Задачи изучения темы по программе М.И. Моро
1. Познакомить детей с вопросами теории:
- переместительным свойством сложения,
- связью между компонентами и результатом действия сложения,
- терминологией: названиями знаков "+" - плюс, "–" – минус, названиями компонентов и результатов действия сложения (слагаемые, сумма) и вычитания (уменьшаемое, вычитаемое, разность).
2. Познакомить с вычислительными приемами сложения и вычитания в пределах 10. Научить вычислять в уме, на основе выполнения умственных действий, без опоры на наглядность (что предполагает выполнение перцептивных действий) или выполнение предметных действий.
3. Выработать осознанные и прочные вычислительные навыки, доведенные до автоматизма, по отношению ко всем табличным случаям, а также добиться прочного усвоения состава чисел первого десятка.
Многие методисты считают, что случаи сложения дети должны непроизвольно запомнить в процессе выполнения предметно-практических действий. А затем, после составления таблиц, нужно дать установку на их запоминание. По мнению М.А. Бантовой, выработка осознанных вычислительных навыков возможна только тогда, когда дети освоят рациональные приемы вычислений, т.е. узнают, как удобнее прибавлять и вычитать, научатся применять эти приемы и постепенно запомнят результаты (таблицы). Именно такое поэтапное овладение вычислениями, а не прямое заучивание таблиц способствует развитию внимания, речи и мышления первоклассников, а также готовит их к дальнейшим более сложным вычислениям.
В защиту необходимости введения вычислительных приемов М.А. Бантова и другие авторы приводят следующий аргумент. Многие учителя наблюдают, как те дети, которые приходят в школу с заученными таблицами, на протяжении всего изучения действий в пределах 10 (20) упражняются только в воспроизведении результатов: быстро называют ответ и отказываются объяснять, как они решали ("Никак не решал, я всегда это знал"). Позднее, когда заучивание ответов становится невозможным (сложение и вычитание в пределах 100), они с трудом преодолевают стереотип, по-прежнему спешат быстро называть результат, допускают ошибки, раздражаются оттого, что не умеют выполнять действия над числами в уме, как этому научились другие. Именно поэтому в программе М.И. Моро предусмотрено поэтапное знакомство с вычислительными приемами сложения и вычитания в пределах 10, с последующим составлением и постепенным заучиванием таблиц.
Этапы изучения темы по программе М.И. Моро
1-й этап. Приемы сложения и вычитания вида ± 1. (Учебник математики, 1 класс, часть 1, с. 72).
Теоретическая основа данных вычислительных приемов – вопросы нумерации (знание принципа построения натурального ряда чисел). Суть приемов: прибавить 1 – значит назвать следующее число, вычесть 1 – значит назвать предыдущее число.
На данном этапе дети также знакомятся с названиями арифметических действий сложения и вычитания, знаков: "+" – плюс, "–" – минус. Составляются таблицы сложения и вычитания для случаев вида + 1, – 1.
2-й этап. Приемы сложения и вычитания вида ± 2, ± 3, ± 4. (Учебник математики, 1 класс, часть 1, с. 74 – 105, часть 2, с. 8 - 13).
Теоретическая основа данных вычислительных приемов – конкретный смысл арифметических действий сложения и вычитания. Суть приемов: прибавление и вычитание по частям. На данном этапе также вводятся названия компонентов и результатов действия сложения: слагаемые, сумма.
На данном этапе составляются таблицы сложения и вычитания для случаев вида + 2, – 2, + 3, – 3, + 4, – 4. Вводится увеличение и уменьшение числа на несколько единиц, разностное сравнение.
3-й этап. Переместительное свойство сложения. Приемы сложения вида + 5, + 6, + 7, + 8, + 9. (Учебник математики, 1 класс, часть 2, с. 14 – 23).
Теоретическая основа данных вычислительных приемов – переместительное свойство сложения. Суть приемов: перестановка слагаемых.
На данном этапе составляются таблицы сложения для случаев вида + 5,
+ 6, + 7, + 8, + 9.
4-й этап. Связь между компонентами и результатом действия сложения.. Приемы вычитания вида – 5, – 6, – 7, – 8, – 9. (Учебник математики, 1 класс, часть 2, с. 24 – 33)
Теоретическая основа данных вычислительных приемов – связь между суммой и слагаемыми. Суть приемов: вычитание в опоре на знание состава числа, например: 10 – 7: 10 – это 7 и 3, вычту 7 (одно слагаемое), получится 3 (другое слагаемое).
На данном этапе также вводятся названия компонентов и результатов действия вычитания: уменьшаемое, вычитаемое, разность.
На всех этапах ведется работа над усвоением состава чисел первого десятка.
Подготовка к изучению темы
Подготовка ведется при изучении нумерации чисел от 1 до 10. Дети знакомятся с конкретным смыслом и знаками действий сложения и вычитания, учатся записывать и читать примеры на сложение и вычитание (например: 2 + 3 = 5 – к двум прибавить 3, получится 5; 5 – 3 = 2 – из пяти вычесть 3, получится 2). На основе действий с предметами или иллюстраций учащиеся решают примеры на сложение и вычитание в пределах десяти. Постепенно усваивается связь: если к 2 прибавить 3, получится 5, значит, 5 состоит из чисел 2 и 3. Таким образом происходит знакомство с составом чисел первого десятка и заучивание наизусть состава чисел 2, 3, 4, 5. А усвоение состава чисел 6, 7, 8, 9, 10 будет осуществляться в теме "Сложение и вычитание в пределах 10". На этапе подготовки важно также научить детей выполнять присчитывание и отсчитывание, а не только пересчет предметов.
Методика работы над вычислительными приемами на каждом этапе
1-й этап. Приемы сложения и вычитания вида ± 1.
При изучении нумерации дети уже решали примеры вида ± 1, объясняя, как образуется то или иное число. В конце изучения темы следовало обратить внимание учащихся на то, что когда к числу прибавляют 1, то получают число, которое следует за ним при счете, а когда вычитают 1, то получают предыдущее число, т.е. число, которое при счете идет перед данным.
С повторения этого материала и нужно начать ознакомление с приемами прибавления и вычитания единицы. После рассмотрения нескольких случаев прибавления и вычитания числа 1 в опоре на предметно-практические действия или на числовую лесенку нужно подвести детей к пониманию смысла вычислительных приемов, к переформулировке того, с чем они познакомились при изучении нумерации: если к числу прибавляют 1, то получают следующее число. Задается вопрос: "Как же прибавить к числу единицу?" Делается вывод, что нужно назвать следующее число. Аналогичное обобщение делается и для вычитания единицы.
Для тех детей, кому трудно сразу перейти на уровень умственных действий, вводится прием, предполагающий выполнение перцептивных действий. В качестве опоры используется числовой ряд, представленный на линейке, или числовой луч (если он был введен при изучении нумерации). В учебнике на с.72 дается некое подобие числового луча в виде бревнышка, по которому шагают Буратино и Чипполино. Дети приходят к выводу: чтобы прибавить к какому-либо числу 1, надо сделать по линейке (числовому лучу) от этого числа шаг вправо; чтобы вычесть из какого-либо числа 1, надо сделать по линейке (числовому лучу) от этого числа шаг влево.
Далее составляются таблицы сложения и вычитания + 1, – 1.Желательно находить табличные результаты без использования наглядности, на основе применения введенных вычислительных приемов. А для проверки правильности вычислений можно использовать иллюстрации или выполнение предметных действий.
Дети при составлении таблиц должны читать примеры по-разному, используя ранее усвоенную и введенную на данном уроке терминологию: к 2-м прибавить 1, получится 3; из 5-ти вычесть 1, получится 4; 3 увеличить на 1, получится 4; 6 уменьшить на 1, получится 5; 7 плюс 1 равно восьми; 3 минус 1 равно двум.
Нужно выяснить, кто из учеников уже запомнил таблицы. Ему другие дети предлагают примеры вразбивку. Играют в угадывание задуманного примера. Далее всем первоклассникам дается установка на запоминание таблиц.
2-й этап. Приемы сложения и вычитания вида ± 2, ± 3, ± 4
На этапе изучения нумерации важно было приучать детей выполнять присчитывание и отсчитывание (а не пересчет предметов) при нахождении результата сложения и вычитания. Например, в корзинку кладется 5 грибов, нужно прибавить еще 2. Дети выполняют присчитывание: 5 грибов, кладем в корзину еще 1 гриб, будет 6, да еще 1, будет 7. При этом не производится пересчет тех грибов, которые уже лежат в корзине. Аналогично производится и отсчитывание. Оно является более трудным для учеников, поскольку требует умения выполнять счет в обратном порядке.
Присчитывание и отсчитывание является основой для введения новых вычислительных приемов
Подготовкой также служит решение примеров вида + 1 + 1, – 1 – 1. В этих случаях по шкале линейке или числовому ряду делается два шага вправо или влево.
Дети впервые встречаются с решением примеров в два действия. Поэтому надо рассмотреть, как они записываются, читаются и решаются. Например, 5 + 1 + 1: к 5 прибавить 1 и еще 1, или 5 плюс 1 и еще плюс 1. Иногда добавляют слова "полученный результат": из 8 вычесть 1 и из полученного результата вычесть 1. При записи примеров учителя обычно советуют детям записывать полученный результат над первым знаком действия, это предупреждает ошибки:
5 + 1 + 1 = 7
Возможны 2 подхода к изучению приемов ± 2, ± 3, ± 4.
1-й подход предусматривает поэтапное введение приемов: сначала ± 2, затем
± 3, а потом ± 4. При этом на изучение и закрепление каждого приема отводится несколько уроков. Именно такой вариант работы предусмотрен в учебнике.
2-й подход предполагает знакомство на одном уроке с приемом прибавления и вычитания по частям для всех случаев сразу. На последующих уроках предлагается решение примеров на все изученные случаи. А таблицы сложения и вычитания вводятся в том порядке, который предусмотрен учебником. Такой подход позволяет ученикам увидеть общность всех приемов, вводимых на данном этапе. Сформированные у детей обобщения позволят им в дальнейшем легче усвоить приемы сложения и вычитания с переходом через десяток, в которых также предусмотрено сложение и вычитание по частям.
Для каждого из приемов используется следующая методика:
- повторяется состав того числа, которое мы прибавляем или вычитаем;
- повторяются ранее выученные таблицы;
- детям предлагается на основе действий с предметами рассмотреть, как можно прибавить или вычесть число по частям.
- из всех возможных вариантов в процессе совместного обсуждения выбираются наиболее удобные.
Такими вариантами являются для каждого из приемов соответственно:
+ 2 – 2.
+ 1+ 1 – 1- 1
+ 3 + 3 – 3 – 3.
+ 1+ 2 + 2+ 1 – 2- 1 – 1- 2
+ 4 – 4.
+ 2 + 2 – 2- 2
- различные примеры на данные вычислительные приемы решаются также с помощью рисунков или числового луча (шкалы линейки).
- происходит обобщение способа действия.
Например: чтобы из числа вычесть 4, нужно вычесть 2, а потом еще 2.
На этапе закрепления дети решают примеры сначала с подробным объяснением вслух, чтобы вспомнить способ действия, а затем с объяснением про себя. К развернутому объяснению стоит возвращаться в случае возникновения вычислительных ошибок. В качестве наглядной опоры можно использовать числовой ряд. Например, прибавляя число 2, ученики рассказывают, как они считают и фиксируют пальцем сначала исходное число (например, 5), потом промежуточный результат (число 6) и конечный результат (7). Через некоторое время они начинают считать про себя, не фиксируя промежуточный результат, а называя только конечный. И, наконец, следует переход к счету "в уме" без фиксирования цифр пальцами.
Детям можно разрешать пользоваться тем способом вычисления, который им наиболее удобен. Например, для случаев ± 4 кому-то из детей может показаться более удобным не вариант ± 2 ± 2, а вариант ± 1 ± 3, или ± 3 ± 1.
Отдельный урок всегда посвящается составлению и заучиванию таблиц. М.А. Бантова рекомендует показывать детям, как заучивают таблицы. Например, прочитать вслух и понять, как построена таблица; прочитать про себя, стараясь запомнить каждый пример с ответом; закрыть ответы и читать примеры, стараясь вспомнить ответы, проверяя себя по таблице; закрыть примеры и по ответам стараться вспомнить примеры.
Для запоминания таблиц на последующих уроках важно предлагать разнообразные упражнения, в том числе такие:
- устный счет с использованием средств обратной связи (математического "веера", разрезных цифр и т.п.);
- дидактические игры:
+ 1 -2 +3
примеры-"цепочки", например 3 → ٱ → ٱ → ٱ
круговые примеры: ответ одного примера служит началом другого;
соединение примеров с ответами, например "Приведи корабль в свою гавань",
исправление ошибок, например, "Найди ошибки Незнайки" и др.
