поляризации).
Дополнительная литература:
Cивухин Д.В. “Общий курс физики. Оптика”, Москва, “Наука”,1985г.
Савельев И.В. “Курс общей физики”, том 2, Москва, “Наука”, 1979г.
[1] -здесь под n понимается показатель преломления той среды, куда падает луч относительно той, откуда он падает, в оптике в этом случае под n понимают показатель преломления оптически более плотной среды относительно оптически менее плотной, т.е. в этом случае в этой формуле стоит 
[2]-- числитель также не может обращаться в бесконечность, поскольку это возможно только в случае 
, но в этом случае 
, а это невозможно т.к. 
и 
[к1]-здесь под n понимается показатель преломления той среды, куда падает луч относительно той, откуда он падает, в оптике в этом случае под n понимают показатель преломления оптически более плотной среды относительно оптически менее плотной, т.е. в этом случае в этой формуле стоит
[к2]