Дискретные фильтры и их синтез

Постановка задачи и этапы синтеза. Дискретная цепь может осуществлять любые операции: фильтрацию сигнала, корректиро­вание характеристик и т. п., т. е. выполнять функции любой ана­логовой цепи.

В частности, при синтезе дискретных частотных фильтров нуж­но найти такие коэффициенты передаточной функции (19.40), или (19.41), частотная характеристика которой удовлетворяла бы нор­мам ослабления фильтра в полосах пропускания и непропускания (рис. 19.52, а). Определение коэффициентов - это задача аппрок­симации. Известен целый ряд методов ее решения. Наиболее рас­пространенным является следующий метод. Сначала рассчитывают аналоговый НЧ- прототип и получают его передаточную функцию Н(р), затем путем замены комплексной переменной р = Ф{z} пере­ходят от Н(р) к передаточной функции дискретной цепи H(z).

(у — некоторый постоянный множитель), которое является первый приближением стандартного преобразования при разложении его в ряд Тейлора:

Из разложения (19.51) следует, что необходимо выбирать γ = 2/Т. Однако, далее мы покажем, что удобнее брать другие зна­чения коэффициента γ.

Билинейное преобразование (19.50) переводит все точки из ле­вой полуплоскости переменной р в точки на единичной окружности плоскости z. Так что, если была устойчива аналоговая цепь, будет устойчивой и дискретная. Подтвердим эти утверждения па примере.

Пример. Найдем положения точек на z-плоскости, соответствующих сле­дующим значениям переменной р: р₁ = —2; р₂ = —2 + j2, р₃ = j 2.

Из формулы (19.50) найдем выражение для расчета z:

Модуль z равен 1, т. е. точка р =j 2, лежащая на мнимой осп плоскости р, переходит в точку на единичной окружности плоскости z при использовании билинейного преобразования.

Переход к аналоговому прототипу применяется обычно для дискретных фильтров, имеющих бесконечную импульсную харак­теристику h(k), принимающую ненулевые значения на бесконечном множестве значений k = 0, 1.....

Дискретные цепи с конечной импульсной характеристикой, при­нимающей ненулевые значения лишь при k = 0, 1,..., N — 1, не имеют аналогов среди пассивных электрических фильтров, поэтому для их расчета применяются другие методы.

Нерекурсивные фильтры с передаточной функцией (19.42) все­гда имеют конечные импульсные характеристики. Рекурсивные фильтры с передаточной функцией (19.40) могут иметь как конеч­ные, так и бесконечные импульсные характеристики.

Требования к аналоговому фильтру-прототипу. Следует иметь в виду, что частотная характеристика аналогового фильтра опреде­лена на всей положительной полуоси частот, в то время как у дис­кретного фильтра она имеет тот же смысл только до частоты 0,5f_д, затем она периодически повторяется (рис. 19.44). Ясно, что шкала частот дискретного фильтра оказывается деформированной относи­тельно шкалы частот аналогового фильтра. Соответствие этих шкал легко установить из билинейного преобразования (19.50). Перепи­шем его в виде:

Обозначим, во избежание путаницы, нормированную частоту для аналогового фильтра-прототипа Ω _a, обычную (т. е. ненормиро­ванную) частоту для дискретного фильтра будем, как и ранее, обо­значать буквой f, а нормированную — буквой Ω. Теперь заменим в (19.53) комплексную переменную р на jΩ _a, а комплексную пере­менную z на е^j2πfT = е^{j2πf Ω} и установим соответствие между частотами f (пли Ω) и Ω _a:

При изменении частоты f от 0 до 0,5 f _д, или нормированной частоты Ω от 0 до 0,5, нормированная частота Ω _a в шкале аналогового про­тотипа будет пробегать значения от 0 до бесконечности (рис. 19.52).

Во многих справочниках по расчет фильтров граничная часто­та полосы пропускания принимается равной Ω _ап = 1. Чтобы часто­та f _и(или Ω _и) дискретного фильтра пересчитывалась в Ω _ап⁼ 1 (рис. 19.52, б), из (19.54) ясно, что коэффициент у нужно взять равным:

Тем самым, произведен пересчет требований, предъявленных к диск­ретному фильтру (рис. 19.52, а) в требования к аналоговому НЧ- прототипу (рис. 19.52, 6).

Расчет аналогового НЧ- прототипа. Исходными данными для расчета являются требования к НЧ- пототипу (рис. 19.52, б). По ним, пользуясь любым справочником, рассчитывают передаточную функцию фильтра-прототипа.

Реализация рекурсивного фильтра. Для перехода от аналогово­го фильтра к дискретному воспользуемся заменой переменных (19.50)

В результате получаем Н(z) в виде дробно-рациональной функ­ции, которая может быть реализована.