- работа детей в парах: взаимная проверка знания таблиц в игровой форме; игра в домино (на одной половинке записан пример, а на другой – число – ответ другого примера);
- индивидуальные задания на карточках: вставь пропущенные числа, исправь ошибки, найди и выпиши примеры с одинаковыми ответами, сравни выражения и т.п.
3-й этап. Переместительное свойство сложения. Приемы сложения вида + 5,
+ 6, + 7, + 8, + 9.
На данном этапе сначала изучается переместительное свойство сложения: от перестановки слагаемых сумма не изменяется.
На следующем уроке дети знакомятся с приемами сложения вида + 5, 6, 7, 8, 9. Во всех этих случаях втрое слагаемое больше первого (1 +9, 3 + 5, 4 + 6 и т.п.). Если при вычислениях применить перестановку слагаемых, то все эти случаи сводятся к ранее изученным (9 + 1, 5 + 3, 6 + 4 и т.д.).
Для показа рациональности использования приема перестановки детям предлагаются задачи практического характера, в том числе и те, которые изображены в учебнике с помощью рисунков. Например, нужно к 1 + 6. На рисунке в учебнике Пьеро к одному кубику переносит 6. Это долго и неудобно. А Буратино оказался более сообразительным, он к 6-ти кубикам перенес 1. Это удобнее.
После рассмотрения нескольких подобных случаев делается вывод: легче к большему числу прибавлять меньшее, чем к меньшему прибавлять большее, а переставлять числа при сложении всегда можно – сумма от этого не изменяется.
Таблицы сложения + 5, + 6, + 7, + 8, + 9 (с.16) составляются на основе использования приема перестановки слагаемых. В окончательном варианте таблицы могут выглядеть так:
| + 5 | + 6 | + 7 | + 8 | + 9 |
| 1 + 5 2 + 5 3 + 5 4 + 5 5 + 5 | 1 + 6 2 + 6 3 + 6 4 + 6 | 1 + 7 2 + 7 3 + 7 | 1 + 8 2 + 8 | 1 + 9 |
При составлении таблиц желательно одновременно проговаривать состав чисел, например 1 + 5 = 6, 6 – это 1 и 5. Надо проследить, как изменяются числа в каждом столбике. Например, в первом столбике 1-е слагаемое увеличивается на 1, второе слагаемое не изменяется, это число 5; сумма увеличивается на 1.
Выясняется, какие случаи не записаны в таблице и почему.
На последующих уроках большое внимание должно быть уделено запоминанию таблиц и состава чисел первого десятка.
4-й этап. Связь между компонентами и результатом действия сложения. Приемы вычитания вида - 5, - 6, - 7, - 8, - 9.
На данном этапе сначала изучается связь между компонентами и результатом действия сложения: если из суммы вычесть одно из слагаемых, то получится другое слагаемое.
Возможны 2 подхода к изучению приемов - 5, 6, 7, 8, 9.
1-й подход предусматривает поэтапное введение приемов: сначала 6 - , затем 7 - , 8 - , 9 - , 10 - . При этом вычитаются только числа 5, 6, 7, 8, 9, т.к. вычитание чисел 1, 2, 3, 4 было рассмотрено на предыдущих этапах. При этом на изучение и закрепление каждого приема отводится обычно два урока. Именно такой вариант работы предусмотрен в учебнике.
2-й подход предполагает знакомство на одном уроке с приемом вычитания для всех случаев сразу. На последующих уроках предлагается решение примеров на все изученные случаи.
Перед введением данных приемов необходимо вспомнить состав чисел первого десятка, а также связь между суммой и слагаемыми.
Ознакомление с приемом можно построить следующим образом: предложить детям решить пример 8 – 6. Вычитание по частям здесь оказывается неудобным, поэтому вводится более рациональный способ:
8 – 6
8 = 6 + 2
Чтобы вычесть, нужно вспомнить состав числа (пример-"помощник"): 8 – это 6 да еще сколько? (2). Значит, если из суммы 8 вычтем одно слагаемое 6, то получим другое слагаемое 2. После решения нескольких примеров подобного типа, нужно сделать вывод: в подобных случаях мы заменяем суммой то число, из которого вычитаем (вспоминаем состав этого числа), а одним из слагаемых этой суммы является число, которое мы вычитаем, другое же слагаемое будет ответом примера на вычитание.
