Ситуационная (практическая) задача № 2




Содержание

Ситуационная (практическая) задача № 1. 3

Ситуационная (практическая) задача № 2. 14

Тестовые задания. 18

Список литературы.. 20


Ситуационная (практическая) задача № 1

Предполагается, что объем предложения Y некоторого блага для функционирующей в условиях конкуренции фирмы линейно зависит от цены этого блага X1 и заработной платы X2 сотрудников фирмы, производящих данное благо. Статистические данные за 20 месяцев собраны в следующую таблицу:

месяц У тыс.ед Х1 руб Х2 тыс.руб
  18,9    
  24,68 15,6 8,2
  21,4   10,4
  25,78 16,6 6,9
  22,94 16,8 9,3
  26,76 18,2 7,3
  23,64 18,8 12,3
  28,98 20,6 13,4
  26,66 22,2 15,7
  30,16 23,2 13,2
  26,12 23,4 17,7
  31,9   12,3
  29,68 25,6 16,6
  33,08 27,6 16,4
  30,9    
  36,84 30,8 13,8
  32,5   17,9
  35,7   14,9
  34,72 33,4 19,8
  39,52 33,4  

Требуется:

1. Построить корреляционное поле между объемом предложения блага и его ценой. Выдвинуть гипотезу о тесноте и виде зависимости между указанными показателями.

2. Оценить тесноту линейной связи между объемом предложения блага и его ценой с надежностью 0,95.

3. Рассчитать коэффициенты линейного уравнения регрессии для зависимости объема предложения блага от его цены.

4. Проверить статистическую значимость параметров уравнения регрессии с надежностью 0,95 и построить для них доверительные интервалы.

5. Рассчитать коэффициент детерминации. С помощью F -критерия Фишера оценить статистическую значимость уравнения регрессии с надежностью 0,95.

6. Дать точечный и интервальный прогноз с надежностью 0,95 объема предложения, если цена блага составит 20 руб.

7. Рассчитать коэффициенты линейного уравнения множественной регрессии и пояснить экономический смысл его параметров.

8.Проанализировать статистическую значимость коэффициентов множественного уравнения с надежностью 0,95 и построить для них доверительные интервалы.

9. Найти коэффициенты парной и частной корреляции. Проанализировать их.

10. Найти скорректированный коэффициент множественной детерминации. Сравнить его с нескорректированным (общим) коэффициентом детерминации.

11. С помощью F -критерия Фишера оценить адекватность уравнения регрессии с надежностью 0,95.

12. Дать точечный и интервальный прогноз с надежностью 0,95 объема предложения блага для фирмы, если цена блага составит 20 руб., а заработная плата сотрудников фирмы равна 10 тыс. руб.

13. Проверить построенное уравнение на наличие мультиколлинеарности по: критерию Стьюдента; критерию χ2. Сравнить полученные результаты.

 

Решение:

1. Построить корреляционное поле между объемом предложения блага и его ценой. Выдвинуть гипотезу о тесноте и виде зависимости между указанными показателями.

 

 

На основе анализа поля рассеяния выдвигаем гипотезу о том, что зависимость между объемом предложения блага и его ценой описывается линейной регрессионной моделью .

 

2. Оценить тесноту линейной связи между объемом предложения блага и его ценой с надежностью 0,95.

 

Оценим тесноту линейной связи с помощью коэффициента корреляции. Его можно рассчитать по формуле:

 

 

Для расчета заполним таблицу:

 

i yi xi1 xi1yi
  18,9     357,21 264,6
  24,68 15,6 243,36 609,1024 385,008
  21,4     457,96 342,4
  25,78 16,6 275,56 664,6084 427,948
  22,94 16,8 282,24 526,2436 385,392
  26,76 18,2 331,24 716,0976 487,032
  23,64 18,8 353,44 558,8496 444,432
  28,98 20,6 424,36 839,8404 596,988
  26,66 22,2 492,84 710,7556 591,852
  30,16 23,2 538,24 909,6256 699,712
  26,12 23,4 547,56 682,2544 611,208
  31,9     1017,61 797,5
  29,68 25,6 655,36 880,9024 759,808
  33,08 27,6 761,76 1094,286 913,008
  30,9     954,81 896,1
  36,84 30,8 948,64 1357,186 1134,672
  32,5     1056,25 1007,5
  35,7     1274,49 1142,4
  34,72 33,4 1115,56 1205,478 1159,648
  39,52 33,4 1115,56 1561,83 1319,968
Итого 580,86 473,2 11988,72 17435,39 14367,18

 

Тогда:

 

Проверим значимость коэффициента корреляции на уровне значимости 0,05. Для этого рассчитаем значения выражения :

Находим критическое значение критерия Стьюдента по таблице критических точек:

tкр=t(1- ;n-2)=t(0,975;18)=2,101.