Пример. От передаточной функции (19.56) аналогового фильтра-прото­типа перейдем к передаточной функции Н(z) дискретного фильтра.

Подставим в выражение (19.56) значение

Получим

Схема фильтра, имеющего такую передаточную функцию, приведена на рис. 19.53. Амплитудно-частотная характеристика A(Ω) = 20lgH(Ω), рассчи­танная па основании формул для АЧХ типовых звеньев, показана па рис. 19.54 (кривая 1).

Аналогичным образом производится расчет фильтров со всплесками ослаб­ления (нулями передачи).

Пример. Найдем передаточную функцию дискретного фильтра НЧ с АЧХ, равноволновой в полосе пропускания и со всплеском ослабления в полосе за-

Амплитудно-частотная характеристика А(Ω) = 201gtН(Ω) такого фильтра показана на рис. 19.54 (кривая 2).

Синтез фильтров с конечной импульсной характеристикой. Ес­ли известна передаточная функция H(z) дискретного фильтра, то для реализации фильтра с конечной импульсной характеристикой h(k), равной нулю везде кроме 0 ≤ k≤ N- 1, поступают следую­щим образом. Амплитудно-частотную характеристику H(Ω) фильт­ра дискретизируют, разбивая частотный интервал Ω = 0 ÷ 1 на N равных интервалов. В результате получают последовательность от­счетов АЧХ на N частотах Ω = n/N, т. е. H(n/N), 0 ≤n ≤ N - 1. Поскольку H(n/N) = N· Н(п), то, подставляя эту последователь­ность в формулу обратного дискретного преобразования Фурье (19.14), получаем выражение для дискретной импульсной характе­ристики h(k) фильтра

Как известно, конечную импульсную характеристику имеют не­рекурсивные фильтры. Это значит, что полученные отсчеты дис­кретной импульсной характеристики h(k) являются коэффициен­тами усиления α_0,α_2,…, α _N-1в схеме нерекурсивного фильтра, приведенной на рис. 19.33.

Пример. Найдем импульсную характеристику h (k) фильтра нижних час­тот, имеющего граничную частоту полосы пропускания Ω = 0,1, и АЧХ, при­веденную на рис. 19.55. Импульсную характеристику будем рассчитывать для значения N = 30.

График конечной импульсной характеристики h(k) изображен на рис. 19.57.

Для реализации фильтра с такой импульсной характеристикой по схеме рис. 19.33 потребуется 30 усилителей и 29 элементов задержки, т. е. схема до­вольно громоздкая. Схема с обратными связями, реализующая АЧХ, изобра­женную на рис. 19.55, будет иметь гораздо меньше элементов. Однако дос­тоинством нерекурсивных фильтров с конечной импульсной характеристикой является то, что они всегда устойчивы и, кроме того, обеспечивают линейные фазовые характеристики.

Синтез дискретных фильтров верхних частот, полосовых и режекторных. Требования к любому типу фильтра преобразуются

в требования к аналоговому ФНЧ-прототнпу. Затем рассчитывает­ся аналоговый прототип, как это показано выше, п с помощью за­мены переменных переходят от Н(р) к Н(z).

Конечно, формулы замены переменных уже не такие, как для ФНЧ. Они приведены для разных типов фильтров в табл. 19.2. Требования к дискретным фильтрам графически изображены на рис. 19.59.

 

 

 

Цифровые фильтры

Функциональная схема цифрового фильтра. В отличие от дис­кретных фильтров в цифровом фильтре (ЦФ) осуществляется об­работка цифровых сигналов (рис. 19.1, в). На рис. 19.60 изобра­жена функциональная схема цифровой обработки аналоговых сиг­налов. Аналоговый сигнал x(t) подается на аналого-цифровой пре­образователь (АЦП), где осуществляется дискретизация, квантова­ние непрерывного сигнала и его кодирование. В результате на вы­ходе АЦП формируется цифровой сигнал, представляющий собой

последовательность двоичных чисел с фиксированным количеством разрядов.

Например, если отсчет имеет величину 30 В, то запись числа в двоичном 8-разрядном коде будет такой: 00011110. Закодирован­ные в двоичном коде отсчеты на выходе кодера АЦП на рисунке обозначены x(k). Далее двоичная последовательность поступает на вычислительное устройство (ВУ), которое представляет собой уни­версальную или специализированную микро ЭВМ, микропроцес­сорное или любое другое вычислительное устройство. Главное со­стоит в том, что в памяти ВУ должна быть записана программа вычисления, например, выражение (19.35), и отсчеты импульсной реакции, заданной цепи. Следовательно, в результате работы про­граммы ВУ будет выдавать закодированные в двоичном коде от­счеты y(k). Далее двоичная выходная последовательность посту­пает на вход цифро-аналогового преобразователя (ЦАП), содер­жащий декодер и интерполятор. В ЦАП осуществляется декодиро­вание сигнала, в результате формируется дискретный выходной сигнал y(kT) и после интерполяции на выходе ЦАП получаем вы­ходной аналоговый сигнал y(t).

