Элементарные преобразования матрицы. Ранг матрицы

Введем понятие ранга матрицы. Выделим в матрице -строк и -столбцов, где - число, меньшее или равное меньшему из чисел и . Определитель порядка , составленный из элементов, стоящих из пересечения выделенных -строк и -столбцов, называется минором или определителем, порожденным матрицей .

Рангом матрицы (обозначается ) называется наибольший порядок порожденных ею определителей, отличных от нуля.

Ранг матрицы не изменится, если:

1) поменять местами любые два параллельных ряда;

2) умножить (разделить) каждый элемент ряда на один и тот же множитель (делитель) ;

3) прибавить к элементам ряда соответствующие элементы любого другого параллельного ряда, умноженные на один и тот же множитель;

4) Ряд, состоящий из нулей, отбрасывается.

Преобразования 1-4 называются элементарными. Две матрицы называются эквивалентными, если одна матрица получается из другой с помощью элементарных преобразований. Эквивалентность матриц и обозначается ~ .

Базисным минором матрицы называется всякий отличный от нуля минор, порядок которого равен рангу данной матрицы.

Рассмотрим основные методы нахождения ранга матрицы.

1. Метод единиц и нулей. С помощью элементарных преобразований можно любую матрицу привести к виду, когда каждый ее ряд будет состоять только из нулей, или нулей и одной единицы. Тогда число оставшихся единиц и определит ранг исходной матрицы, так как полученная матрица будет эквивалентна исходной.

Пример 2.1. Найти ранг матрицы методом единиц и нулей.

1 шаг.

Разделим элементы третьего столбца на 2, затем первую строку умножим на и сложим с четвертой строкой. Получим новую эквивалентную матрицу:

~ ~

2 шаг.

Теперь четвертую строчку складываем со второй и с третьей. Получим новую эквивалентную матрицу:

~ ~

+ +

3 шаг.

Умножим элементы второго столбца на и сложим с элементами четвертого столбца. Затем умножим элементы второго столбца на и сложим с соответствующими элементами первого столбца. И окончательно элементы второго столбца сложим с соответствующими элементами пятого столбца. Получим новую эквивалентную матрицу:

~ ~

4 шаг.

Умножим элементы третьей строки на и сложим с соответствующими элементами второй строки. Получим новую эквивалентную матрицу:

~ ~

5 шаг.

Сложим элементы пятого столбца с соответствующими элементами первого столбца. Получим новую эквивалентную матрицу:

~ ~

6 шаг.

Умножим элементы третьего столбца на 3 и сложим с соответствующими элементами первого столбца. Получим новую эквивалентную матрицу:

~ ~

+ +

7 шаг.

Умножим на элементы третьего столбца и сложим с соответствующими элементами второго и четвертого столбцов. Получим новую эквивалентную матрицу:

~ ~

8 шаг.

Умножим элементы четвертого столбца на и сложим с соответствующими элементами пятого столбца. Затем просто умножим элементы четвертого столбца на . Получим новую эквивалентную матрицу:

~ - , так как осталось 3 единицы.

2. Метод окаймляющих миноров. Минор порядка , содержащий в себе минор порядка , называется окаймляющим минором . Если у матрицы существует минор , а все окаймляющие его миноры , то .

Найдем этим методом из предыдущего примера.

Начнем с левого верхнего угла:

;

Как видно, что эта матрица содержит всего два минора 4-го порядка. Проверим второй:

То есть

ЗАДАНИЯ

Задание 2.1. Найти ранг матрицы

1) Методом единиц и нулей;

2) Методом окаймляющих миноров.

1. ;	2. ;
3. ;	4. ;
5. ;	6. ;
7. ;	8. ;
9. ;	10. ;
11. ;	12. ;
13. ;	14. ;
15. ;	16. ;
17. ;	18. ;
19. ;	20. ;
21. ;	22. ;
23. ;	24. ;
25. ;	26. ;
27. ;	28. ;
29. ;	30. .

Обратная матрица

Квадратная матрица порядка называется невырожденной, если её определитель (детерминант) .

В случае, когда , матрица называется вырожденной.

Только для квадратной невырожденной матрицы вводится понятие обратной матрицы .

Матрица называется обратной для квадратной невырожденной матрицы , если , где - единичная матрица порядка .

Для матрицы существует единственная обратная матрица, которая определяется по формуле:

или ,

где или - союзная или присоединённая матрица, её элементами являются алгебраические дополнения транспонированной матрицы , т.е. матрицы, полученной из данной матрицы заменой её строк столбцами с теми же номерами.

, т.е.

Пример 2.2. Найти обратную матрицу двумя способами: с помощью алгебраических дополнений и путем элементарных преобразований. Сделать проверку.

Дана матрица .

Найти: .

Решение:

1 способ. С помощью алгебраических дополнений.

Найдем обратную матрицу по формуле ,

где - определитель матрицы ;

- союзная или присоединённая матрица, состоящая из алгебраических дополнений транспонированной матрицы .

Согласно формуле можно сказать, что если , то обратная матрица не существует.

Найдем:

значит обратная матрица существует.

Составим союзную матрицу, для этого найдем алгебраические дополнения по формуле

;	;	;
;	;	;
;	;	.

Отсюда:

2 способ. Основан на элементарных преобразованиях вспомогательной матрицы, которая получается путём приписывания к данной матрице единичной матрицы того же порядка. Схематически это выглядит так: