1. Формула Кардано.
Рассмотрим приведенное алгебраическое уравнение 3-ей степени: x3+ax2+bx+c=0 (11).
(общее уравнение 3-ей степени сводится к приведенному делением на коэффициент при старшей степени). С помощью замены x=y-a/3 это уравнение примет вид y3+py+q=0 (11’), где p и q – новые коэффициенты, зависящие от a,b,c. Пусть у0 – какой либо корень уравнения (11’). Представим его в виде у0=α+β, где α и β – неизвестные пока числа, и подставим в уравнение. Получим α3+β3+(α+β)(3αβ+p)+q=0 (12). Выберем теперь α и β так, чтобы 3αβ+р=0. Такой выбор чисел α и β возможен, т.к. они (вообще говоря комплексные) удовлетворяют системе уравнений
α+β=у0;
αβ=-р/3, а значит, существуют.
При этих условиях уравнение (12) примет вид α3+β3+q=0, а т.к. еще α3β3=-р3/27, то получаем систему
α3+β3=-q;
α3β3=-р3/27,
из которой по теореме Виета следует, что α3 и β3 являются корнями уравнения t2+qt-p3/27=0. Отсюда находим: α3=-q/2+√q2/4+p3/27; β3=-q/2-√q2/4+p3/27, где √q2/4+p3/27 означает одно из возможных значений квадратного корня. Отсюда следует, что корни уравнения (11’) выражаются формулой D=(q/2)2+(p/3)3.
y1.2.3=n√-q/2+√q2/4+p3/27+3√-q/2-√q2/4+p3/27, причем для каждого из трех значение первого корня 3√α соответствующие значения второго корня 3√β нужно брать так, чтобы было выполнено условие αβ=-р/3. Полученная формула называется формулой Кардано (ее можно записать в более компактном виде у=3√α+3√β, где α=-q/2+√q2/4+p3/27; β=-q/2-√q2/4+p3/27. Подставив в нее вместо р и q их выражения через a,b,c и вычитая а/3, получим формулу для уравнения (11).
2. Метод Феррари для уравнения 4-ой степени.
Рассмотрим приведенное уравнение 4-ой степени x4+ax3+bx2+cx+d=0 (13). Сделав замену переменной х=у-а/4, получим уравнение у4+ру2+qy+r=0 (14) c коэффициентами p,q,r, зависящими от a,b,c,d. Преобразуем это уравнение к виду (y2+p/2)2+qy+(r-p2/4)=0, а затем, введя произвольное пока число α, представим его левую часть в равносильной форме (y2+p/2+α)2-[2α(y2+p/2)+α2-qy+p2/4-r]=0 (15)
Выберем теперь число α так, чтобы выражение в квадратных скобках 2αy2-qy+(αp+α2+p2/4-r) стало полным (точным) квадратом относительно у. Для этого нужно, чтобы его дискриминант был равен нулю, т.е. чтобы q2-8α(αp+α2+p2/4-r)=0, или 8α3+8pα2+8α(p2/4-r)-q2=0. Таким образом, для нахождения α получается уравнение 3-ей степени, и задача сводится к предыдущей. Если в качестве «α» взять один из корней этого уравнения, то левая часть уравнения (15) будет разностью квадратов и поэтому может быть разложена в произведение двух многочленов 2-ой степени относительно «у».
V.Дополнительные задачи и упражнения, связанные с использованием комплексных чисел.
1. Вычислить: ii2i3…i10=?
Решение: ii2i3…i10=i1+2+…+10=i11∙10/2=i55=ii54=i(i2)27=i(-1)27=-i.
2. Каков геометрический смысл выражений: а) |z|, б)Argz; в) |z1-z2|, г) Arg(z1/z2)?
Ответ: а) расстояние от начала координат до точки, изображающей комплексное число z;
б) угол, на который нужно повернуть действительную ось до совпадения с направлением вектора 0М, изображающего комплексное число z;
в) |z1-z2|- расстояние между точками z1 и z2, изображающими комплексные числа z1 и z2;
г) Arg(z1/z2) – угол между изображающими векторами 0z1 и 0z2.
3. Доказать, что cos3φ=cos3φ-3sin2φcosφ; sin3φ=3cos2φsinφ-sin3φ.
Доказательство: по формуле Муавра имеем: cos3φ+isin3φ=(cosφ+isinφ)3=(cos3φ-3cosφsin2φ)+(3cos2φsinφ-sin3φ), приравнивая действительные и мнимые части комплексных чисел, что cos3φ=cos3φ-3sin2φcosφ, sin3φ=3cos2φsinφ- sin3φ.
4. Найти действительные решения уравнения (3+i)x+(-5+2i)y=4+16i.
