Понятия, изучаемые в курсе начальной математики делятся на 4 группы: - 1 группа понятий связана с числами и действиями над ними;
-2 группа – алгебраические понятия (выражения, равенство, уравнение,…)
-3 группа - геометрические понятия (отрезок, луч, треугольник,…)
-4 группа – понятия. Связанные с величинами и их измерением.
Понятие – форма мышления, в которой отражаются существенные признаки объектов реального мира.
Термин "понятие" используется для обозначения мысленного образа некоторого класса вещей, процессов, отношений объективной реальности или нашего сознания. Сами понятия в объективном мире не существуют, они возникают в сознании человека, являясь их идеальными образами.
Можно сказать, что понятие есть результат обобщения восприятий и представлений очень большого количества однородных явлений и предметов.
Понятие всегда включает в себя существенные признаки данного множества объектов.
Существенными признаками понятия называются такие признаки, каждый из которых необходим, а все вместе достаточны, чтобы отличить объекты данного понятия от других объектов.
Существенные признаки параллелограмма:
1. Четырехугольник;
2. противоположные стороны параллельны;
3. противоположные стороны равны;
4. диагонали в точке пересечения делятся пополам;
5. противоположные углы равны и т.д.
При определении понятия «параллелограмм» указываются не все существенные признаки, а можно ограничиться признаками 1-2 (либо 1 и 3) (либо 1 и 4).
Признаки, входящие в определение понятия должны быть независимыми.
В каждом понятии различают его содержание и его объем.
Содержанием понятия называется совокупность существенных признаков, объектов, охватываемых понятием.
Объемом понятия называется совокупность объектов, на которые распространяется данное понятие.
Понятие "прямоугольник".
Содержание понятия: параллелограмм, противоположные стороны равны и параллельны. Углы прямые, …
Объем: множество всех прямоугольников.
Понятие "параллелограмм": (назвать содержание, объем понятия).
Между объемом и содержанием понятия существует такое соотношение: чем больше содержание, тем меньше его объем.
Понятие "прямоугольник". Объем: все прямоугольники.
Добавим новый признак - равенство прилежащих сторон, тогда объем сократится, в него войдут только квадраты.
Если объем одного понятия входит как часть в объем другого понятия, то первое понятие называется видовым, а второе родовым.
V1 Ì V2
V1 видовое понятие, V2 родовое понятие
Понятно, что названия "род" и "вид" имеют относительный характер.
V "квадрат" Ì V "прямоугольник" Ì V "параллелограмм"
 | |||
 |
родовое понятие видовое понятие
Отношение между ближайшим родовым и видовым понятием можно выразить следующим образом.
род четырехугольник
вид прямоугольник
2. Определение понятий.
Большая роль в формировании понятий принадлежит речевому и символическому их выражению.
Слово называют носителем понятия. Слово, обозначающее строго определенное понятие какой-либо области науки, называют научным термином.
"Ромб", "тетраэдр", "многоугольник" – математические термины.
Перечисление необходимых и достаточных признаков понятия, сведенное в связное предложение (речевое или символическое) есть определение понятия.
В определении должно быть раскрыто содержание понятия, в нем не должно содержаться лишних слов, не должно быть и пропусков.
Квадрат – это параллелограмм, у которого все углы прямые. (недостаточное)
Квадрат – это параллелограмм с равными сторонами и четырьмя прямыми углами (избыточное).
Необходимо, чтобы учащиеся понимали, что никакое определение не доказывается.
Определение понятия – суть условное соглашение, но оно выбирается разумно, исходя из реальных свойств того или иного понятия в соответствии с теми или иными требованиями.
а) "прямоугольник" – в школе определение избыточное с целью уменьшения числа доказываемых свойств.
б) привести другие определения параллелограмма, квадрата.
Некоторые первоначальные математические понятия не определяются: точка, множество, прямая, плоскость, расстояние.
Способы введения определений понятий.
1. Через ближайший род и видовое отличие.
"четное число, это такое натуральное число, которое делится на2".
"Взаимно простыми числами называются такие натуральные числа, наибольший общий делитель которых равен 1".
"Отрезок – геометрическая фигура, состоящая из двух точек и всех точек, лежащих между ними".
Определяя каждое из этих понятий, мы указываем родовое понятие, к которому определяемое понятие относится как вид. Это первый этап в конструировании определения.
Второй этап в конструировании определения состоит в том, что указываются те признаки, которые отличают этот вид (определяемое понятие) от других видов ближайшего рода.
2. Генетический способ.
Генетическое определение – это такой вид определения, который указывает на происхождение определяемого объекта.
а) Цилиндр – фигура, полученная при вращении прямоугольника вокруг своей стороны.
б) Если на прямой взять точку, то она разделит прямую на две части, называемые лучами (Г7).
При изучении математики в начальной школе определения через род и видовое отличие используется достаточно редко, это связано с возможностями детей. При изучении начальной математики чаще всего используются неявные определения, в которых содержание понятий раскрывается косвенным путем. Среди них различают контекстуальные и остенсивные.
В контекстуальных определениях содержание нового понятия раскрывается через отрывок текста, через контекст, через анализ конкретной ситуации, описывающей смысл вводимого понятия.
Примером контекстуального определения может служить определение уравнения и его решения, приведенное в учебнике математики 2 класса, в котором после записи Квадратик + 6=15 и чисел 0,5,9,10идет текст «К какому числу надо прибавить 6, чтобы получить 15? Обозначим неизвестное число латинской буквой х: х+6=15 – это уравнение. Решить уравнение, значит найти неизвестное число. В данном случае это число 9., так как 9+6=15.Объясни, почему числа 0,5,10 не подходят».
Остенсивные определения – это определения, раскрывающие существенные признаки предметов путем их указания, показа. Они используются для введения терминов путем демонстрации объектов. 2·7> 2·6, 78-9<78 (неравенства).
Если содержание понятия раскрывается в его определении, то процесс выяснения объема понятия называется классификацией. Т.е. под классификацией понимается разделение множества объектов, составляющих объем родового понятия, на виды.
 |
Правильная классификация предполагает соблюдение следующих условий:
1. Классификация проводится по определенному признаку.
2. Понятия, получающиеся в процессе классификации, должны быть независимыми, т.е. пересечение классов пусто.
3. Сумма объемов понятий, полученных при классификации, должна равняться объему исходного понятия.
n – Классификация треугольников по числу равных сторон, по величине наибольшего из углов: равносторонний, равнобедренный, произвольный; остроугольный, прямоугольный, тупоугольный.
3. Ошибки в определениях:
1. 
Отсутствие указания на родовое понятие.
"Ромб – это когда стороны равны"
"Подобные треугольники – когда их углы равны".
Ошибки подобного рода учениками допускаются очень часто.
2. Указывается не то родовое понятие, к которому данное понятие относится.
"Отношением называется сравнение двух чисел посредством деления" (отношение есть число, сравнение – некоторый процесс).
3. Избыточное определение (привести примеры)
4. Недостаточное определение (привести примеры)