Как видим, ВУ может сыграть роль реальной цепи. И хотя са­мой физической цепи в наличии может и не быть, а задана она бу­дет лишь в виде отсчетов импульсной реакции и программы вычислений, мы будет наблюдать на выходе описанной системы такое же выходное напряжение y(t), как и на выходе реальной цеписледует отметить, что при цифровой обработке ЦАП может и отсутствовать, если выходной сигнал надо получить в цифровой форме.

Аналогово-цифровое преобразование сигналов. Как следует из рис. 19.60 АЦП осуществляет дискретизацию аналогового сигнала, его квантование по уровню с шагом Δ (рис. 19.1, в) и кодирование. Обычно процесс квантования осуществляется одновременно с его

 

кодированием, в результате на выходе АЦП получаем сигнал, представленный в некотором цифровом коде.

Одним из основных параметров кода является его основание, соответствующее выбранной системе счисления. Близко к опти­мальным реализуются двоичные или бинарные коды, которые на­шли наибольшее распространение в связи.

Известно большое количество различных устройств преобразо­вания непрерывного сообщения в бинарный код. Все их можно разбить на три основные группы: преобразователи последователь­ного счета, поразрядного кодирования и преобразователи считыва­ния. Наибольшее применение в связи нашли преобразователи пер­вых двух типов.

Принцип действия преобразователя последовательного счета с временным преобразованием иллюстрируется схемой изображенной на рис. 19.61 и временными диаграммами на рис. 19.62.

Кодирование в данной схеме осуществляется следующим обра­зом. Аналоговый сигнал после дискретизации и квантования х_ц(t) поступает на вход широтно-импульсного модулятора (ШИМ), на выходе которого формируются прямоугольные импульсы ширина которых пропорциональна отсчету сигнала x _ц (t) в моменты kT (рис. 19.62). Далее этот ШИМ- сигнал подается на схему* «И», на второй вход которой поступают импульсы с генератора тактовой частоты (ГТИ). На выходе схемы «И» формируются импульсы, число которых в «пачке» пропорционально ширине импульса. Эти импульсы поступают в двоичный счетчик, где число их фиксирует­ся в двоичной системе счисления. Задним фронтом ШИМ- импульса запускается устройство считывания результата, с выхода кото­рого кодовая комбинация поступает в ВУ. Считывание может осу­ществляться последовательно или параллельно (последовательный пли параллельный код).

На рис. 19.62 приведен вид кодовой группы на выходе при по­следовательном считывании. Для возвращения двоичного счетчика в исходное состояние на него через линию задержки ЛЗ с τ₃ = τ _счит подается сигнал сброса, формируемый задним фронтом ШИМ- импульса. С приходом следующего измерительного импульса работа кодера повторяется.

Аналогичным образом можно кодировать и амплитудно - модулированную импульсную последовательность (кодер последовательно­го счета с частотным преобразованием). Для этого АИМ- сигнал подается на ЧМ- генератор (мультивибратор), и осуществляется счет импульсов этого генератора за фиксированные промежутки времени по рассмотренной выше схеме.

В преобразователях поразрядного кодирования производится последовательное сравнение выходного сигнала с набором эталон­ных напряжений, каждое из которых соответствует определенному разряду кода. В качестве эталонных напряжений используется геометрическая прогрессия вида

где N — число разрядов в бинарном коде. Причем Е > u_mах, где u _тах — максимально возможное значение кодирующего сигнала.

При поразрядном кодировании вначале формируется старший разряд кода путем сравнения u(t) с Е/2 (например, если u(t)≥ E/2, то формируется символ «1», в противном случае — «0»). Одновременно на выходе схемы сравнения образуется на­пряжение u(t)-E/2 при u(t)≥E/2 или u(t) при u(t)<E/2. За­тем указанная процедура повторяется с полученным напряжением для эталонного напряжения Е/4 и т. д. В результате N сравнений получается символ самого младшего разряда.

Шумы квантования. При квантовании сигнала минимальный шаг квантования Δ (расстояние между смежными разрешенными уровнями) соответствует единице младшего двоичного разряда. Причем, поскольку при квантовании происходит округление значе­ний сигнала до ближайшего дискретного уровня, то появляются ошибки округления │ε│≤Δ/2. Если x(t) известен неточно, то ε -является случайной величиной и при малом Δ распределено по равномерному закону. Последовательность значений ошибки ε_,

возникающей при квантовании дискретного сигнала x(kT) образует дискретный случайный процесс ε (kT) называемый шумом кванто­вания (рис. 19.63).

Дисперсия шума квантования определяется для равномерного закона распределения р(ε) формулой

Если шаг квантования Д мал, то соседние значения ε (kT) можно считать некоррелированными.

Шум квантования является одним из главных источников по­грешности цифровой обработки сигнала. Шум на выходе цифрово­го фильтра ζ(k Т) при условии некоррелированности отсчетов ε(kT) можно определить согласно (19.35)

Поскольку для ЦФ обычно выполняется условие (19.36),то дис­персия шума квантования на выходе всегда конечна.

Ошибки округления. При обработке цифрового сигнала в ВУ возникают дополнительные ошибки округления (усечения). Дейст­вительно, если при использовании в ВУ чисел с фиксированной запятой сложение чисел не приводит к увеличению разрядов, то при умножении число разрядов возрастает и возникает необходимость

округления результата, что естественно приводит к ошиб­кам называемым ошибками округления. По своему характеру эти ошибки аналогичны шуму квантования. Для их учета обычно в схему ЦФ дополнительно вводят источники шума e_i(kT), число ко­торых равно числу умножителей. На рис. 19.64 изображена схема рекурсивного ЦФ звена 1-го порядка с учетом источников шума округления. Источники шума e(kT) имеют одинаковую дисперсию σ² = Δ²/12, где Δ определяется числом используемых разрядов. Если принять, что источники e_o(kT), e₁(kT) н е₂(kT) независимы, то дисперсия суммарного шума округления будет равна

Для другой схемы реализации ЦФ результирующая вычис­ляется в зависимости от того, куда будет подключен источник шу­ма e(kT) и в общем случае может быть найден по формуле (19.60) или с учетом равенства Парсеваля

Кроме ошибок квантования и округления при синтезе ЦФ воз­никают ошибки, вызванные неточными значениями параметров фильтра. Эти ошибки особенно опасны в рекурсивных фильтрах высокого порядка, т. к. могут привести к потере устойчивости ЦФ, поэтому обычно используют звенья 1-го и 2-го порядков (см. § 19.5). Кроме рассмотренных выше при синтезе ЦФ возникают еще ряд дополнительных явлений, приводящих к погрешности цифровой фильтрации. К ним, например, относятся так называе­мые предельные циклы низкого уровня, представляющие собой пе­риодические колебания, возникающие на выходе ЦФ при низком входном сигнале и обусловленные округлением результатов вычис­ления. Все эти явления и ошибки подробно исследуются в специ­альной литературе.

Цифро-аналоговое преобразование. Преобразование цифровых сигналов в аналоговый осуществляется с помощью различных цифро-аналоговых преобразователей (ЦАП). В основе простейшего ЦАП лежит принцип двоично-взвешенного суммирования напря­жений или токов. На рис. 19.65 изображены схемы простейших ЦАП на базе резистивных цепей.

В ЦАП с двоично-весовыми резисторами (рис. 19.65, а) требу­ется меньшее число резисторов, однако при этом необходим целый ряд номиналов прецизионных сопротивлений. Аналоговое выход­ное напряжение U_ан ЦАП определяется как функция двухуровне­вых входных напряжений:

где п — число разрядов ЦАП; т — коэффициент, зависящий от числа разрядов ЦАП.

Для обеспечения высокой точности работы резистивные цепи ЦАП должны работать на высокоомную нагрузку. Чтобы согласо­вать резистивные цепи с низкоомной нагрузкой, используют бу­ферные усилители на основе операционных усилителей, показан­ные на рис. 19.65, а, б.

Интерполяторы. На выходе ЦАП сигнал обычно имеет форму последовательности импульсов модулированных по амплитуде (АИМ- сигнал). Для восстановления (демодуляции) из АИМ- последовательности аналогового сигнала достаточно использовать ФНЧ с частотой среза ω_с = 2π/Т, где Т — частота дискретизации АИМ- сигнала. Существуют и более сложные интерполирующие устрой­ства, которые описаны в специальной литературе.

В заключении следует отметить, что в связи с бурным развити­ем вычислительной, микропроцессорной техники цифровые методы обработки сигналов получают все большее распространение. Они имеют более широкие возможности реализации сложных и эффек­тивных алгоритмов обработки сигналов, которые в большинстве своем недоступны для реализации аналоговыми цепями.