Т.к. условие tф > tкр выполняется, то коэффициент парной корреляции статистически значим, т.е. они существенно отличается от нуля. Таким образом, линейную связь между признаками можно считать установленной.

 

3. Рассчитать коэффициенты линейного уравнения регрессии для зависимости объема предложения блага от его цены.

 

Рассчитаем коэффициенты линейного уравнения регрессии методом наименьших квадратов. Для этого составляем систему нормальных уравнений и находим ее решение:

 

 

Решением этой системы являются числа: b 0=10,42, b 1=0,787.

Получили уравнение регрессии: .

 

4. Проверить статистическую значимость параметров уравнения регрессии с надежностью 0,95 и построить для них доверительные интервалы.

 

Для проверки значимости заполним расчетную таблицу:

 

i Xi1 Yi
    18,9 21,440 -2,540 6,449 93,316
  15,6 24,68 22,699 1,981 3,925 64,964
    21,4 23,014 -1,614 2,604 58,676
  16,6 25,78 23,486 2,294 5,262 49,844
  16,8 22,94 23,643 -0,703 0,495 47,060
  18,2 26,76 24,745 2,015 4,059 29,812
  18,8 23,64 25,218 -1,578 2,489 23,620
  20,6 28,98 26,634 2,346 5,502 9,364
  22,2 26,66 27,894 -1,234 1,522 2,132
  23,2 30,16 28,681 1,479 2,188 0,212
  23,4 26,12 28,838 -2,718 7,389 0,068
    31,9 30,098 1,802 3,248 1,796
  25,6 29,68 30,570 -0,890 0,792 3,764
  27,6 33,08 32,144 0,936 0,876 15,524
    30,9 33,246 -2,346 5,505 28,516
  30,8 36,84 34,663 2,177 4,739 50,980
    32,5 34,820 -2,320 5,384 53,876
    35,7 35,608 0,092 0,009 69,556
  33,4 34,72 36,709 -1,989 3,958 94,868
  33,4 39,52 36,709 2,811 7,899 94,868
Сумма 473,2 580,86 580,86   74,294 792,808

 

Рассчитаем стандартную ошибку регрессии s:

Рассчитаем фактические значения t -критерия для каждого коэффициента:

, Þ

, Þ

Критическое значение t -критерия Стьюдента равно t 0,975;18=2,101.

Проверяем значимость коэффициента . Выдвигаем гипотезы:

H0: =0

H1: ¹0

Сравнивая расчетное и критическое значения (5,898 > 2,101), делаем вывод, что коэффициент статистически значим, т.е. он не может быть равен нулю.

Проверяем значимость коэффициента . Выдвигаем гипотезы:

H0: =0

H1: ¹0

Сравнивая расчетное и критическое значения (10,909 > 2,101), делаем вывод, что коэффициент также статистически значим, т.е. он не может быть равен нулю.

 

Определим доверительные интервалы для коэффициентов и :

 


10,42±2,101×1,767

10,42±3,711

 

0,787±2,101×0,072

0,787±0,152


5. Рассчитать коэффициент детерминации. С помощью F -критерия Фишера оценить статистическую значимость уравнения регрессии с надежностью 0,95.

 

Рассчитаем коэффициент детерминации. В случае парной регрессии он равен квадрату коэффициента корреляции:

=0,9322=0,8686

Рассчитаем фактическое значение F-статистики Фишера по формуле:

.

При уровне значимости a=0,05 и количестве степеней свободы k1=1, k2=20-2=18 определяем, что критическое значение F-статистики Фишера будет равно Fкр(0,05;1;18)=4,414. Т.к. неравенство Fф > Fкр выполняется, поэтому гипотеза H0 отклоняется и признается статистическая значимость уравнения.

 

6. Дать точечный и интервальный прогноз с надежностью 0,95 объема предложения, если цена блага составит 20 руб.

 

Точечный прогноз при =20 руб.:

 

=10,42+0,787×20=26,163 тыс. ед.

 

Доверительные интервалы находятся по формуле

 

, где

 

y в, y н – верхняя и нижняя граница доверительного интервала

- значение независимой переменной x, для которой определяется доверительный интервал

- квантиль распределения Стьюдента с доверительной вероятностью 1-a и числом степеней свободы n -2. При a=0,05 t0,975;18=2,101.

Значение s y определяется по формуле: .

y н=26,163-2,101×0,525=25,058 тыс. ед.

y в=26,163+2,101×0,525=27,266 тыс. ед.

