Разложение в ряд Фурье
При передаче информации по каналам связи в процессе преобразования сигналов в различных устройствах, как правило, используют негармонические колебания, поскольку чисто гармонические колебания не могут являться носителями информации. Для передачи сообщений осуществляют модуляцию гармонического колебания по амплитуде — амплитудная модуляция (AM), частоте —частотная модуляция (ЧМ) или фазе — фазовая модуляция (ФМ), либо используют импульсные сигналы, модулируемые по амплитуде — амплитудно-импульсная модуляция (АИМ), ширине — широтно-импульсная модуляция (ШИМ), временному положению — время-импульсная модуляция (ВИМ). Существуют и другие, более сложные сигналы, формируемые по специальным законам. Отличительной чертой указанных сигналов является сложный негармонический характер. Несинусоидальный вид имеют токи и напряжения, формируемые в различных импульсных и цифровых устройствах (гл. 19), несинусоидальный характер приобретают гармонические сигналы, проходящие через различные нелинейные устройства (гл. 11) и т. д. Все это приводит к необходимости разработки специальных методов анализа и синтеза электрических цепей, находящихся под воздействием периодических несинусоидальных и непериодических токов и напряжений. В основе этих методов лежат спектральные представления несинусоидальных воздействий, базирующиеся на разложении в ряд или интеграл Фурье.
Из математического анализа известно, что периодическая негармоническая функция f(t) удовлетворяющая условиям Дирихле*, может быть разложена в ряд Фурье:
Уравнение (5.3) есть тригонометрическая форма ряда Фурье. При анализе цепей часто удобней пользоваться комплексной формой ряда Фурье, которая может быть получена из (5.3) с помощью формул Эйлера:
|
Совокупность амплитуд 0,5Аk = 0,5A-k в разложении (5.6), отложенных против соответствующих положительных и отрицательных частот*, образует симметричный относительно оси координат (вследствие четности коэффициентов аk) линейчатый амплитудный спектр.
Совокупность ординат φk= — φ_k из (5.7), входящих в разложение (5.6) и отложенных против соответствующих положительных и отрицательных частот, образует симметричный относительно начала оси координат (вследствие нечетности коэффициентов bk) линейчатый фазовый спектр.
Разложение (5.3) можно представить и в другой форме. Если учесть, что ak = Akcosφk и bk = Aksinφk, то после подстановки в (5.3) получим:
Если рассматривать постоянную составляющую αо/2 как нулевую гармонику с начальной фазой φ0 = 0, то разложение (5.9) примет вид
В частном случае, когда функция Да) симметрична относительно оси ординат (рис. 5.1, а), в разложении (5.3) окажутся только четные (косинусоидальные) гармоники:
а при симметричности /"(а) относительно начала координат (рис. 5.1, б) нечетные гармоники
При сдвиге начала отсчета функции f(α) ее амплитудный спектр не изменяется, а меняется только фазовый спектр. Действительно, сдвинем функцию f(α) по оси времени влево на to и обозначим
Тогда разложение (5.9) примет вид
Пример. Разложить в ряд Фурье прямоугольные колебания (рис. 5.1, б). Учитывая, что f(α) симметрична относительно начала координат в разложении (5.3) останутся только синусоидальные гармоники (5.12), где bk определится согласно (5.4):
|
т. е. получили разложение по косинусоидальным составляющим как и должно быть для симметричного относительно оси ординат сигнала.
В ряде случаев, когда периодичная функция f(α) задана графически и имеет сложную форму, ее разложение в ряд Фурье можно осуществить графоаналитическим способом. Его суть заключается в том, что период сигнала Т (рис. 5.2) разбивают на m интервалов, равных Δ α = 2π/т, причем точки разрыва f(α) не должны попадать на середину участков разбиения; определяют значение сигнала f(αn) в середине каждого участка разбиения.
Находят коэффициенты разложения аk и bk путем замены интеграла в (5.2) конечной суммой
Уравнение (5.16) легко программируется и при вычислении ak и bk, может использоваться ЭВМ.