Решение: (3x-5y)+i(x+2y)=4+16i
3x-5y=4
x+2y=16 x=8; y=4.
Ответ: z=8+4i.
5. Доказать тождество |z1+z2|2+|z1-z2|2=2(|z1|2+|z2|2) и вычислить его геометрический смысл.
Доказательство: |z1+z2|2+|z1-z2|2= (z1+z2)(z1+z2)+(z1-z2)(z1-z2)= (z1+z2)(z1+z2)+ +(z1-z2)(z1-z2)=2 z1 z1+2 z2 z2=2(|z1|2+|z2|2).
Геометрический смысл: сумма квадратов длин диагоналей равна сумме квадратов всех сторон параллелограмма.
6. Найти геометрическое место точек:
а) |z-z0|=R; б) z=z0+Reit (0≤t<2π)
Ответ: Окружность радиуса R с центром в z0.
в) |z-3i|=|z+2|;
г) |z+i|=|z-3|=|z-1-i|;
д) |z|≤R
π/4≤argz≤5π/4
Решение:
в) точка z должна быть удалена на такое же расстояние от точки z1=-2, как и от точки z2=3i, т.е. должна находиться на серединном перпендикуляре, проведенном к отрезку АВ. Следовательно, искомое геометрическое место точек – это прямая, проходящая через точку С (хс;ус), где хс=(-2+0)/2=-1; ус=(3+0)/2=3/2, перпендикулярная отрезку АВ.
г) Рассматривая попарно направленные равенства |z+i|=|z-3| и |z-3|=|z-1-i|, приходим к заключению, что искомое множество точек – это множество точек пересечения серединных перпендикуляров, проведенных к отрезкам АВ и ВС (а также и к АС).
д) Верхний полукруг, ограниченный лучами argz=π/4 и argz=5π/4 и окружностью |z|=R, не содержащий (∙) z=0.
7. Доказать тождество:
(2x-z)2+(2x-z)2=2Re(z2).
Доказательство:
1) (2x-z)2+(2x-z)2= 4x2-4xz+z2+4x2-4xz+z2=8x2-4x(z+z)+z2+z2=8x2-4x2x+(z+z)2-
-2zz=(2x)2-2|z|2=4x2-2(x2+y2)=2(x2+y2)=2Re(z2).
2) 2Re(z2)=2Re(x+iy)2=2Re(x2-y2+2ixy)=2(x2-y2).
8. Решить систему уравнений
(3-i)z1-(4+2i)z2=1+3i;
(4+2i)z1+(2+3i)z2=7.
Решение: Применим правило Крамера:
∆= (3-i)-(4+2i) =(2+3i)(3-i)+(4+2i)2 =21+23i
(4+2i)+(2+3i)
∆z1= (1+3i)-(4+2i) =(2+6i+3i-9)+28+14i =21+23i
7 (2+3i)
∆z2= (3-i) (1+3i) =21-7i-4-2i-12i+6 =23-21i
(4+2i) 7
Z1= 21+23i =1; z2= 23-21i =-i(21+23i) =-i
21+23i 21+23i 21+23i
Ответ: z1=1; z2=-i.
9. Доказать, что (а2+1)(b2+1)(c2+1) можно представить в виде суммы квадратов целых чисел (a,b,c – целые числа).
Доказательство: заметим, что а2+1=|a+i|2, тогда имеем: (а2+1)(b2+1)(c2+1)=(a+i)(a-i)(b+i)(b-i)(c+i)(c-i)=(a+i)(b+i)(c+i)(a+i)(b+i)(c+i)= =((ab-1)+i(a+b))(c+i)((ab-1)+i(a+b))(c+i)=(((ab-1)c-a-b)+i((a+b)c+ab-1))((ab-1)c-a-b+i((a+b)c+ab-1)=(abc-(a+b+c))2+(ab+bc+ca-1)2.
10. Найти суммы:
С=cosφ+cos2φ+…+cosnφ; S=sinφ+sin2φ+…+sinnφ.
Решение: найдем сумму σ=с+iS=(eiφ+e2iφ+…+einφ) и выделим действительную и мнимую ее части, т.е. С=Reσ; S=Imσ. Последовательно имеем: eiφ+e2iφ+…+einφ= eiφ((1- einφ)/(1- eiφ))= (eiφ(1- einφ) (1- e-iφ))/((1- eiφ) (1- e-iφ))= =(eiφ-1- eiφ(n+1)+ einφ)/|1- eiφ|2.