 

7. Рассчитать коэффициенты линейного уравнения множественной регрессии и пояснить экономический смысл его параметров.

 

Найдем по методу наименьших квадратов оценки коэффициентов линейной регрессионной модели . Оценки коэффициентов в этом случае можно найти по формуле:

A=(XT×X)-1×XT×Y

 

Для этого выполним следующие расчеты:

       
   

          18,9
    15,6 8,2   24,68
      10,4   21,4
    16,6 6,9   25,78
    16,8 9,3   22,94
    18,2 7,3   26,76
    18,8 12,3   23,64
    20,6 13,4   28,98
    22,2 15,7   26,66
X=   23,2 13,2 Y= 30,16
    23,4 17,7   26,12
      12,3   31,9
    25,6 16,6   29,68
    27,6 16,4   33,08
          30,9
    30,8 13,8   36,84
      17,9   32,5
      14,9   35,7
    33,4 19,8   34,72
    33,4     39,52

                                         
XT=   15,6   16,6 16,8 18,2 18,8 20,6 22,2 23,2 23,4   25,6 27,6   30,8     33,4 33,4
    8,2 10,4 6,9 9,3 7,3 12,3 13,4 15,7 13,2 17,7 12,3 16,6 16,4   13,8 17,9 14,9 19,8  

    473,2 276,1
XT×X= 473,2 11988,72 6926,56
  276,1 6926,56 4116,37

  0,794 -0,021 -0,019
(XT×X)-1= -0,021 0,004 -4,561E-03
  -0,019 -4,561E-03 9,177E-03

  580,86
XT×Y= 14367,176
  8262,868
   

  11,660
A=(XT×X)-1×XT×Y= 1,088
  -0,606

 

 

8.Проанализировать статистическую значимость коэффициентов множественного уравнения с надежностью 0,95 и построить для них доверительные интервалы.

 

Заполним вспомогательную таблицу:

 

i Y X1 X2
  18,9     19,623 0,523 102,880
  24,68 15,6 8,2 23,668 1,024 19,036
  21,4   10,4 22,770 1,877 58,415
  25,78 16,6 6,9 25,545 0,055 10,647
  22,94 16,8 9,3 24,307 1,870 37,247
  26,76 18,2 7,3 27,044 0,080 5,212
  23,64 18,8 12,3 24,666 1,052 29,192
  28,98 20,6 13,4 25,958 9,132 0,004
  26,66 22,2 15,7 26,305 0,126 5,679
  30,16 23,2 13,2 28,909 1,565 1,248
  26,12 23,4 17,7 26,399 0,078 8,544
  31,9   12,3 31,414 0,236 8,162
  29,68 25,6 16,6 29,460 0,048 0,406
  33,08 27,6 16,4 31,758 1,747 16,297
  30,9     31,100 0,040 3,448
  36,84 30,8 13,8 36,817 0,001 60,793
  32,5   17,9 34,549 4,200 11,951
  35,7   14,9 37,456 3,085 44,316
  34,72 33,4 19,8 36,010 1,664 32,228
  39,52 33,4   37,101 5,852 109,768
Сумма         34,255 565,4738

 

Рассчитаем стандартные ошибки коэффициентов регрессии по формуле:

, j=0,1,…,m,

где zjj - диагональные элементы обратной матрицы (XT×X)-1, которые равны соответственно 0,794, 0,00353, 9,177×10-3.

,

,

,

 

По таблице критических точек определяем фактическое значение t -критерия Стьюдента:

tкр=t0,975;17=2,11.

Неравенство tФ > tкр выполняется для всех коэффициентов, поэтому все коэффициенты уравнения регрессии статистически значимы, т.е. они существенно отличны от нуля.

Построим доверительные интервалы для коэффициентов уравнения регрессии:


11,66±2,11×1,265

11,66±2,67

 


1,088±2,11×0,0843

1,088±0,91

 


-0,606±2,11×0,136

-0,606±0,287

 


9. Найти коэффициенты парной и частной корреляции. Проанализировать их.

 

Найдем коэффициенты парной корреляции.

(был найден ранее)

 

Найдем коэффициенты частной корреляции. Частные коэффициенты корреляции в случае трех переменных находятся по формуле:

 

 

Тогда:

 

10. Найти скорректированный коэффициент множественной детерминации. Сравнить его с нескорректированным (общим) коэффициентом детерминации.

 

Рассчитаем скорректированный коэффициент множественной детерминации:

 

Скорректированный коэффициент множественной детерминации определяет тесноту связи с учетом степеней свободы общей и остаточной дисперсий. Он дает такую оценку тесноты связи, которая не зависит от числа факторов и поэтому может сравниваться по разным моделям с разным числом факторов. Оба коэффициента указывают на очень высокую (более 90%) детерминированность результата в модели факторами и .

