Рис. 1. К анализу преобразований Лоренца
Рассмотрим две инерциальные системы отсчета 
и 
с параллельными друг другу одноименными осями, причем вторая система движется относительно первой со скоростью 
вдоль оси 
так, что их начала 
и 
в некоторый момент, который принимается за начало отсчета, совпадают. Пусть в этот момент из точки начинает излучаться свет определенной частоты. Через время 
по часам наблюдателя, находящегося в точке , точка переместится на расстояние 
, а фронт световой волны достигнет точек 
(рис. 1).
Очевидно, что по масштабам пространства и времени наблюдателя, находящегося в точке , свет распространяется во всех направлениях с одинаковой скоростью 
, а потому вышеуказанные точки будут лежать на поверхности сферы, и будет выполняться равенство (см. рис. 1):
. (3)
Очевидно также, что каждая точка на пути следования источника света , соответствующая излучению очередной волны света, будет центром каждой следующей по уменьшению радиуса сферы, связанной с гребнем этой волны. Эти точки будут находиться на одинаковом расстоянии друг от друга, поскольку скорость движения источника постоянна. Таким образом, через время общая картина гребней волн света с позиций наблюдателя, находящегося в точке , будет выглядеть так, как показано на рис. 1.
Образуем треугольник 
так, чтобы точка 
располагалась в произвольном месте фронта световой волны. По условиям задачи имеем равенства: 
, 
. Сторону 
обозначим через 
, а угол 
– через 
. Тогда по теореме косинусов имеем
, (4)
откуда находим неизвестный параметр
. (5)
Нетрудно видеть, что без последнего слагаемого в правой части этот параметр есть не что иное, как интервал между двумя событиями в СТО, соответствующий излучению света в точке и его приему в точке :
. (6)
Поскольку во всех инерциальных системах отсчета законы физики, как считается, ковариантны, т.е. описываются одинаковыми на вид уравнениями, то и в движущейся системе отсчета интервал должен выражаться аналогичным образом
. (7)
Но поскольку в своей собственной системе отсчета скорость движения системы 
равна нулю, то выражение (7) упрощается к виду
. (8)
Из равенства интервалов в двух системах отсчета, как считается в СТО, следует известное соотношение для времен
. (9)
Но так ли это на самом деле? И можно ли упрощать выражение (5) до вида (6)?
Да, величина инвариантна в любых инерциальных системах отсчета. Но это не что иное, как всего лишь радиус сферы фронта световой волны в движущейся системе отсчета. Если свет будет излучаться из точки , то круги на рис. 1 будут концентрическими, и сфера окажется абсолютно симметричной по внутренней структуре. Но в нашем случае свет излучается движущимся источником, находящимся в точке , и относительно этой точки рисунок, казалось бы, не имеет симметрии. Но это только на первый взгляд.
Ограничим время движения системы и, соответственно, время излучения света одной секундой по масштабам движущегося источника. И пусть для конкретности на нем находится в качестве источника света цезий-133. Тогда за одну секунду он испустит 9 192 631 770 волн света, фронт которого распространится на 299 792 458 м по тем же масштабам. Очевидно, что неподвижный наблюдатель в точке увидит не все 9 192 631 770 волн света, а только часть, успевшую дойти до него за время движения вышеуказанной системы. И частота его будет меньше в соответствии с эффектом Доплера (что прекрасно видно на рис. 1 по увеличенному расстоянию между гребнями световых волн по линии 
).
А что увидит и что посчитает наблюдатель в точке по своим масштабам пространства и времени? Оказывается, что все расстояния
. (10)
для него будут абсолютно одинаковыми, поскольку будут содержать одинаковое число волн света – 9 192 631 770. По единицам длины и времени, утвержденных соответствующими конвенциями, он будет считать, что находится в центре световой сферы и по-своему будет прав. Таким образом, в движущейся инерциальной системе отсчета одновременно деформируются масштабы пространства и времени, оставляя скорость света постоянной величиной.
Но фронт световой волны и для наблюдателя в точке также будет сферой, поскольку в момент излучения этой волны центры инерциальных систем отсчета совпадали между собой, и было безразлично, из покоящегося или движущегося источника она излучена. Из этих простых рассуждений вытекают следующие преобразования координат фронта световой волны, оставляющие инвариантным этот фронт при переходе от неподвижной инерциальной системы отсчета к движущейся:
(11)
Следует отметить, что полученная группа отражает всего лишь соотношения между тремя пространственными и тремя временными проекциями любой точки фронта световой волны, измеренных двумя способами, и не более того. Но мы в дальнейшем будем называть эти 6 проекций 6-мерным пространством-временем. Только при измерении по собственным масштабам последние три проекции тождественно равны друг другу, и возможно использование традиционного 4-мерного пространства-времени.
Из вышеизложенного следует весьма важный вывод о том, что пространство и время носят относительный характер. Например, даже одно и то же расстояние 
(рис. 1), одинаковое по масштабам пространства и времени неподвижного наблюдателя, будет разным по масштабам пространства и времени движущегося. В первом случае свет проходит это расстояние за 1 с, а во втором за 1 с свет проходит расстояние, равное всего 
. Это же следует и из 2-й формулы системы (11).