Поскольку |1- eiφ|2=|(1-cosφ)-isinφ|2=(1-cosφ)2+sin2φ=4sin2(φ/2);
Re(eiφ-1- eiφ(n+1)+ einφ)= cosφ-1-cos(n+1)φ+cosnφ= =- 2sin2(φ/2)+2sin(φ/2)sin(nφ+φ/2)= 2sin(φ/2)2sin(nφ/2)cos((n+1)φ)/2 и Im(eiφ-1- eiφ(n+1)+ einφ)=sinφ-sin(n+1)φ+sinnφ=2sin(φ/2)(cos(φ/2)-cos(nφ+φ/2))= =2sin(φ/2)2sin(nφ/2)sin(((n+1)φ)/2), то С=(4sin(φ/2)sin(nφ/2)cos(((n+1)φ)/2))/(4sin2(φ/2)) = =[sin(nφ/2) cos(((n+1)φ)/2))]/ sin(φ/2);
S=(4sin(φ/2)sin(nφ/2)cos(((n+1)φ)/2))/(4sin2(φ/2)) = =[sin(nφ/2) cos(((n+1)φ)/2))]/ sin(φ/2)
11. Найти сумму 1+eπcosπ+e2πcos2π+…+enπcosnπ.
Решение: Рассмотрим функцию
S(x)=1+excosx+e2xcos2x+…+enxcosnx и найдем ее значение при х=π.
В свою очередь, при нахождении суммы S(x) перейдем к комплексным числам:
σ(z)=1+ex+ix+e2x+i2x+…+enx+inx= 1+ex(1+i)+e2x(1+i)+…+enx(1+i)=(1-(ex(1+i))n+1)/(1- ex(1+i))= =1-ex(n+1)(1+i)/(1-ex(1+i))=((1-ex(n+1)(1+i))(1-ex(1-i))/((1-ex(1+i))(1-ex(1-i))) =(1- ex(n+1)(1+i)- ex(1-i)+ex(n+2+ni))/|1- ex(1+i)|2=
=(1-e(n+1)xei(n+1)x-exe-ix+e(n+2)xexni)/(1-2excosx+e2x)
т.к. S(x)=Reσ(z), то получаем формулу:
S(x)=1+excosx+e2xcos2x+…+enxcosnx=(1-e(n+1)xcos(n+1)x+e(n+2)xcosnx-excosx)/(1-2excosx+e2x)
Отсюда следует, что искомая сумма равна:
S(π)=1+eπcosπ+e2πcos2π+…+enπcosnπ= (1+eπ+eπ(n+2)(-1)n-e(n+1)(-1)n+1)/(1+2eπ+e2π)= =((1+eπ)+(-1)neπ(n+1)(eπ+1))/(eπ+1)2=(1+(-1)neπ(n+1))/(1+eπ)
12. Доказать, что Re(z-1)/(z+1)=0 |z|=1.
Доказательство:
Т.к. (z-1)/(z+1)=((z-1)(z+1))/((z+1)(z+1))=(zz+z-z-1)/|z+1|2=((|z|2-1)+2iy)/|z+1|2; то Re(z-1)(z+1)=0, если только |z|2-1=0 |z|=1.
13. Найти все значения корня 4√1+i√3. Дать геометрическую иллюстрацию.
Решение:
z=4√1+i√3=4√a, где a=1+i√3.
Т.к. а=r(cosφ+isinφ)=2(cosπ/3+isinπ/3), то zk=4√2(cos(π/3+2Kπ)/4+isin(π/3+2Kπ), где К=0,1,2,3.
Получаем:
Z0= 4√2(cosπ/12+isinπ/12); z1=4√2(cos7π/12+isin7π/12);
Z2=4√2(cos13π/12+isin13π/12); z4=4√2(cos19π/12+isin19π/12).
14. Представить в алгебраической форме комплексное число 1/(1+i√3)6-1/(√3-i)6 =z
Решение: преобразуем данное число:
Z=((1-i√3)/((1+i√3)(1-i√3)))6-((√3+i)/((√3-i)(√3+i)))6= =(1-i√3)6/|1+i√3|12-(√3+i)6/|√3+i|12=z1-z2=(т.к. |z1|=|z2|=2; φ1=-π/3; φ2=π/6, то)=1/26∙26(cos(-π/3)+isin(-π/3))6-1/26∙26(cosπ/6+isinπ/6))6= =cos(-2π)+isin(-2π)-cosπ-isinπ=1-(-1)=2.
VII. Литература.
VIII.
1. Кураш А.Г. «Алгебраические уравнения произвольных степеней». М., «Наука», 1983.
2. Маркушевич А.И. «Комплексные числа и конформные отображения». М., «Физматгиз», 1960.
3. Стройк Д.Я. «Краткий очерк истории математики». М., «Наука», 1969.
4. Яглом И.И. «Комплексные числа и их применение в геометрии». М., Физматгиз, 1963.
5. Справочник по элементарной математике (для поступающих в ВУЗы) под редакцией Фильчакова П.Ф. «Наукова Думка», Киев – 1972.