 

11. С помощью F -критерия Фишера оценить адекватность уравнения регрессии с надежностью 0,95.

 

Найдем коэффициент множественной корреляции и детерминации:

 

 

R2=0,9692=0,939, Þ регрессия y на x1 и x2 объясняет 93,9% колебаний значений y.

 

Рассчитаем фактическое значение F-статистики Фишера по формуле:

 

При уровне значимости a=0,05 и количестве степеней свободы k1=2, k2=20-3=17 определяем, что критическое значение F-статистики Фишера будет равно Fкр(0,05;2;17)=3,592. Неравенство Fф > Fкр выполняется, поэтому гипотеза H0 отклоняется и признается статистическая значимость уравнения регрессии.

 

12. Дать точечный и интервальный прогноз с надежностью 0,95 объема предложения блага для фирмы, если цена блага составит 20 руб., а заработная плата сотрудников фирмы равна 10 тыс. руб.

 

Выполним точечный и интервальный прогноз объема предложения блага.

 

=20 руб., =10 тыс. руб.

 

=11,66+1,088×20-0,606×10=27,366 тыс. ед.

 

 
 

           
XР=         =  
             

XР×(XT×X)-1= 0,197 0,004 -0,018

 

=0,103

 

 

=27,366±2,11×0,456=27,366±0,962

=26,404 тыс. ед., =28,328 тыс. ед.

 

13. Проверить построенное уравнение на наличие мультиколлинеарности по: критерию Стьюдента; критерию χ2. Сравнить полученные результаты.

 

Проверим наличие или отсутствие мультиколлинеарности для множественной регрессионной модели.

 

а) Если составить матрицу парных коэффициентов между объясняющими переменными, то получится следующая матрица:

Так как , то коэффициент корреляции между объясняющими переменными значимо отличается от 0. Таким образом, можно предположить, что в данном случае есть мультиколлинеарность.

 

б) Рассчитаем определитель матрицы r:

 

 

Рассчитываем фактическое значение статистики c2:

 

 

Табличное значение статистики c2 при k=1 и a=0,05 равно: . Неравенство не выполняется, поэтому окончательно делаем вывод о наличии мультиколлинеарности.

 

 


Ситуационная (практическая) задача № 2

Имеются поквартальные данные по товарообороту некоторой компании в 1997-2010 гг.

 

год Товарооборот млн.руб
   
   
   
   
   
   
   
   
   
   
   
   
   
   

 

Требуется: 1. Проверить гипотезу о наличии тренда во временном ряде. 2. Рассчитать коэффициенты автокорреляции. Проверить наличие сезонных колебаний во временном ряде. 3. Оценить параметры линейной трендовой модели, проверить статистическую значимость соответствующего уравнения регрессии с надежностью 0,99. 4. Дать точечный и интервальный прогноз товарооборота компании компании на 2012 год с надежностью 0,99.

 

Решение:

1. Проверить гипотезу о наличии тренда во временном ряде.

 

Для проверки гипотезы о наличии тренда воспользуемся критерием серий. Вычислим выборочную медиану исходных данных:

Ме (yt) = 87 млн. руб.

Вместо исходных элементов временного ряда Х(t) сформируем последовательность знаков: +, если yt > Me,

−, если yt < Me.

Полученные результаты для временного ряда оформим в виде таблицы:

 

год yt  
    -
    -
    -
    +
    -
    -
    +
    -
    +
    -
    +
    +
    +
    +

 

Вычислим характеристики данной последовательности: количество серий – ν, длину максимальной серии – τ: ν =8, τ = 4.

Проверим удовлетворяют ли эти значения неравенствам:

ν (14) > 0,5(14 + 2 - 1,65 ) = 5,03

τ (14) < 1,43ln(14 + 1) = 3,87

Поскольку второе неравенство не выполняется, то гипотеза об отсутствии тренда отвергается.

 

2. Рассчитать коэффициенты автокорреляции. Проверить наличие сезонных колебаний во временном ряде.

 

Оценим автокорреляцию, используя следующую формулу:

, где

В результате расчетов для от 1 до 4 получаем следующие значение автокорреляции:

 

  0,37
  0,316
  0,04
  0,336

 

Значения коэффициентов автокорреляции позволяют сделать вывод об отсутствии сезонности.

 

3. Оценить параметры линейной трендовой модели, проверить статистическую значимость соответствующего уравнения регрессии с надежностью 0,99.