Все рассмотренные случаи вычитания ученики должны также запомнить в результате выполнения разнообразных упражнений и заучивания.
В процессе работы над вычислительными приемами и таблицами нужно учить читать примеры по-разному, используя введенную к данному моменту терминологию. По мере изучения новых терминов можно постепенно заполнять таблицу, которая будет служить опорой для выполнения речевых действий:
| 3 + 2 = 5 | 5 – 2 = 3 |
| да будет | без будет |
| К прибавить, получится | Из вычесть получится |
| увеличить на получится | уменьшить на получится |
| плюс равно | минус равно |
| Сумма и равна | Разность и равна |
| 1 слагаемое - , 2 слагаемое - . Сумма - | Уменьшаемое -, вычитаемое - . Разность - |
Примечание. Последние 2 варианта чтения будут введены на более поздних этапах.
Такая таблица позволяет не только запоминать термины и правильно их использовать, но и демонстрирует связь между сложением и вычитанием, между взаимно обратными понятиями. Желательно использовать не только общеклассную таблицу, но и подобные индивидуальные карточки, которыми дети могут пользоваться при выполнении разночтения. Учителю нужно чаще самому использовать в речи математическую терминологию и побуждать к этому учеников, предлагая им задания, требующие применения новых речевых оборотов.
Методика изучения сложения и вычитания в пределах 10
в вариативных программах по математике
В программе Н. Б. Истоминой (модель "Гармония") не предусмотрено изучение такой системы вычислительных приемов, как в программе М. И. Моро. При обучении сложению основное внимание уделяется работе над составом чисел первого десятка. Учащиеся устанавливают соответствия между предметными действиями и математическими записями, а также между рисунками и математическими записями. Постепенно составляется таблица сложения, которая в учебниках сопровождается записью "Постарайся запомнить!" Изучив переместительное свойство сложения, ученики смогут сократить количество табличных случаев для запоминания.
Изучение табличного вычитания опирается на знание соотношения между частью и целым. Знание способа нахождения части ("Чтобы найти часть, нужно из целого вычесть другую часть") заменяет детям на данном этапе знание связи между суммой и слагаемыми. Пользуясь этим способом, первоклассники находят результаты вычитания в опоре на знание состава чисел. Таблицы вычитания при этом не составляются.
Аналогичный подход предлагает и И.И. Аргинская (система Л.В. Занкова). Составляются таблицы сложения как результат работы над составом чисел. После изучения переместительного свойства сложения осуществляется сокращение таблицы, выделение того необходимого минимума равенств, которые дети должны будут выучить наизусть. Не заучиваются и случаи + 1, поскольку дети могут установить, что здесь можно воспользоваться знанием натурального ряда и назвать следующее число. И.И. Аргинская предлагает организовать работу по сокращению таблиц так, чтобы она запомнилась детям как яркая эмоциональная доминанта. Сначала на листах дается полная запись таблицы, подсчитывается количество равенств (их 36), затем ярким фломастером вычеркиваются "лишние равенства". В результате всех сокращений остается всего 12 равенств для заучивания. Каждый ученик выписывает их на отдельную карточку. Этим своеобразным справочником дети будут пользоваться при выполнении сложения и вычитания. Чем чаще и активнее ученики будут использовать карточку, тем быстрее они запомнят таблицы. Все случаи вычитания школьники получают из таблицы сложения на основе знания связи между сложением и вычитанием.
В программе Л.Г. Петерсон идет одновременное изучение нумерации чисел первого десятка и изучение состава чисел, который и является основой для составления таблицы сложения. Таблица дается как часть таблицы Пифагора. Большое внимание уделяется также присчитыванию и отсчитыванию по числовому лучу.
Широко используется выполнение сложения и вычитания с помощью числового луча или шкалы линейки и в программах В.Н. Рудницкой, Э.И. Александровой.
П.М. Эрдниев (программа "Укрупнение дидактических единиц на уроках математики") предлагает вводить сразу четверки взаимосвязанных примеров:
 |
1 + 2 =3 3 – 1 = 2
2 + 1 = 3 3 – 2 = 1
Это помогает увидеть связь между сложением и вычитанием, а также применение переместительного свойства сложения.