 

Найдем оценку уравнения линейного тренда методом наименьших квадратов. Составим расчетную таблицу:

 

год t yt yt×t t2
         
         
         
         
         
         
         
         
         
         
         
         
         
         
Итого        

 

Тогда:

 

Решением этой системы являются числа: a0=78,242 и a1=1,073.

Следовательно, уравнение тренда будет иметь вид: .

Для проверки значимости уравнения рассчитаем фактическое значение F-критерия Фишера. Для этого заполним таблицу:

 

год
    79,314 10,984 105,796 42,25
    80,387 13,055 5,224 30,25
    81,459 2,374 10,796 20,25
    82,532 29,900 2,939 12,25
    83,604 21,200 53,082 6,25
    84,677 44,581 68,653 2,25
    85,749 5,065 2,939 0,25
    86,822 0,676 0,082 0,25
    87,895 26,066 45,082 2,25
    88,967 15,737 1,653 6,25
    90,040 0,002 13,796 12,25
    91,112 0,013 22,224 20,25
    92,185 7,926 75,939 30,25
    93,257 1,580 32,653 42,25
Итого     179,160 440,857 227,5

 

Тогда:

При уровне значимости a=0,01 и количестве степеней свободы k1=1, k2=14-2=12 определяем, что критическое значение F-статистики Фишера будет равно Fкр(0,01;1;12)=9,33. Неравенство Fф > Fкр выполняется, поэтому уравнение тренда статистически значимо и адекватно описывает исходные данные.

 

4. Дать точечный и интервальный прогноз товарооборота компании на 2012 год с надежностью 0,99.

 

С помощью уравнения тренда рассчитаем точечный и интервальный прогноз товарооборота компании на 2012 год.

 

Точечный прогноз находим по уравнению тренда при t =16:

 

=78,242+1,073×16=95,402 млн. руб.

Интервальный прогноз:

=95,402±3,055×2,447=95,402±7,473

=87,929 млн. руб., =102,875 млн. руб.

 


Тестовые задания

Необходимо из предложенных вариантов ответа на вопрос теста выбрать единственно верный, по Вашему мнению.

1. По характеру различают связи:

а) функциональные и корреляционные;

б) функциональные, криволинейные и прямолинейные;

в) корреляционные и обратные;

г) статистические и прямые.

 

Ответ: a).

 

2. Коэффициент детерминации R2 для уравнения у* = 20х-3 равен 0,75. Это означает, что (выберите неверное утверждение):

a) модель объясняет имеющиеся данные на 75%;

b) доля объясненной части вариации переменной Y вокруг своего среднего составляет 0,75;

c) доля объясненной части вариации переменной Y вокруг своего среднего составляет 0,25;

d) доля необъясненной части вариации переменной Y вокруг своего среднего составляет 0,25.

 

Ответ: c).

 

3. При расчете коэффициента детерминации получен коэффициент наклона линии регрессии, равный -0,5. Это означает, что:

a) при увеличении независимой переменной на 1 ед. измерения, следует ожидать уменьшения зависимой переменной на 0,5 ед. измерения;

b) при увеличении независимой переменной на 1 ед. измерения, следует ожидать уменьшения зависимой переменной на 50%;

c) при увеличении независимой переменной на 1 ед. измерения, зависимая переменная уменьшится на 0,5 ед. измерения;

d) данное значение никак не интерпретируется.

 

Ответ: a).

 

4. Следствием мультиколлинеарности является

а) невозможность получить оценки параметров уравнения регрессии;

b) несостоятельность полученных оценок параметров уравнения регрессии;

c) смещенность оценок параметров уравнения регрессии;

d) увеличение стандартных ошибок параметров уравнения регрессии.

 

Ответ: c).

 

5. Модель множественной регрессии - это модель...

a) описывающая влияние множества факторов на исследуемый показатель;

b) построенная по множеству признаков;

с) для которой исследуемый показатель в каждой ситуации принимает множество значений;

d) имеющая множество интерпретаций.

 

Ответ: a).

 

6. Вывод о наличии гетероскедастичности делают, если

a) > ;

b) Fнабл > Fтаб;

c) < ;

d) Fнабл < Fтаб.

 

Ответ: b).

 

7. Если статистика Дарбина-Уотсона равна 4, это говорит

a) об отсутствии автокорреляции остатков;

b) о наличии положительной автокорреляции остатков;



Поделиться:




Поиск по сайту

©2015-2024 poisk-ru.ru
Все права принадлежать их авторам. Данный сайт не претендует на авторства, а предоставляет бесплатное использование.
Дата создания страницы: 2016-04-26 Нарушение авторских прав и Нарушение персональных данных


Поиск по сайту: